Wariogram - Variogram

W statystyce przestrzennej wariogram teoretyczny jest funkcją opisującą stopień przestrzennej zależności przestrzennego pola losowego lub procesu stochastycznego . Semivariogram to połowa wariogramów. ${\ Displaystyle 2 \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2})}$ ${\ Displaystyle Z (\ mathbf {s} )}$ ${\ Displaystyle \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2})}$

W przypadku konkretnego przykładu z dziedziny wydobycia złota , wariogram będzie miarą tego, jak bardzo dwie próbki pobrane z obszaru wydobycia będą się różnić procentem złota w zależności od odległości między tymi próbkami. Próbki pobrane daleko od siebie będą się różnić bardziej niż próbki pobrane blisko siebie.

Definicja

Semivariogram najpierw określa Matheron (1963), a pół średniego kwadratu różnicy pomiędzy wartościami w punktach ( i ), oddzielone na odległość . Formalnie ${\ Displaystyle \ gamma (h)}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {2}}$${\ Displaystyle h}$

${\ Displaystyle \ gamma (h) = {\ Frac {1} {2 V}} \ iint _ {V} \ lewo [f (M + h) - f (M) \ prawej] ^ {2} dV}$

gdzie jest punktem w polu geometrycznym i jest wartością w tym punkcie. Całka potrójna ma ponad 3 wymiary. to odległość separacji (np. w metrach lub km) zainteresowania. Na przykład wartość może reprezentować zawartość żelaza w glebie w pewnym miejscu (ze współrzędnymi geograficznymi szerokości, długości i wysokości) w pewnym regionie z elementem objętości . Aby uzyskać semiwariogram dla danego , próbkowane byłyby wszystkie pary punktów w tej dokładnej odległości. W praktyce niemożliwe jest pobieranie próbek wszędzie, dlatego zamiast tego stosuje się wariogram empiryczny . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle f (M)}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle f (M)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle dV}$${\ Displaystyle \ gamma (h)}$

Wariogram jest dwukrotnością semiwariogramu i może być zdefiniowany, równoważnie, jako wariancja różnicy między wartościami pól w dwóch lokalizacjach ( i , zauważ zmianę notacji z to i na ) w różnych realizacjach pola (Cressie 1993): ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {2}}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {s}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle Z}$

${\ Displaystyle 2 \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = {\ tekst {zmienna}} \ lewo (Z (\ mathbf {s} _ {1}) -Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-\mu (\mathbf {s} _{1})) -(Z(\mathbf {s} _{2})-\mu (\mathbf {s} _{2})))^{2}\right].}$

Jeśli przestrzenne pole losowe ma stałą średnią , jest to równoważne oczekiwaniu dla kwadratu przyrostu wartości między lokalizacjami i (Wackernagel 2003) (gdzie i są punktami w przestrzeni i ewentualnie w czasie): ${\ Displaystyle \ mu}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {2}}$

${\ Displaystyle 2 \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = E \ lewo [\ lewo (Z (\ mathbf {s} _ {1}) - Z ( \mathbf {s} _{2})\prawo)^{2}\prawo].}$

W przypadku procesu stacjonarnego wariogram i semiwariogram mogą być reprezentowane jako funkcja różnicy między lokalizacjami jedynie za pomocą następującej zależności (Cressie 1993): ${\ Displaystyle \ gamma _ {s} (h) = \ gamma (0,0 + h)}$${\ Displaystyle h = \ mathbf {s} _ {2} - \ mathbf {s} _ {1}}$

${\ Displaystyle \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = \ gamma _ {s} (\ mathbf {s} _ {2} - \ mathbf {s} _ {1}).}$

Jeżeli proces jest ponadto izotropowy , to wariogram i semiwariogram mogą być reprezentowane jedynie przez funkcję odległości (Cressie 1993): ${\ Displaystyle \ gamma _ {i} (h): = \ gamma _ {s} (he_ {1})}$${\ Displaystyle h = \ | \ mathbf {s} _ {2} - \ mathbf {s} _ {1} \ |}$

${\ Displaystyle \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = \ gamma _ {i} (h).}$

Indeksy lub zazwyczaj nie są napisane. Terminy są używane dla wszystkich trzech form funkcji. Co więcej, termin „wariogram” jest czasami używany do oznaczenia semiwariogramu, a symbol jest czasami używany dla wariogramu, co wprowadza pewne zamieszanie. ${\displaystyle i}$${\displaystyle s}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Nieruchomości

Według (Cressie 1993, Chiles i Delfiner 1999, Wackernagel 2003) wariogram teoretyczny ma następujące właściwości:

• Semiwariogram jest nieujemny , ponieważ jest oczekiwaniem kwadratu.${\ Displaystyle \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) \ geq 0}$
• Semiwariogram w odległości 0 to zawsze 0, ponieważ .${\ Displaystyle \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {1}) = \ gamma _ {i} (0) = E \ lewo ((Z (\ mathbf {s} _) {1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$${\ Displaystyle Z (\ mathbf {s} _ {1}) - Z (\ mathbf {s} _ {1}) = 0}$
• Funkcja jest semiwariogramem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją warunkowo ujemną określoną, tj. dla wszystkich wag podlegających i lokalizacji, które posiada:${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{N}}$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} = 0}$${\displaystyle s_{1},\ldots,s_{N}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ suma _ {j = 1} ^ {N} w_ {i} \ gamma (\ mathbf {s} _ {i}, \ mathbf {s} _ {j})w_{j}\równ 0}$

co odpowiada fakt, że odchylenie od określał negatyw tej podwójnej sumy i nie może być ujemna.${\displaystyle var(X)}$${\ Displaystyle X = \ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} Z (x_ {i})}$

• Jeśli istnieje funkcja kowariancji procesu stacjonarnego, jest ona powiązana z wariogramem przez

  ${\ Displaystyle 2 \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = C (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {1}) +C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• Jeśli stacjonarne pole losowe nie ma zależności przestrzennej (tj. if ), semiwariogram jest stałą wszędzie z wyjątkiem początku, gdzie wynosi zero.${\ Displaystyle C (h) = 0}$${\ Displaystyle h \ nie = 0}$${\displaystyle var(Z(\mathbf {s}}))}$
• ${\ Displaystyle \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = E \ lewo [| Z (\ mathbf {s} _ {1}) - Z (\ mathbf { s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$ jest funkcją symetryczną.
• W związku z tym jest funkcją parzystą .${\ Displaystyle \ gamma _ {s} (h) = \ gamma _ {s} (-h)}$
• Jeśli pole losowe jest stacjonarne i ergodyczne , odpowiada wariancji tego pola. Granica semiwariogramu nazywana jest również jego progiem .${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do \ infty} \ gamma _ {s} (h) = var (Z (\ mathbf {s} ))}$
• W konsekwencji semiwariogram może być nieciągły tylko na początku. Wysokość skoku w punkcie początkowym jest czasami określana jako samorodek lub efekt samorodka.

Parametry

Podsumowując, do opisu wariogramów często stosuje się następujące parametry:

• nugget : wysokość skoku semiwariogramu w nieciągłości w punkcie początkowym.${\ Displaystyle n}$
• próg : granica wariogramu mająca tendencję do nieskończoności odległości opóźnienia.${\displaystyle s}$
• range : Odległość, w której różnica wariogramu od progu staje się nieistotna. W modelach ze stałym progiem jest to odległość, przy której zostaje on osiągnięty po raz pierwszy; w przypadku modeli z progiem asymptotycznym konwencjonalnie przyjmuje się odległość, w której semiwariancja po raz pierwszy osiąga 95% progu.${\ Displaystyle r}$

Wariogram empiryczny

Ogólnie rzecz biorąc, wariogram empiryczny jest potrzebny dla danych pomiarowych, ponieważ informacje o próbce nie są dostępne dla każdej lokalizacji. Informacją o próbce może być na przykład stężenie żelaza w próbkach gleby lub intensywność pikseli w aparacie. Każda informacja o próbce ma współrzędne dla przestrzeni próbki 2D, gdzie i są współrzędnymi geograficznymi. W przypadku żelaza w glebie przestrzeń próbki może być trójwymiarowa. Jeśli istnieje również zmienność czasowa (np. zawartość fosforu w jeziorze), może to być wektor czterowymiarowy . W przypadku, gdy wymiary mają różne jednostki (np. odległość i czas), do każdego można zastosować współczynnik skalowania, aby uzyskać zmodyfikowaną odległość euklidesową. ${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle \ mathbf {s} = (x, y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbf {s}}$${\displaystyle (x,y,z,t)}$${\ Displaystyle B}$

Przykładowe obserwacje są oznaczone . Próbki można pobierać w różnych lokalizacjach. Zapewniłoby to zestaw próbek w lokalizacjach . Ogólnie rzecz biorąc, wykresy przedstawiają wartości semiwariogramu jako funkcję rozdziału punktów próbkowania . W przypadku semiwariogramu empirycznego, zamiast dokładnych odległości stosuje się kosze odległości separacji i zwykle zakłada się warunki izotropowe (tj. jest to tylko funkcja i nie zależy od innych zmiennych, takich jak położenie środka). Następnie można obliczyć semiwariogram empiryczny dla każdego bin: ${\ Displaystyle Z (\ mathbf {s} _ {i}) = z_ {i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z_{1},\ldots,z_{k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {1} \ ldots \ mathbf {s} _ {k}}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle h\pm \delta}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle {\kapelusz {\gamma}}(h\pm \delta)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ gamma}} (h \ pm \ delta): = {\ frac {1} {2 | N (h \ pm \ delta) |}} \ suma _ {(i, j) \ w N(h\pm \delta )}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

Innymi słowy, znaleziono każdą parę punktów oddzielonych (plus lub minus pewien zakres tolerancji szerokości przedziału ). Stanowią one zbiór punktów . Liczba tych punktów w tym koszu to . Następnie dla każdej pary punktów znajduje się kwadrat różnicy obserwacji (np. zawartość próbki gleby lub intensywność pikseli) ( ). Te kwadraty różnic są sumowane i normalizowane przez liczbę naturalną . Z definicji wynik jest dzielony przez 2 dla semiwariogramu w tym rozdziale. ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle N (h \ pm \ delta) \ równoważnik \ {(\ mathbf {s} _ {i}, \ mathbf {s} _ {j}): | \ mathbf {s} _ {i}, \ mathbf {s} _{j}|=h\pm \delta ;i,j=1,\ldots ,N\}}$${\ Displaystyle | N (h\pm \delta) |}$${\displaystyle ja,j}$${\ Displaystyle | z_ {i}-z_ {j} | ^ {2}}$${\ Displaystyle | N (h\pm \delta) |}$

Do szybkości obliczeniowej potrzebne są tylko unikalne pary punktów. Na przykład dla 2 obserwacji należy uwzględnić tylko pary [ ] z lokalizacji z separacją [ ], ponieważ pary [ ] nie dostarczają żadnych dodatkowych informacji. ${\ Displaystyle (z_ {a}, z_ {b}), (z_ {c}, z_ {d})}$${\displaystyle h\pm \delta}$${\ Displaystyle (z_ {a}, z_ {b}), (z_ {c}, z_ {d})}$${\ Displaystyle (z_ {b}, z_ {a}), (z_ {d}, z_ {c})}$

Modele wariogramów

Wariogramu empirycznego nie można obliczyć dla każdej odległości opóźnienia, a ze względu na zmienność oszacowania nie ma pewności, że jest to prawidłowy wariogram, jak zdefiniowano powyżej. Jednak niektóre metody geostatystyczne , takie jak kriging, wymagają prawidłowych semiwariogramów. W geostatystyce stosowanej wariogramy empiryczne są więc często aproksymowane funkcją modelu zapewniającą trafność (Chiles i Delfiner 1999). Niektóre ważne modele to (Chiles i Delfiner 1999, Cressie 1993): ${\ Displaystyle h}$

• Wykładniczy model wariogramu

  ${\ Displaystyle \ gamma (h) = (sn) (1-\ exp (-h / (ra))) + n1_ {(0, \ infty)} (h).}$

• Sferyczny model wariogramu

  ${\ Displaystyle \ gamma (h) = (sn) \ lewo (\ lewo ({\ Frac {3h} {2r}} - {\ Frac {h ^ {3}} 2r ^ {3}}} \ prawej) 1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• Model wariogramu Gaussa

  ${\ Displaystyle \ gamma (h) = (sn) \ lewo (1-\ exp \ lewo (- {\ Frac {h ^ {2}} {r ^ {2} a}} \ po prawej) \ po prawej) + n1_ {(0,\infty )}(h).}$

Parametr ma różne wartości w różnych odniesieniach, ze względu na niejednoznaczność definicji zakresu. Np. jest wartością używaną w (Chiles&Definer 1999). Funkcji wynosi 1, gdy a 0 w pozostałych przypadkach. ${\displaystyle a}$${\displaystyle a=1/3}$${\ Displaystyle 1_ {A} (h)}$${\ Displaystyle h \ w A}$

Dyskusja

W geostatystyce stosuje się trzy funkcje do opisu przestrzennej lub czasowej korelacji obserwacji: są to korelogram , kowariancja i semiwariogram . Ten ostatni jest również prościej nazywany wariogramem . Wariogramów próbek , w przeciwieństwie do semivariogram i wariogramów, pokazuje, w którym stopień zależności przestrzennej powierzchni próbki i próbek rozprasza urządzenie do przypadkowości gdy warunki wariancji czasowo lub in situ uporządkowanym wykreślono wariancji zestawu oraz dolne granice jego 99% i 95% zakresów ufności.

Wariogram jest kluczową funkcją w geostatystyce, ponieważ zostanie wykorzystany do dopasowania modelu czasowej/ przestrzennej korelacji obserwowanego zjawiska. W ten sposób dokonuje się rozróżnienia między wariogramem eksperymentalnym, który jest wizualizacją możliwej korelacji przestrzennej/czasowej, a modelem wariogramu, który jest dalej używany do definiowania wag funkcji krigingu . Należy zauważyć, że wariogramów doświadczalne empiryczny oszacowanie kowariancji z procesu Gaussa . Jako taki, może nie być określony dodatnio, a zatem nie może być bezpośrednio wykorzystany w krigingu , bez ograniczeń lub dalszego przetwarzania. To wyjaśnia, dlaczego wykorzystywana jest tylko ograniczona liczba modeli wariogramów: najczęściej modele liniowe, sferyczne, gaussowskie i wykładnicze.

Aplikacje

Empiryczny wariogramów stosuje się geostatystyki jako pierwsze oszacowanie modelu wariogramów potrzebnej do interpolacji przestrzennego w kriging .

• Do określenia kryteriów koincydencji dla pomiarów satelitarnych i naziemnych wykorzystano wariogramy empiryczne zmienności czasoprzestrzennej uśrednionego kolumnowo dwutlenku węgla .
• Wariogramy empiryczne obliczono dla gęstości materiału niejednorodnego (Gilsocarbon).
• Empiryczne semiwariogram są obliczane na podstawie obserwacji silnego ruchu ziemi od trzęsienia ziemi . Modele te są wykorzystywane do oceny ryzyka sejsmicznego i strat infrastruktury rozproszonej przestrzennie.

Pojęcia pokrewne

Kwadrat określenie w wariogramów, na przykład mogą być zastąpione różnymi uprawnieniami: a madogram , definiuje się jako bezwzględną różnicę , i rodogram określa się z pierwiastka bezwzględnej różnicy . Mówi się, że estymatory oparte na tych niższych potęgach są bardziej odporne na wartości odstające . Można je uogólnić jako „wariogram rzędu α ”, ${\ Displaystyle (Z (\ mathbf {s} _ {1}) - Z (\ mathbf {s} _ {2})) ^ {2}}$${\ Displaystyle | Z (\ mathbf {s} _ {1}) - Z (\ mathbf {s} _ {2}) |}$${\ Displaystyle | Z (\ mathbf {s} _ {1}) - Z (\ mathbf {s} _ {2}) | ^ {0,5}}$

${\ Displaystyle 2 \ gamma (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = E \ lewo [\ lewo | Z (\ mathbf {s} _ {1}) - Z ( \mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$,

gdzie wariogram jest rzędu 2, madogram jest wariogramem rzędu 1, a rodogram jest wariogramem rzędu 0,5.

Kiedy wariogram jest używany do opisania korelacji różnych zmiennych, nazywa się go wariogramem krzyżowym . W co-krigingu stosuje się wariogramy krzyżowe . Jeżeli zmienna jest binarna lub reprezentuje klasy wartości, mówi się wtedy o wariogramach wskaźnikowych . Wariogram wskaźnikowy jest używany w krigingu wskaźnikowym .

Bibliografia

Dalsza lektura

• Cressie, N., 1993, Statystyka danych przestrzennych, Wiley Interscience.
• Chiles, JP, P. Delfiner, 1999, Geostatystyka, modelowanie niepewności przestrzennej, Wiley-Interscience.
• Wackernagel, H., 2003, Geostatystyka wielowymiarowa, Springer.
• Burrough, PA i McDonnell, RA, 1998, Zasady systemów informacji geograficznej.
• Isobel Clark, 1979, Practical Geostatistics, Applied Science Publishers .
• Clark, I., 1979, Practical Geostatistics , Applied Science Publishers.
• David, M., 1978, Geostatystyczne szacowanie zasobów rudy , Wydawnictwo Elsevier.
• Hald, A., 1952, Statistical Theory with Engineering Applications , John Wiley & Sons, New York.
• Journel, AG i Huijbregts, Ch. J., 1978 Geostatystyka Górnicza , Wydawnictwo Akademickie.

Zewnętrzne linki

• AI-GEOSTATS: zasób edukacyjny na temat geostatystyki i statystyki przestrzennej
• Geostatystyka: Wykład Rudolfa Duttera na Politechnice Wiedeńskiej