Zasada dobrego zamawiania - Well-ordering principle

W matematyce , to dobrze zamawianiu zasada stanowi, że każdy niepusty zbiór liczb całkowitych dodatnich zawiera najmniejszego elementu . Innymi słowy, zbiór dodatnich liczb całkowitych jest uporządkowany w porządku „naturalnym” lub „wielkości”, w którym poprzedza wtedy i tylko wtedy, gdy jest albo lub sumą liczby całkowitej dodatniej (inne uporządkowania obejmują porządkowanie ; i ). ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2,4,6,...}$${\displaystyle 1,3,5,...}$

Wyrażenie „zasada dobrego uporządkowania” jest czasami uważane za synonim „ twierdzenia dobrego uporządkowania ”. W innych przypadkach rozumie się, że zbiór liczb całkowitych zawiera uporządkowany podzbiór, zwany liczbami naturalnymi , w którym każdy niepusty podzbiór zawiera co najmniej element. ${\displaystyle \{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}}$

W zależności od struktury, w której wprowadza się liczby naturalne, ta (drugiego rzędu) własność zbioru liczb naturalnych jest albo aksjomatem, albo twierdzeniem dowodzącym. Na przykład:

• W Peano arytmetyki , drugiego rzędu arytmetyki i systemów powiązanych i rzeczywiście w większości (niekoniecznie formalnych) zabiegów matematycznych zasada dobrego uporządkowania, zasada wywodzi się z zasady indukcji matematycznej , która sama jest traktowanych jako podstawowe.
• Biorąc pod uwagę liczby naturalne jako podzbiór liczb rzeczywistych i zakładając, że wiemy już, że liczby rzeczywiste są zupełne (znowu albo jako aksjomat albo twierdzenie o systemie liczb rzeczywistych), tj. każdy ograniczony (od dołu) zbiór ma granicę, to również każdy zbiór liczb naturalnych ma granicę, powiedzmy . Możemy teraz znaleźć liczbę całkowitą , która leży w przedziale półotwartym , a następnie możemy wykazać, że musimy mieć , oraz w .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle a ^ {*}}$${\ Displaystyle n ^ {*}}$${\ Displaystyle a ^ {*}}$${\ Displaystyle (n ^ {*} -1, n ^ {*}]}$${\ Displaystyle a ^ {*} = n ^ {*}}$${\ Displaystyle n ^ {*}}$${\ Displaystyle A}$
• W aksjomatycznej teorii mnogości liczby naturalne definiuje się jako najmniejszy zbiór indukcyjny (tj. zbiór zawierający 0 i zamknięty pod działaniem następnika). Można (nawet bez odwoływania się do aksjomatu regularności ) wykazać, że zbiór wszystkich liczb naturalnych taki, że „ jest uporządkowany” jest indukcyjny i dlatego musi zawierać wszystkie liczby naturalne; z tej własności można wywnioskować, że zbiór wszystkich liczb naturalnych jest również uporządkowany.${\ Displaystyle n}$${\displaystyle \{0\ldots,n\}}$

W drugim sensie wyrażenie to jest używane, gdy twierdzenie to jest przywoływane w celu uzasadnienia dowodów, które przyjmują następującą postać: aby udowodnić, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru , załóżmy odwrotnie, co implikuje, że zbiór kontrprzykładów jest niepusta i dlatego zawiera najmniejszy kontrprzykład. Następnie pokaż, że dla każdego kontrprzykładu istnieje jeszcze mniejszy kontrprzykład, wytwarzający sprzeczność. Ten sposób argumentacji jest przeciwieństwem dowodu przez całkowitą indukcję . Jest znana beztrosko jako metoda „ minimalnego przestępcy ” i jest podobna w swej naturze do metody „ nieskończonego schodzenia ” Fermata . ${\displaystyle S}$

Garrett Birkhoff i Saunders Mac Lane napisali w A Survey of Modern Algebra, że ta własność, podobnie jak aksjomat najmniejszej górnej granicy liczb rzeczywistych, nie jest algebraiczna; tj. nie można go wyprowadzić z algebraicznych własności liczb całkowitych (które tworzą uporządkowaną domenę całkową ).

Bibliografia