Tensor Weyla - Weyl tensor

W geometrii różniczkowej The krzywizna napinacz Weyl , nazwany Hermann Weyl jest miarą krzywizny w czasoprzestrzeni lub, bardziej ogólnie, w kolektorze pseudo Riemanna . Podobnie jak tensor krzywizny Riemanna, tensor Weyla wyraża siłę pływową odczuwaną przez ciało poruszające się po geodezji . Tensor Weyla różni się od tensora krzywizny Riemanna tym, że nie przekazuje informacji o tym, jak zmienia się objętość ciała, a jedynie w jaki sposób kształt ciała jest zniekształcany przez siłę pływową. Ricci krzywizna , lub ślad składowa tensora Riemanna zawiera dokładne informacje o tym, jak zmienić woluminów w obecności sił pływowych, więc tensor Weyla jest bezśladowy składowa tensora Riemanna. Jest to tensor, który ma takie same symetrie jak tensor Riemanna, z dodatkowym warunkiem, że jest bezśladowy: skrócenie metryczne na dowolnej parze indeksów daje zero.

W ogólnej teorii względności krzywizna Weyla jest jedyną częścią krzywizny, która istnieje w wolnej przestrzeni — rozwiązanie próżniowego równania Einsteina — i reguluje propagację fal grawitacyjnych przez obszary przestrzeni pozbawione materii. Bardziej ogólnie, krzywizna Weyla jest jedynym składnikiem krzywizny dla rozmaitości płaskich Ricciego i zawsze rządzi charakterystyką równań pola rozmaitości Einsteina .

W wymiarach 2 i 3 tensor krzywizny Weyla znika identycznie. W wymiarach ≥ 4 krzywizna Weyla jest na ogół niezerowa. Jeśli tensor Weyla znika w wymiarze ≥ 4, to metryka jest lokalnie konformalnie płaska : istnieje lokalny układ współrzędnych, w którym tensor metryczny jest proporcjonalny do stałego tensora. Fakt ten był kluczowym elementem teorii grawitacji Nordströma , która była prekursorem ogólnej teorii względności .

Definicja

Tensor Weyla można uzyskać z tensora pełnej krzywizny, odejmując różne ślady. Najłatwiej to zrobić, zapisując tensor Riemanna jako (0,4) tensor walencyjny (poprzez skrócenie z metryką). ( Petersen 2006 , s. 92)

${\ Displaystyle C = R-{\ Frac {1} {n-2}} \ lewo (\ operatorname {Ric} - {\ Frac {s} {n}} g \ po prawej) \ klin \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g - {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g}$

gdzie n to wymiar rozmaitości, g to metryka, R to tensor Riemanna, Ric to tensor Ricciego , s to krzywizna skalarna , i oznacza iloczyn Kulkarniego-Nomizu dwóch symetrycznych (0,2) tensorów: ${\displaystyle h\klin \!\!\!\!\!\bigcirc k}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (h \ klin \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k) \ lewo (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}, v_ {4 }\right)=\quad &h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2},v_{4}\right)+h\left(v_{2},v_ {4}\right)k\left(v_{1},v_{3}\right)\\-{}&h\left(v_{1},v_{4}\right)k\left(v_{2 },v_{3}\right)-h\left(v_{2},v_{3}\right)k\left(v_{1},v_{4}\right)\end{aligned}}}$

W notacji składowej tensorowej można to zapisać jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} C_ {ik \ ell m} = R_ {ik \ ell m} + {} i {\ Frac {1} {n-2}} \ lewo (R_ {im} g_ {k \ell }-R_{i\ell }g_{km}+R_{k\ell }g_{im}-R_{km}g_{i\ell }\right)\\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell }g_{km}-g_{im}g_{k\ell }\right).\ \end{aligned }}}$

Zwykły (1,3) wartościowy tensor Weyla jest następnie podawany przez skrócenie powyższego z odwrotnością metryki.

Rozkład ( 1 ) wyraża tensor Riemanna jako prostopadłą sumę prostą w tym sensie, że

${\ Displaystyle | R | ^ {2} = | C | ^ {2} + \ lewo | {\ Frac {1} {n-2}} \ lewo (\ operatorname {Ric} - {\ Frac {s} n}}g\right)\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc g\right|^{2}+\left|{\frac {s}{2n(n-1)}} g\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc g\right|^{2}.}$

Ta dekompozycja, znana jako dekompozycja Ricciego , wyraża tensor krzywizny Riemanna na jego nieredukowalne składowe pod działaniem grupy ortogonalnej ( Singer i Thorpe 1968 ) . W wymiarze 4 tensor Weyla dalej rozkłada się na czynniki niezmienne dla działania specjalnej grupy ortogonalnej , części self-dual i anty-self-dual C ⁺ i C ⁻ . błąd harv: brak celu: CITEREFSingerThorpe1968 ( pomoc )

Tensor Weyla może być również wyrażony za pomocą tensora Schoutena , który jest wielokrotnością tensora Ricciego dostosowaną śladowo,

${\ Displaystyle P = {\ Frac {1} {n-2}} \ lewo (\ operatorname {Ric} - {\ Frac {s} {2 (n-1)}} g \ prawej).}$

Następnie

${\ Displaystyle C = RP \ klin \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g.}$

W indeksach

${\ Displaystyle C_ {abcd} = R_ {abcd} - {\ Frac {2} {n-2}} \ lewo (g_ {a [c} R_ {d] b} -g_ {b [c} R_ {d) ]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}$

gdzie to tensor Riemanna, to tensor Ricciego, to skalar Ricciego (krzywizna skalarna), a nawiasy wokół indeksów odnoszą się do części antysymetrycznej . Równoważnie, ${\displaystyle R_{abcd}}$${\displaystyle R_{ab}}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle {C_ {ab}} ^ {cd} = {R_ {ab}} ^ {cd}-4S_ {[a} ^ {[c} \ delta _ {b]} ^ {d]}}$

gdzie S oznacza tensor Schoutena .

Nieruchomości

Przeskalowanie konformalne

Tensor Weyla ma specjalną właściwość polegającą na tym, że jest niezmienny przy konforemnych zmianach metryki . To znaczy, jeśli dla jakiejś dodatniej funkcji skalarnej wtedy (1,3) wartościowy tensor Weyla spełnia . Z tego powodu tensor Weyla jest również nazywany tensorem konforemnym . Wynika z tego, że warunkiem koniecznym, aby rozmaitość riemannowska była konformalnie płaska, jest zanik tensora Weyla. W wymiarach ≥ 4 warunek ten jest również wystarczający . W wymiarze 3 zanik tensora Cottona jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby rozmaitość riemannowska była konformalnie płaska. Każda dwuwymiarowa (gładka) rozmaitość riemannowska jest konformalnie płaska, co jest konsekwencją istnienia współrzędnych izotermicznych . ${\ Displaystyle g_ {\ mu \ nu} \ mapsto g'_ {\ mu \ nu} = fg_ {\ mu \ nu}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle {C '} _ {\ \ bcd} ^ {a} = C_ {\ \ bcd} ^ {a}}$

Rzeczywiście, istnienie konformalnie płaskiej skali sprowadza się do rozwiązania naddeterminowanego równania różniczkowego cząstkowego

${\ Displaystyle Ddf-df \ otimes df + \ lewo (| df | ^ {2} + {\ Frac {\ Delta f} {n-2}} \ prawej) g = \ nazwa operatora {Ric}.}$

W wymiarze ≥ 4 zanik tensora Weyla jest jedynym warunkiem całkowalności tego równania; w wymiarze 3 jest to tensor Cotton .

Symetrie

Tensor Weyla ma takie same symetrie jak tensor Riemanna. To zawiera:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} C (u, v) i = - C (v, u) \ \ \ langle C (u, v) w, z \ rangle & = - \ langle C (u, v) z, w \ rangle \\ C (u, v) w + C (v, w) u + C (w, u) v & = 0. \ end {aligned}}}$

Ponadto, oczywiście, tensor Weyla jest bezśladowy:

${\ Displaystyle \ Operatorname {tr} C (u \ cdot) v = 0}$

dla wszystkich u , v . W indeksach te cztery warunki to

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} C_ {abcd} = - C_ {bacd} i = - C_ {abdc} \ \ C_ {abcd} + C_ {Acdb} + C_ {adbc} i = 0 \ \ {C ^ {a}}_{bac}&=0.\end{wyrównany}}}$

Tożsamość Bianchi

Stwierdzenie śladów zwykłej drugiej tożsamości Bianchiego tensora Riemanna ostatecznie pokazuje, że:

${\ Displaystyle \ nabla _ {a} {C ^ {a}} _ {BCD} = 2 (n-3) \ nabla _ {[c} S_ {d] b}}$

gdzie S jest tensorem Schoutena . Tensor walencyjny (0,3) po prawej stronie to tensor Bawełny , poza czynnikiem początkowym.

Zobacz też

• Krzywizna rozmaitości riemannowskich
• Symbole Christoffela zapewniają współrzędne wyrażenia dla tensora Weyla.
• Tensor Lanczosa
• Twierdzenie o peelingu
• Klasyfikacja Pietrowa
• Tensor Plebańskiego
• Hipoteza krzywizny Weyla
• Skalar Weyla

Uwagi

Bibliografia

• Hawking, Stephen W. ; Ellis, George FR (1973), Struktura wielkoskalowa czasoprzestrzeni , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
• Petersen, Peter (2006), geometria riemannowska , Graduate Texts in Mathematics, 171 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 0387292462, MR  2243772.
• Sharpe, RW (1997), Geometria różniczkowa: uogólnienie Cartana programu Erlangen Kleina , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.
• Piosenkarz, komunikator internetowy ; Thorpe, JA (1969), "Krzywizna 4-wymiarowych przestrzeni Einsteina", Analiza Globalna (Papiery na cześć K. Kodairy) , Univ. Tokyo Press, s. 355–365
• „Tensor Weyla” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Ogólna teoria względności Einsteina , New York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2