Rozmaitość Einsteina - Einstein manifold

W różnicowego geometrii i fizyce matematycznej An kolektora Einsteina jest Riemanna lub pseudo-Riemanna różniczkowalną kolektorze którego Ricci napinacz jest proporcjonalna do metryki . Zostały nazwane na cześć Alberta Einsteina, ponieważ warunek ten jest równoznaczny z stwierdzeniem, że metryka jest rozwiązaniem równań pola próżniowego Einsteina (ze stałą kosmologiczną ), chociaż zarówno wymiar, jak i sygnatura metryki mogą być dowolne, a zatem nie ograniczają się do czterowymiarowe rozmaitości lorentzowskie zwykle badane w ogólnej teorii względności . Rozmaitości Einsteina w czterech wymiarach euklidesowych są badane jako instantony grawitacyjne .

Jeśli M jest podstawową rozmaitością n- wymiarową , a g jest jej tensorem metrycznym , warunek Einsteina oznacza, że

${\ Displaystyle \ operatorname {Ric} = kg}$

dla pewnej stałej k , gdzie Ric oznacza Ricci tensor z g . Rozmaitości Einsteina z k = 0 nazywane są rozmaitościami płaskimi Ricciego .

Warunek Einsteina i równanie Einsteina

We współrzędnych lokalnych warunek, że ( M , g ) będzie rozmaitością Einsteina jest po prostu

${\ Displaystyle R_ {ab} = kg_ {ab}.}$

Śledzenie obu stron pokazuje, że stała proporcjonalności k dla rozmaitości Einsteina jest powiązana z krzywizną skalarną R przez

${\displaystyle R=nk}$

gdzie n jest wymiarem M .

W ogólnej teorii względności , równanie Einsteina o stałej kosmologicznej X jest

${\ Displaystyle R_ {ab} - {\ Frac {1} {2}} g_ {ab} R + g_ {ab} \ Lambda = \ kappa T_ {ab}}$

gdzie κ jest stałą grawitacyjną Einsteina . Tensor napięć-energii T _ab daje zawartość materii i energii bazowego czasoprzestrzeni. W próżni (obszar czasoprzestrzeni pozbawiony materii) T _ab = 0 , a równanie Einsteina można przepisać w postaci (przy założeniu, że n > 2 ):

${\ Displaystyle R_ {ab} = {\ Frac {2 \ Lambda} {n-2}} \ g_ {ab}.}$

Dlatego próżniowe rozwiązania równania Einsteina są (Lorentzowskimi) rozmaitościami Einsteina o k proporcjonalnym do stałej kosmologicznej.

Przykłady

Proste przykłady rozmaitości Einsteina obejmują:

• Każda rozmaitość o stałej krzywiźnie przekroju jest rozmaitością Einsteina — w szczególności:
  • Przestrzeń euklidesowa , która jest płaska, jest prostym przykładem płaskości Ricciego, stąd metryka Einsteina.
  • N -sphere , z metryka jest okrągła z Einsteina .${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle k = n-1}$
  • Przestrzeń hiperboliczna z metryką kanoniczną to Einstein z .${\displaystyle k=-(n-1)}$
• Złożona przestrzeń rzutowa , , z metryką Fubiniego-Study , ma${\ Displaystyle \ mathbf {CP} ^ {n}}$${\displaystyle k=n+1.}$
• Rozmaitości Calabiego-Yau dopuszczają metrykę Einsteina, która jest również Kähler , ze stałą Einsteina . Takie metryki nie są unikalne, ale raczej pochodzą z rodzin; istnieje metryka Calabiego-Yau w każdej klasie Kählera, a metryka zależy również od wyboru złożonej struktury. Na przykład na K3 istnieje 60-parametrowa rodzina takich metryk , z których 57 parametrów daje początek metrykom Einsteina, które nie są powiązane izometriami lub przeskalowaniem.${\ Displaystyle k = 0}$
• Metryki Kählera-Einsteina istnieją na różnych zwartych złożonych rozmaitościach ze względu na wyniki istnienia Shing-Tung Yau i późniejsze badanie K-stabilności .

Warunkiem koniecznym, aby zamknięte , zorientowane , 4-rozmaitości były Einsteina, jest spełnienie nierówności Hitchina–Thorpe'a .

Aplikacje

Czterowymiarowe rozmaitości riemannowskie Einsteina są również ważne w fizyce matematycznej jako instantony grawitacyjne w kwantowych teoriach grawitacji . Termin „ instanton grawitacyjny” jest zwykle używany jako ograniczenie do 4-rozmaitości Einsteina, których tensor Weyla jest samodualny, i zwykle zakłada się, że metryka jest asymptotyczna do standardowej metryki 4-przestrzeni euklidesowej (a zatem jest kompletna, ale nie- kompaktowy ). W geometrii różniczkowej, samodwoiste 4-rozmaitości Einsteina są również znane jako (4-wymiarowe) rozmaitości hiperkählera w przypadku płaskiego Ricciego, a kwaternionowe rozmaitości Kählera w przeciwnym razie.

Większe rozmaitości Lorentza Einsteina są wykorzystywane we współczesnych teoriach grawitacji, takich jak teoria strun , M-teoria i supergrawitacja . Rozmaitości hiperkählera i kwaternionów Kählera (które są specjalnymi rodzajami rozmaitości Einsteina) mają również zastosowanie w fizyce jako przestrzenie docelowe dla nieliniowych modeli σ z supersymetrią .

Zwarte rozmaitości Einsteina były szeroko badane w geometrii różniczkowej, a wiele przykładów jest znanych, chociaż ich konstruowanie jest często trudne. Szczególnie trudno jest znaleźć kompaktowe rozmaitości płaskie Ricciego: w monografii na ten temat autorstwa pseudonimowego autora Arthura Besse czytelnikom proponuje się posiłek w restauracji z gwiazdką w zamian za nowy przykład.

Zobacz też

• Wiązka wektorów Einsteina-Hermita

Uwagi i referencje

• Besse, Arthur L. (1987). Rozmaitości Einsteina . Klasyka w matematyce. Berlin: Springer. Numer ISBN 3-540-74120-8.