Elie Cartan - Élie Cartan

Elie Cartan
Profesor Elie Joseph Cartan
Urodzić się	( 1869-04-09 )9 kwietnia 1869 Dolomieu, Isère , Francja
Zmarł	6 maja 1951 (1951-05-06)(w wieku 82) Paryż, Francja
Narodowość	Francja
Alma Mater	Uniwersytet Paryski
Znany z	Grupy Liego ( Twierdzenie Cartana ) Przestrzenie wektorowe i algebra zewnętrzna Geometria różniczkowa Szczególna i ogólna teoria względności Formy różniczkowe Mechanika kwantowa ( spinory , wektory wirujące ) Lista rzeczy nazwanych na cześć Éliego Cartana
Nagrody	Nagroda Leconte (1930) Nagroda Łobaczewskiego (1937) Prezes Francuskiej Akademii Nauk (1946) Członek Towarzystwa Królewskiego (1947)
Kariera naukowa
Pola	Matematyka i fizyka
Instytucje	Uniwersytet Paryski École Normale Supérieure
Praca dyplomowa	Sur la structure des groupes de transforms finis et continus  (1894)
Doradca doktorski	Gaston Darboux Sophus kłamstwo
Doktoranci	Charles Ehresmann Mohsen Hashtroodi Kentaro Yano
Inni ważni studenci	Shiing-Shen Chern

Élie Joseph Cartan, ForMemRS ( francuski:  [kaʁtɑ̃] ; 9 kwietnia 1869 – 6 maja 1951) był wpływowym francuskim matematykiem, który wykonał fundamentalną pracę w zakresie teorii grup Liego , systemów różniczkowych (bez współrzędnych geometrycznych sformułowań PDE ) i różniczkowych geometria . Wniósł także znaczący wkład do ogólnej teorii względności i pośrednio do mechaniki kwantowej . Jest powszechnie uważany za jednego z największych matematyków XX wieku.

Jego syn Henri Cartan był wpływowym matematykiem pracującym w topologii algebraicznej .

Życie

Élie Cartan urodziła się 9 kwietnia 1869 w wiosce Dolomieu, Isère do Josepha Cartana (1837-1917) i Anne Cottaz (1841-1927). Joseph Cartan był wiejskim kowalem; Élie Cartan wspominał, że jego dzieciństwo przeszło pod „uderzeniami kowadła, które zaczynały się każdego ranka od świtu” i że „jego matka, w tych rzadkich chwilach, kiedy była wolna od opieki nad dziećmi i domem, pracowała z kołowrotek". Élie miała starszą siostrę Jeanne-Marie (1867-1931), która została krawcową; młodszy brat Léon (1872–1956), który został kowalem pracującym w kuźni ojca; oraz młodszą siostrę Annę Cartan (1878-1923), która częściowo pod wpływem Éliego wstąpiła do École Normale Supérieure (tak jak wcześniej Élie) i wybrała karierę jako nauczycielka matematyki w lycée (liceum).

Élie Cartan wstąpił do szkoły podstawowej w Dolomieu i był najlepszym uczniem w szkole. Jeden z jego nauczycieli, M. Dupuis, wspominał: „Elie Cartan był nieśmiałym uczniem, ale niezwykłe światło wielkiego intelektu świeciło w jego oczach, a to łączyło się z doskonałą pamięcią”. Antonin Dubost , ówczesny przedstawiciel Isère , odwiedził szkołę i był pod wrażeniem niezwykłych zdolności Cartana. Polecił Cartanowi udział w konkursie na stypendium w liceum . Cartan przygotowywał się do konkursu pod okiem M. Dupuis i zdał w wieku dziesięciu lat. Spędził pięć lat (1880-1885) w College of Vienne, a następnie dwa lata (1885-1887) w Lycée of Grenoble. W 1887 przeniósł się do Lycée Janson de Sailly w Paryżu, aby przez dwa lata studiować nauki ścisłe; tam poznał i zaprzyjaźnił się ze swoim kolegą z klasy Jean-Baptiste Perrin (1870-1942), który później stał się słynnym fizykiem we Francji.

Cartan wstąpił do École Normale Supérieure w 1888 roku. Uczęszczał tam na wykłady Charlesa Hermite'a (1822-1901), Julesa Tannery'ego (1848-1910), Gastona Darboux (1842-1917), Paula Appella (1855-1930), Émile'a Picarda ( 1856–1941), Edouarda Goursata (1858–1936) i Henri Poincaré (1854–1912), których wykłady były tym, o czym Cartan najbardziej cenił.

Po ukończeniu École Normale Superieure w 1891 r. Cartan został powołany do armii francuskiej, gdzie służył przez rok i osiągnął stopień sierżanta. Przez kolejne dwa lata (1892-1894) Cartan powrócił do ENS i za radą swojego szkolnego kolegi Arthura Tresse (1868-1958), który uczył się u Sophusa Liego w latach 1888-1889, pracował nad tematem klasyfikacji prostych grup Liego , którą rozpoczął Wilhelm Killing . W 1892 roku Lie przybył do Paryża na zaproszenie Darboux i Garbarni i po raz pierwszy spotkał Cartana.

Cartan obronił pracę doktorską Struktura skończonych ciągłych grup przekształceń w 1894 r. na Wydziale Nauk na Sorbonie. W latach 1894-1896 Cartan był wykładowcą na uniwersytecie w Montpellier ; w latach 1896-1903 był wykładowcą na Wydziale Nauk Uniwersytetu w Lyonie .

W 1903 r. podczas pobytu w Lyonie Cartan poślubił Marie-Louise Bianconi (1880–1950); w tym samym roku Cartan został profesorem na Wydziale Nauk Uniwersytetu w Nancy . W 1904 roku urodził się pierwszy syn Cartana , Henri Cartan , który później został wpływowym matematykiem; w 1906 urodził się kolejny syn, Jean Cartan, który został kompozytorem. W 1909 Cartan przeniósł się z rodziną do Paryża i pracował jako wykładowca na Wydziale Nauk na Sorbonie. W 1912 r. Cartan został tam profesorem na podstawie referencji, którą otrzymał od Poincaré. Pozostał na Sorbonie aż do przejścia na emeryturę w 1940 roku i ostatnie lata życia spędził ucząc matematyki w École Normale Supérieure dla dziewcząt.

Jako uczeń Cartana, geometr Shiing-Shen Chern napisał:

Zwykle dzień po [spotkaniu z Cartanem] dostawałem od niego list. Mówił: „Po tym, jak wyszedłeś, myślałem więcej o twoich pytaniach…” – miał pewne wyniki, kilka dodatkowych pytań i tak dalej. Znał wszystkie te papiery na prostych grup Lie , algebr Liego , wszystkie na pamięć. Kiedy widziałeś go na ulicy, kiedy pojawiał się jakiś problem, wyciągał jakąś starą kopertę, coś pisał i dawał ci odpowiedź. I czasami zajęło mi godziny lub nawet dni, aby uzyskać tę samą odpowiedź… Musiałem bardzo ciężko pracować.

W 1921 został członkiem zagranicznym Polskiej Akademii Umiejętności, aw 1937 członkiem zagranicznym Królewskiej Holenderskiej Akademii Sztuk i Nauk . W 1938 uczestniczył w Międzynarodowym Komitecie powołanym do organizowania Międzynarodowych Kongresów Jedności Nauki.

Zmarł w 1951 roku w Paryżu po długiej chorobie.

W 1976 roku jego imieniem nazwano krater księżycowy . Wcześniej nosił nazwę Apollonius D.

Praca

W Travaux Cartan dzieli swoją pracę na 15 obszarów. Używając nowoczesnej terminologii, są to:

1. Teoria kłamstwa
2. Reprezentacje grup Liego
3. Liczby hiperzłożone , algebry dzielenia
4. Systemy PDE, twierdzenie Cartana-Kählera
5. Teoria równoważności
6. Układy całkowalne , teoria przedłużenia i układy w inwolucji
7. Grupy nieskończenie wymiarowe i pseudogrupy
8. Geometria różnicowa i ruchome ramy
9. Uogólnione przestrzenie z grup konstrukcji i połączeń , połączenia Cartan , holonomy , Weyl tensorowych
10. Geometria i topologia grup Liego
11. Geometria Riemanna
12. Przestrzenie symetryczne
13. Topologia grup zwartych i ich jednorodnych przestrzeni
14. Niezmienniki całkowe i mechanika klasyczna
15. teoria względności , spinory

Matematyczną pracę Cartana można opisać jako rozwój analizy rozmaitości różniczkowalnych, które obecnie wielu uważa za centralną i najważniejszą część współczesnej matematyki, a w których kształtowaniu i rozwijaniu był przede wszystkim. To pole skupia się na grupach Liego, cząstkowych systemach różniczkowych i geometrii różniczkowej; te, głównie dzięki wkładowi Cartana, są teraz ściśle ze sobą powiązane i stanowią zunifikowane i potężne narzędzie.

Grupy kłamstw

Cartan był praktycznie sam w dziedzinie grup Lie przez trzydzieści lat po swojej pracy doktorskiej. Lie uważał te grupy głównie za systemy przekształceń analitycznych rozmaitości analitycznej, zależne analitycznie od skończonej liczby parametrów. Bardzo owocne podejście do badania tych grup rozpoczęło się w 1888 r., kiedy Wilhelm Killing zaczął systematycznie badać samą grupę, niezależnie od jej możliwych działań na innych rozmaitościach. W tamtym czasie (i do 1920 r.) brano pod uwagę tylko właściwości lokalne, więc głównym przedmiotem badań dla Killinga była algebra Liego grupy, która dokładnie odzwierciedla właściwości lokalne w kategoriach czysto algebraicznych. Wielkim osiągnięciem Killinga było określenie wszystkich prostych złożonych algebr Liego; jego dowody były jednak często wadliwe, a teza Cartana poświęcona była głównie stworzeniu rygorystycznych podstaw dla lokalnej teorii i udowodnieniu istnienia wyjątkowych algebr Liego należących do każdego z typów prostych złożonych algebr Liego, które Killing wykazał dać. Później Cartan uzupełnił teorię lokalną, wyraźnie rozwiązując dwa podstawowe problemy, dla których musiał opracować zupełnie nowe metody: klasyfikację prostych rzeczywistych algebr Liego i wyznaczenie wszystkich nieredukowalnych reprezentacji liniowych prostych algebr Liego za pomocą pojęcia wagi reprezentacji, którą w tym celu wprowadził. To właśnie w trakcie wyznaczania liniowych reprezentacji grup ortogonalnych Cartan odkrył w 1913 roku spinory , które później odegrały tak ważną rolę w mechanice kwantowej.

Po 1925 Cartan coraz bardziej interesował się zagadnieniami topologicznymi. Zachęcony wspaniałymi wynikami Weyla na grupach zwartych, opracował nowe metody badania globalnych właściwości grup Liego; w szczególności wykazał, że topologicznie spójna grupa Liego jest iloczynem przestrzeni euklidesowej i grupy zwartej, a dla zwartych grup Liego odkrył, że możliwe grupy podstawowe leżącej u jej podstaw rozmaitości można odczytać ze struktury algebry Liego Grupa. Na koniec nakreślił metodę wyznaczania liczb Bettiego zwartych grup Liego, ponownie redukując problem do pytania algebraicznego dotyczącego ich algebr Liego, które od tego czasu zostało całkowicie rozwiązane.

Pseudogrupy kłamstwa

Po rozwiązaniu problemu budowy grup Liego, które Cartan (w ślad za Liem) nazwał „skończonymi grupami ciągłymi” (lub „grupami przekształceń skończonych”), Cartan postawił podobny problem dla „nieskończonych grup ciągłych”, które obecnie nazywa się pseudogrupami Liego, nieskończenie wymiarowy odpowiednik grup Liego (istnieją inne nieskończone uogólnienia grup Liego). Rozważana przez Cartana pseudogrupa Liego jest zbiorem przekształceń między podzbiorami przestrzeni, która zawiera identyczne przekształcenie i ma tę właściwość, że wynik złożenia dwóch przekształceń w tym zbiorze (jeśli jest to możliwe) należy do tego samego zbioru. Ponieważ złożenie dwóch przekształceń nie zawsze jest możliwe, zbiór przekształceń nie jest grupą (ale groupoidem we współczesnej terminologii), stąd nazwa pseudogrupa. Cartan rozważał tylko te transformacje rozmaitości, dla których nie ma podziału rozmaitości na klasy transponowane przez rozważane transformacje. Takie pseudogrupy przekształceń nazywane są prymitywnymi. Cartan wykazał, że każda nieskończenie wymiarowa pierwotna pseudogrupa złożonych przekształceń analitycznych należy do jednej z sześciu klas: 1) pseudogrupa wszystkich przekształceń analitycznych n zmiennych złożonych; 2) pseudogrupa wszystkich przekształceń analitycznych n zmiennych zespolonych o stałej jakobianu (tj. przekształcenia, które mnożą wszystkie objętości przez tę samą liczbę zespoloną); 3) pseudogrupa wszystkich przekształceń analitycznych n zmiennych zespolonych, których jakobian jest równy jeden (tj. przekształcenia zachowujące objętości); 4) pseudogrupa wszystkich przekształceń analitycznych 2n > 4 zmiennych zespolonych, które zachowują pewną całkę podwójną (pseudogrupa symplektyczna); 5) pseudogrupa wszystkich przekształceń analitycznych 2n > 4 zmiennych zespolonych, które mnożą wspomnianą całkę podwójną przez funkcję zespoloną; 6) pseudogrupa wszystkich przekształceń analitycznych 2n + 1 zmiennych zespolonych, które mnożą pewną postać przez funkcję zespoloną (pseudogrupa kontaktowa). Istnieją podobne klasy pseudogrup dla pierwotnych pseudogrup przekształceń rzeczywistych określonych funkcjami analitycznymi zmiennych rzeczywistych.

Systemy różnicowe

Metody Cartana w teorii systemów różniczkowych są być może jego najgłębszym osiągnięciem. Zrywając z tradycją, od początku starał się formułować i rozwiązywać problemy w sposób całkowicie niezmienny, niezależny od jakiegokolwiek konkretnego doboru zmiennych i nieznanych funkcji. W ten sposób po raz pierwszy był w stanie podać dokładną definicję tego, co jest „ogólnym” rozwiązaniem dowolnego systemu różniczkowego. Jego kolejnym krokiem była próba wyznaczenia również wszystkich rozwiązań „osobliwych” metodą „przedłużenia”, polegającą na dołączaniu do danego układu nowych niewiadomych i nowych równań w taki sposób, aby każde rozwiązanie osobliwe układu pierwotnego stało się ogólne rozwiązanie nowego systemu. Chociaż Cartan wykazał, że w każdym przypadku, w którym traktował, jego metoda prowadziła do całkowitego określenia wszystkich rozwiązań jednostkowych, nie udało mu się ogólnie dowieść, że tak będzie zawsze w przypadku systemu arbitralnego; dowód taki uzyskał w 1955 roku Masatake Kuranishi .

Głównym narzędziem Cartana był rachunek zewnętrznych form różniczkowych, który pomógł stworzyć i rozwinąć w ciągu dziesięciu lat po jego pracy magisterskiej, a następnie zaczął stosować do różnych problemów z geometrii różniczkowej, grup Liego, dynamiki analitycznej i ogólnej teorii względności. Omówił wiele przykładów, traktując je w niezwykle eliptycznym stylu, który był możliwy tylko dzięki jego niesamowitej wnikliwości algebraicznej i geometrycznej.

Geometria różnicowa

Wkład Cartana w geometrię różniczkową jest nie mniej imponujący i można powiedzieć, że ożywił on cały temat, ponieważ początkowa praca Riemanna i Darboux ginęła w ponurych obliczeniach i pomniejszych wynikach, podobnie jak miało to miejsce z geometrią elementarną i teorią niezmienniczą pokolenie wcześniej. Jego zasadą przewodnią było znaczne rozszerzenie metody „ruchomych ram” Darboux i Ribaucour, której nadał ogromną elastyczność i moc, daleko wykraczającą poza wszystko, co zostało zrobione w klasycznej geometrii różniczkowej. Współcześnie metoda polega na przypisaniu do wiązki włókien E głównej wiązki włókien o tej samej podstawie i posiadającej w każdym punkcie podstawy włókno równe grupie, która działa na włókno E w tym samym punkcie. Jeśli E jest wiązką styczną nad bazą (która, odkąd Lie był zasadniczo znany jako rozmaitość „elementów kontaktowych”), odpowiednią grupą jest ogólna grupa liniowa (lub grupa ortogonalna w klasycznej geometrii euklidesowej lub riemannowskiej). Zdolność Cartana do radzenia sobie z wieloma innymi rodzajami włókien i grupami pozwala przypisać mu pierwszą ogólną ideę wiązki włókien, chociaż nigdy jej nie zdefiniował. Koncepcja ta stała się jedną z najważniejszych we wszystkich dziedzinach współczesnej matematyki, głównie w globalnej geometrii różniczkowej oraz w topologii algebraicznej i różniczkowej. Cartan użył go do sformułowania swojej definicji połączenia, która jest obecnie używana powszechnie i zastąpiła wcześniejsze próby o kilka geometrii, podjęte po 1917 roku, aby znaleźć typ „geometrii” bardziej ogólny niż model Riemanna i być może lepiej dostosowany do opisu wszechświata zgodnie z ogólną teorią względności.

Cartan pokazał, jak wykorzystać swoją koncepcję połączenia, aby uzyskać znacznie bardziej elegancką i prostszą prezentację geometrii riemannowskiej. Jego głównym wkładem w tę ostatnią było jednak odkrycie i badanie symetrycznych przestrzeni Riemanna, jeden z nielicznych przypadków, w których inicjatorem teorii matematycznej był także ten, który doprowadził ją do jej ukończenia. Symetryczne przestrzenie Riemanna można definiować na różne sposoby, z których najprostszy postuluje istnienie wokół każdego punktu przestrzeni „symetrii”, która jest ewolwentowa, pozostawia punkt niezmienny i zachowuje odległości. Nieoczekiwanym faktem odkrytym przez Cartana jest możliwość pełnego opisu tych przestrzeni za pomocą klasyfikacji prostych grup Liego; nie powinno więc dziwić, że w różnych dziedzinach matematyki, takich jak funkcje automorficzne i analityczna teoria liczb (najwyraźniej daleko od geometrii różniczkowej), przestrzenie te odgrywają coraz ważniejszą rolę.

Alternatywna teoria do ogólnej teorii względności

Cartan stworzył konkurencyjną teorię grawitacji, również teorię Einsteina-Cartana .

Publikacje

Dokumenty Cartana zostały zebrane w jego Oeuvres complètes, 6 tomów. (Paryż, 1952–1955). Dwa znakomite nekrologi to SS Chern i C. Chevalley w Biuletynie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego, 58 (1952); oraz JHC Whitehead w Obituary Notices of the Royal Society (1952).

Zobacz też

• Pochodna zewnętrzna
• Warunki całkowania dla układów różnicowych
• Linia izotropowa
• CAT( k ) spacja
• Einstein – teoria Cartana
• Przestrzeń symetryczna hermitowska
• Ruchoma rama
• Pseudogrupa
• Czysty spinor

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Multimedia związane z Élie Cartan w Wikimedia Commons
• MA Akivis & BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869-1951) , przekład z rosyjskiego oryginału przez VV Goldberga, American Mathematical Society ISBN  0-8218-4587-X .
  • Shiing-Shen Chern (1994) Recenzja książki: Elie Cartan przez Akivis i Rosenfeld Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego 30(1)
• Chern, Shiing-Shen; Chevalley, Claude (1952). „Elie Cartan i jego praca matematyczna” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 58 (2): 217–250. doi : 10.1090/s0002-9904-1952-09588-4 .

Angielskie tłumaczenia niektórych jego książek i artykułów:

• „O pewnych wyrażeniach różniczkowych i problemie Pfaffa”
• „O integracji układów równań różniczkowych zupełnych”
• Lekcje o niezmiennikach całkowych .
• „Struktura nieskończonych grup”
• „Przestrzenie z połączeniami konforemnymi”
• "Na rozdzielaczach z połączeniami rzutowymi"
• „Jednostkowa teoria Einsteina-Mayera”
• „E. Cartan, zewnętrzne systemy różnicowe i ich zastosowania (przetłumaczone na język angielski przez M. Nadjafikhah)”