Tablica sinusowa Aryabhaṭy - Āryabhaṭa's sine table

Astronomiczne traktat Āryabhaṭīya składała się w piątym wieku przez indyjski matematyk i astronom Aryabhata (476-550 ne), do obliczeń z pół akordów niektórych zbiór łuków okręgu. Nie jest to stół we współczesnym znaczeniu stołu matematycznego; to znaczy, że nie jest zbiorem liczb ułożonych w rzędy i kolumny.

Łuk i cięciwa koła

Tablica Āryabhaṭy nie jest również zbiorem wartości trygonometrycznej funkcji sinus w konwencjonalnym sensie; jest to tablica pierwszych różnic wartości trygonometrycznych sinusów wyrażonych w minutach kątowych , dlatego też tablica ta nazywana jest również tablicą różnic sinusowych Āryabhaṭy .

Tablica Āryabhaṭa była pierwszą tablicą sinusów, jaką kiedykolwiek zbudowano w historii matematyki . Do teraz utracone tabele Hipparcha (c.190 BC - c.120 BC) i Menelaosa (c.70-140 CE) i tych z Ptolemeusza (c.AD 90 - c.168) były wszystkie tabele akordów i nie stanowi połowę -akordy. Stół Aryabhaty pozostał jako standardowy stół sinusowy w starożytnych Indiach. Były ciągłe próby poprawy dokładności tej tabeli. Wysiłki te zakończyły się ostatecznym odkryciem przez Madhavę z Sangamagrama (ok.1350 – ok.1425), założyciela szkoły astronomii i matematyki w Kerali, rozszerzenia funkcji sinusa i cosinusa w szeregach potęgowych oraz sporządzenie tabeli sinusów. Madhavy z wartościami z dokładnością do siedmiu lub ośmiu miejsc po przecinku.

Niektórzy historycy matematyki twierdzili, że tablica sinusów podana w Ryabhadija była adaptacją wcześniejszych tablic skonstruowanych przez matematyków i astronomów starożytnej Grecji. Wyrazem takiego poglądu był David Pingree , jeden z czołowych amerykańskich historyków nauk ścisłych w starożytności. Zakładając tę ​​hipotezę, GJ Toomer pisze: „Prawie nie istnieje żadna dokumentacja dotycząca najwcześniejszego pojawienia się greckich modeli astronomicznych w Indiach, ani tego, jak te modele by wyglądały. Tak więc bardzo trudno jest ustalić, w jakim stopniu to, co się wydarzyło do nas reprezentuje przekazywaną wiedzę i to, co jest oryginalne u indyjskich naukowców. ... Prawda jest prawdopodobnie splątaną mieszanką obu”.

Stół

W nowoczesnych notacjach

Wartości zakodowane w sanskryckim wersecie Āryabhaṭy można zdekodować przy użyciu schematu liczbowego wyjaśnionego w ryabhaṭīya , a odkodowane liczby są wymienione w poniższej tabeli. W tabeli miary kątów odnoszące się do tabeli sinusów Āryabhaṭy są wymienione w drugiej kolumnie. Trzecia kolumna zawiera listę liczb zawartych w wersecie sanskryckim podanym powyżej w skrypcie dewanagari . Dla wygody użytkowników, którzy nie potrafią czytać dewanagari, te cyfry-słowa są odtworzone w czwartej kolumnie w transliteracji ISO 15919 . Następna kolumna zawiera te liczby w cyfrach hindusko-arabskich . Liczby Aryabhaṭa są pierwszymi różnicami w wartościach sinusów. Odpowiednią wartość sinusa (a dokładniej jya ) można otrzymać sumując różnice aż do tej różnicy. Zatem wartość jya odpowiadająca 18° 45′ jest sumą 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Dla oceny dokładności obliczeń Āryabhaṭa w ostatniej kolumnie tabeli podano współczesne wartości jya .

W indyjskiej tradycji matematycznej sinus (lub jya ) kąta nie jest stosunkiem liczb. Jest to długość pewnego odcinka linii, pewnego półakordu. Podstawowym parametrem do budowy takich stołów jest promień okręgu bazowego. W przeszłości konstruowano kilka tabel przy użyciu różnych wartości tego parametru. Ryabhaṭa wybrał liczbę 3438 jako wartość promienia okręgu podstawowego do obliczenia swojej tablicy sinusów. Uzasadnieniem wyboru tego parametru jest idea pomiaru obwodu koła w miarach kątowych. W obliczeniach astronomicznych odległości mierzone są w stopniach , minutach , sekundach itd. W tej mierze obwód koła wynosi 360° = (60 × 360) minut = 21600 minut. Promień okręgu, którego miara wynosi 21600 minut, wynosi 21600/2π minut. Obliczając to przy użyciu wartości π = 3,1416 znanej Aryabhacie, otrzymujemy promień okręgu wynoszący około 3438 minut. Tablica sinusów Āryabhaṭy opiera się na tej wartości promienia okręgu podstawowego. Nie ustalono jeszcze, kto jako pierwszy zastosuje tę wartość dla promienia podstawy. Ale Aryabhatiya jest najwcześniejszym zachowanym tekstem zawierającym odniesienie do tej podstawowej stałej.

metoda obliczeniowa Āryabhaṭy

Druga część Āryabhaṭiya zatytułowana Ganitapādd a zawiera zwrotkę wskazującą metodę obliczania tablicy sinusów. Istnieje kilka niejasności we właściwej interpretacji znaczenia tego wersetu. Na przykład poniżej znajduje się tłumaczenie wersetu podane przez Katza, w którym słowa w nawiasach kwadratowych są wstawkami tłumacza, a nie tłumaczeniem tekstów w wersecie.

• „Kiedy druga połowa [akord] podzielona jest mniejsza niż pierwsza połowa, która jest [w przybliżeniu równa] [odpowiadającemu] łukowi, o pewną wartość, pozostałe [różnice sinusowe] są mniejsze [niż poprzednie jedynki] każdy o tę kwotę podzieloną przez pierwszą półakord."

Może to odnosić się do faktu, że druga pochodna funkcji sinus jest równa wartości ujemnej funkcji sinus.

Zobacz też

• Tablica sinusowa Madhavy
• Formuła aproksymacji sinus Bhaskary I

Bibliografia