Problem z wartością brzegową - Boundary value problem
W matematyce , w dziedzinie równań różniczkowych , zagadnieniem wartości brzegowej jest równanie różniczkowe wraz z zestawem dodatkowych ograniczeń, zwanych warunkami brzegowymi . Rozwiązaniem problemu wartości brzegowych jest rozwiązanie równania różniczkowego, które również spełnia warunki brzegowe.
Problemy z wartością brzegową pojawiają się w kilku gałęziach fizyki, ponieważ występują one w każdym fizycznym równaniu różniczkowym. Problemy związane z równaniem falowym , takie jak wyznaczanie modów normalnych , są często określane jako problemy z wartościami brzegowymi. Dużą klasą ważnych problemów brzegowych są problemy Sturma-Liouville'a . Analiza tych problemów polega na funkcje własne o operator różnicowy .
Aby był użyteczny w zastosowaniach, problem wartości brzegowych powinien być dobrze postawiony . Oznacza to, że mając dane wejściowe do problemu, istnieje unikalne rozwiązanie, które w sposób ciągły zależy od danych wejściowych. Wiele prac teoretycznych w dziedzinie równań różniczkowych cząstkowych poświęcono udowodnieniu, że problemy wartości brzegowych wynikające z zastosowań naukowych i inżynierskich są w rzeczywistości dobrze postawione.
Wśród najwcześniejszych rozważanych problemów z wartościami brzegowymi znajduje się problem Dirichleta polegający na znalezieniu funkcji harmonicznych (rozwiązania równania Laplace'a ); rozwiązanie dawała zasada Dirichleta .
Wyjaśnienie
Problemy z wartością brzegową są podobne do problemów z wartością początkową . Problem z wartością brzegową ma warunki określone na ekstremach ("granicach") zmiennej niezależnej w równaniu podczas gdy problem z wartością początkową ma wszystkie warunki określone na tej samej wartości zmiennej niezależnej (i ta wartość jest na dolnej granicy domeny, stąd termin „wartość początkowa”). Wartość graniczna jest wartość danych, które odpowiadają, wewnętrznych, lub wartości wyjściowej minimalne lub maksymalne wejściowych podanych przez system lub składnika.
Na przykład, jeśli zmienną niezależną jest czas w dziedzinie [0,1], problem z wartością brzegową określi wartości dla at zarówno i , podczas gdy problem z wartością początkową określi wartość i at czas .
Znalezienie temperatury we wszystkich punktach żelaznego pręta z jednym końcem utrzymywanym w zera absolutnym, a drugim końcem w punkcie zamarzania wody byłoby problemem z wartością graniczną.
Jeśli problem jest zależny zarówno od przestrzeni, jak i czasu, można określić wartość problemu w danym punkcie przez cały czas lub w określonym czasie dla całej przestrzeni.
Konkretnie, problemem jest przykład wartości granicznej (w jednym wymiarze przestrzennym)
do rozwiązania dla nieznanej funkcji z warunkami brzegowymi
Bez warunków brzegowych, ogólne rozwiązanie tego równania to
Z warunku brzegowego otrzymujemy
co implikuje, że z warunku brzegowego można znaleźć
i tak widać, że nałożenie warunków brzegowych pozwoliło określić jednoznaczne rozwiązanie, którym w tym przypadku jest
Rodzaje problemów brzegowych
Warunki wartości brzegowej
Warunkiem brzegowym, który określa wartość samej funkcji, jest warunek brzegowy Dirichleta lub warunek brzegowy pierwszego typu. Na przykład, jeśli jeden koniec żelaznego pręta jest utrzymywany na poziomie zera absolutnego, wtedy wartość problemu byłaby znana w tym punkcie przestrzeni.
Warunkiem brzegowym, który określa wartość pochodnej normalnej funkcji, jest warunek brzegowy Neumanna lub warunek brzegowy drugiego typu. Na przykład, jeśli na jednym końcu żelaznego pręta znajduje się grzałka, energia byłaby dodawana ze stałą szybkością, ale rzeczywista temperatura nie byłaby znana.
Jeśli granica ma postać krzywej lub powierzchni, która daje wartość pochodnej normalnej i samej zmiennej, to jest to warunek graniczny Cauchy'ego .
Przykłady
Zestawienie warunków brzegowych dla nieznanej funkcji, stałych i określonych przez warunki brzegowe oraz znanych funkcji skalarnych i określonych przez warunki brzegowe.
Nazwa | Formularz na 1. części granicy | Formularz na drugiej części granicy |
---|---|---|
Dirichleta | ||
Neumann | ||
Rudzik | ||
Mieszany | ||
Cauchy | zarówno i |
Operatory różniczkowe
Oprócz warunku brzegowego, problemy z wartościami brzegowymi są również klasyfikowane zgodnie z typem operatora różniczkowego. W przypadku operatora eliptycznego omówiono zagadnienia brzegowe wartości eliptycznych . W przypadku operatora hiperbolicznego omawiane są zagadnienia dotyczące hiperbolicznych wartości brzegowych . Kategorie te są dalej podzielone na typy liniowe i różne typy nieliniowe.
Aplikacje
Potencjał elektromagnetyczny
W elektrostatyce powszechnym problemem jest znalezienie funkcji opisującej potencjał elektryczny danego obszaru. Jeśli obszar nie zawiera ładunku, potencjał musi być rozwiązaniem równania Laplace'a (tzw. funkcja harmoniczna ). Warunkami brzegowymi w tym przypadku są warunki granicy faz dla pól elektromagnetycznych . Jeżeli w danym regionie nie ma gęstości prądu , możliwe jest również określenie skalarnego potencjału magnetycznego za pomocą podobnej procedury.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- AD Polyanin i VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (wydanie drugie) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 .
- AD Polyanin, Podręcznik liniowych równań różniczkowych cząstkowych dla inżynierów i naukowców , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 .
Zewnętrzne linki
- „Problemy z wartością brzegową w teorii potencjału” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- „Problem z wartością brzegową, metody złożone ze zmiennymi” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- Liniowe równania różniczkowe cząstkowe: dokładne rozwiązania i problemy z wartością brzegową w EqWorld: Świat równań matematycznych.
- "Problem wartości brzegowej" . Scholarpedia .