Operator różniczkowy - Differential operator

Funkcja harmoniczna zdefiniowana na pierścieniu . Funkcje harmoniczne są dokładnie te funkcje, które leżą w jądrze od operatora Laplace'a , ważnym operatora różnicowego.

W matematyce , A operator różnicowy jest operator określa się jako funkcję różnicowania operatora. Pomocne jest, jako kwestia notacji, rozważenie różnicowania jako abstrakcyjnej operacji, która akceptuje funkcję i zwraca inną funkcję (w stylu funkcji wyższego rzędu w informatyce ).

Ten artykuł dotyczy głównie liniowych operatorów różniczkowych, które są najczęstszym typem. Jednak istnieją również nieliniowe operatory różniczkowe, takie jak pochodna Schwarza .

Definicja

Załóżmy, że istnieje odwzorowanie z przestrzeni funkcyjnej na inną przestrzeń funkcyjną i funkcję tak, że jest to obraz np . . Operator różnicowy jest reprezentowany jako połączenie liniowego skończenie generowana przez i jego pochodne zawierające wyższego stopnia, takie jak ${\ Displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {F}} _ {2}}$${\ Displaystyle f \ w {\ mathcal {F}} _ {2}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle u \ w {\ mathcal {F}} _ {1}}$${\ Displaystyle f = A (u)}$${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle P (x, D) = \ suma _ {| \ alfa | \ leq m} a_ {\ alfa} (x) D ^ {\ alfa} \,}$

gdzie lista nieujemnych liczb całkowitych nazywana jest multi-indeksem , nazywana jest długością , są funkcjami w jakiejś otwartej dziedzinie w przestrzeni n- wymiarowej, oraz . Pochodna powyżej jest jedną z funkcji lub czasami rozkładów lub hiperfunkcji, a czasami .${\ Displaystyle \ alfa = (\ alfa _ {1} \ alfa _ {2} \ cdots \ alfa _ {n})}$${\ Displaystyle | \ alfa | = \ alfa _ {1} + \ alfa _ {2} + \ cdots + \ alfa _ {n}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle a_ {\ alfa} (x)}$${\ Displaystyle D ^ {\ alfa} = D_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} D_ {2} ^ {\ alfa _ {2}} \ cdots D_ {n} ^ {\ alfa _ {n} }}$${\textstyle D_{j}=-i{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{j}}}}$${\textstyle D_{j}={\frac {\częściowy }{\częściowy x_{j}}}}$

Notacje

Najpopularniejszym operatorem różniczkowym jest działanie polegające na wyliczaniu pochodnej . Typowe zapisy dotyczące przyjmowania pierwszej pochodnej w odniesieniu do zmiennej x obejmują:

${\ Displaystyle {\ operatorname {d} \ nad \ operatorname {d} x}}$, , I .${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D_ {x},}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {x}}$

Biorąc pochodne wyższe, n- tego rzędu, operator może zapisać:

${\ Displaystyle {\ operatorname {d} ^ {n} \ ponad \ operatorname {d} x ^ {n}}}$, , , Lub .${\ Displaystyle D ^ {n}}$${\ Displaystyle D_ {x} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} ^ {n}}$

Pochodna funkcji f o o argumencie x czasami podaje się którykolwiek z następujących:

${\displaystyle [f(x)]'\,\!}$

${\displaystyle f'(x).\,\!}$

Przez D użycie notacji i stworzenie przypisuje się Oliver Heaviside , który uważał różniczkowych operatorów formie

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}}$

w swoim badaniu równań różniczkowych .

Jednym z najczęściej spotykanych operatorów różniczkowych jest operator Laplace'a , zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy x_ {k} ^ {2}}}. }$

Innym operatorem różniczkowym jest operator Θ lub operator theta , zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ Theta = Z {d \ nad dz}.}$

Jest to czasami nazywane operatorem jednorodności , ponieważ jego funkcjami własnymi są jednomiany w z :

${\ Displaystyle \ Theta (z ^ {k}) = kz ^ {k} \ quad k = 0,1,2, \ kropki}$

W n zmiennych operator jednorodności jest dany przez

${\ Displaystyle \ Theta = \ suma _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {k}}}.}$

Podobnie jak w przypadku jednej zmiennej, przestrzenie własne Θ są przestrzeniami jednorodnych wielomianów .

Pisząc, zgodnie z powszechną konwencją matematyczną, argument operatora różniczkowego jest zwykle umieszczany po prawej stronie samego operatora. Czasami stosuje się notację alternatywną: Wynik zastosowania operatora do funkcji po lewej stronie operatora i po prawej stronie operatora oraz różnica uzyskana przy zastosowaniu operatora różniczkowego do funkcji po obu stronach są oznaczone strzałkami w następujący sposób:

${\ Displaystyle f {\ overleftarrow {\ częściowy _ {x}}} g = g \ cdot \ częściowy _ {x} f}$

${\ Displaystyle f {\ overrightarrow {\ częściowy _ {x}}} g = f \ cdot \ częściowy _ {x} g}$

${\ Displaystyle f {\ overleftrightarrow {\ częściowy _ {x}}} g = f \ cdot \ częściowy _ {x} gg \ cdot \ częściowy _ {x} f.}$

Taki dwukierunkowy zapis strzałkowy jest często używany do opisu prądu prawdopodobieństwa mechaniki kwantowej.

Del

Operator różniczkowy del, zwany także nabla , jest ważnym wektorowym operatorem różniczkowym. Pojawia się często w fizyce w miejscach takich jak forma różniczkowa równań Maxwella . We współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowych del definiuje się jako

${\ Displaystyle \ nabla = \ mathbf {\ kapelusz {x}} {\ częściowy \ nad \ częściowy x} + \ mathbf {\ kapelusz {y}} {\ częściowy \ nad \ częściowy r} + \ mathbf {\ kapelusz { z}} {\ części \ ponad \ częściowe z}.}$

Del definiuje gradient i jest używany do obliczania rotacji , dywergencji i Laplacian różnych obiektów.

Przyległość operatora

Biorąc pod uwagę liniowy operator różniczkowy ${\displaystyle T}$

${\ Displaystyle Tu = \ suma _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) D ^ {k} u}$

sprzężony tego operatora jest zdefiniowana jako operatora , tak że ${\ Displaystyle T ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ langle Tu v \ rangle = \ langle u T ^ {*} v \ rangle}$

gdzie notacja jest używana dla iloczynu skalarnego lub iloczynu wewnętrznego . Definicja ta zależy zatem od definicji iloczynu skalarnego. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Formalne sprzężenie w jednej zmiennej

W przestrzeni funkcjonalnej funkcji całkowalnych kwadratowo na przedziale rzeczywistym ( a , b ) iloczyn skalarny jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)}} \ g (x) \ dx}$

gdzie linia nad f ( x ) oznacza sprzężoną liczbę sprzężoną funkcji f ( x ). Jeśli dodać ponadto warunek, że f lub g znika jako i , można również zdefiniować sprzężenie T przez ${\displaystyle x\do a}$${\displaystyle x\do b}$

${\ Displaystyle T ^ {*} u = \ suma _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} D ^ {k} \ lewo [{\ nadkreślenie {a_ {k} (x)} }masz rację].}$

Ta formuła nie zależy bezpośrednio od definicji iloczynu skalarnego. Dlatego czasami jest wybierany jako definicja operatora sprzężonego. Gdy określa się zgodnie z tym wzorem, to nazywa się formalnie sprzężony z T . ${\ Displaystyle T ^ {*}}$

Operator (formalnie) sprzężony jest operatorem równym jego własnemu (formalnemu) sprzężeniu.

Kilka zmiennych

Jeśli Ω jest dziedziną w R ⁿ , a P jest operatorem różniczkowym na Ω, to sprzężenie P jest zdefiniowane w L ² (Ω) przez dualność w analogiczny sposób:

${\ Displaystyle \ langle f, P ^ {*} g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ langle Pf, g \ rangle _ {L ^ {2} (\ Omega)}}$

dla wszystkich gładkich funkcji L ² f , g . Ponieważ gładkie funkcje są gęste w L ² , definiuje to sprzężenie na gęstym podzbiorze L ² : P ^* jest gęsto zdefiniowanym operatorem .

Przykład

Operator Sturma-Liouville jest dobrze znanym przykładem formalnego operatora samosprzężonego. Ten liniowy operator różniczkowy drugiego rzędu L można zapisać w postaci

${\ Displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+ (-p')Du+(q)u.\;\!}$

Tę właściwość można udowodnić za pomocą powyższej formalnej definicji sprzężonej.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} L ^ {*} u i {} = (-1) ^ {2} D ^ {2} [(-p) u] + (-1) ^ {1} D [ ( -p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-( pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{} =-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{wyrównany}}}$

Operator ten jest centralnym elementem teorii Sturma-Liouville'a, w której rozważane są funkcje własne (analogi do wektorów własnych ) tego operatora.

Własności operatorów różniczkowych

Zróżnicowanie jest liniowe , tj.

${\ Displaystyle D (f + g) = (Df) + (Dg)}$

${\ Displaystyle D (af) = a (DF)}$

gdzie f i g są funkcjami, a a jest stałą.

Dowolny wielomian w D ze współczynnikami funkcji jest również operatorem różniczkowym. Możemy również składać operatory różniczkowe według reguły

${\ Displaystyle (D_ {1} \ circ D_ {2}) (f) = D_ {1} (D_ {2} (f)).}$

Ostrożnie Wymagane jest wówczas: po pierwsze wszystkie współczynniki w funkcji operatora D ₂ musi być różniczkowalną wiele razy stosowania D ₁ wymaga. Aby otrzymać pierścień takich operatorów, musimy założyć pochodne wszystkich rzędów użytych współczynników. Po drugie, ten pierścień nie będzie przemienny : operator gD nie jest generalnie tym samym co Dg . Na przykład w mechanice kwantowej mamy relację podstawową :

${\ Displaystyle Dx-xD = 1.}$

Podpierścień operatorów, które są wielomianami w D o stałych współczynnikach, jest natomiast przemienny. Można go scharakteryzować w inny sposób: składa się z operatorów niezmiennych translacji.

Operatory różniczkowe również stosują się do twierdzenia o przesunięciu .

Kilka zmiennych

Te same konstrukcje mogą być wykonane z pochodnymi cząstkowymi , różnicowanie względem różnych zmiennych powoduje powstanie operatorów, które komutują (patrz symetria drugich pochodnych ).

Pierścień wielomianowych operatorów różniczkowych

Pierścień jednowymiarowych wielomianowych operatorów różniczkowych

Jeśli R jest pierścieniem, niech będzie nieprzemiennym pierścieniem wielomianowym nad R w zmiennych D i X , a I dwustronnym ideałem wygenerowanym przez DX − XD − 1. Wtedy pierścień jednowymiarowych wielomianowych operatorów różniczkowych nad R jest pierścień ilorazowy . To jest nieprzemienny prosty pierścień . Każdy element można zapisać w unikalny sposób jako R- liniową kombinację jednomianów postaci . Obsługuje analogię euklidesowego podziału wielomianów . ${\ Displaystyle R \ langle D, X \ rangle }$ ${\ displaystyle R \ langle D, X \ rangle / I}$ ${\ Displaystyle X ^ {a} D ^ {b} {\ tekst {mod}} ja}$

Moduły różnicowe powyżej (dla standardowego wyprowadzenia) można zidentyfikować z modułami powyżej . ${\displaystyle R[X]}$${\ displaystyle R \ langle D, X \ rangle / I}$

Pierścień wielowymiarowych operatorów różniczkowych wielomianów

Jeśli R jest pierścieniem, niech będzie nieprzemiennym pierścieniem wielomianowym nad R w zmiennych , a ja dwustronnym ideałem generowanym przez elementy ${\ Displaystyle R \ langle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \ rangle}$${\ Displaystyle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$

${\ Displaystyle (D_ {i} X_ {j} -X_ {j} D_ {i}) - \ delta _ {i, j}, \ \ \ D_ {i} D_ {j} - D_ {j} D_ { i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

dla wszystkich, gdzie jest delta Kroneckera . Wtedy pierścień wielowymiarowych wielomianowych operatorów różniczkowych na R jest pierścieniem ilorazowym . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle R \ langle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \ rangle / I}$

To jest nieprzemienny prosty pierścień . Każdy element można zapisać w unikalny sposób jako R -liniową kombinację jednomianów postaci . ${\ Displaystyle X_ {1} ^ {a_ {1}} \ ldots X_ {n} ^ {a_ {n}} D_ {1} ^ {b_ {1}} \ ldots D_ {n} ^ {b_ {n} }}$

Opis niezależny od współrzędnych

W geometrii różniczkowej i geometrii algebraicznej często wygodnie jest mieć niezależny od współrzędnych opis operatorów różniczkowych między dwiema wiązkami wektorowymi . Niech E i F będą dwoma wiązkami wektorowymi na rozmaitości różniczkowej M . O R- liniowym odwzorowaniu sekcji P  : Γ( E ) → Γ( F ) mówimy, że jest liniowym operatorem różniczkowym k -tego rzędu, jeśli rozkłada się na wiązkę dżetów J ^k ( E ). Innymi słowy, istnieje liniowe odwzorowanie wiązek wektorowych

${\ Displaystyle i_ {P}: J ^ {k} (E) \ rightarrow F \,}$

takie, że

${\ Displaystyle P = i_ {P} \ circ j ^ {k}}$

gdzie j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) jest przedłużeniem, które łączy z dowolną sekcją E jej k- jet .

Oznacza to tylko że dana sekcja s z e , wartość P, ( a ) w punkcie x  ∈  M jest w pełni określona przez k p rzędu zachowania nieskończenie o s w x . W szczególności oznacza to, że P ( y ), ( x ) jest określane przez zarodek o s w x , która wyraża się od tego, że operatorzy różnicowy lokalnego. Podstawowym wynikiem jest twierdzenie Peetre'a pokazujące, że odwrotność jest również prawdziwa: każdy (liniowy) operator lokalny jest różniczkowy.

Związek z algebrą przemienną

Równoważny, ale czysto algebraiczny opis liniowych operatorów różniczkowych jest następujący: R- liniowe odwzorowanie P jest liniowym operatorem różniczkowym k -tego rzędu, jeśli dla dowolnych  funkcji gładkich k + 1 mamy ${\ Displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {k} \ w C ^ {\ infty} (M)}$

${\ Displaystyle [f_ {k}, [f_ {k-1}, [\ cdots [f_ {0}, P] \ cdots]] = 0.}$

Tutaj wspornik jest zdefiniowany jako komutator ${\ Displaystyle [f, P]: \ Gamma (E) \ rightarrow \ Gamma (F)}$

${\ Displaystyle [f, P] (s) = P (f \ cdot s) - f \ cdot P (s). \,}$

Ta charakterystyka liniowych operatorów różniczkowych pokazuje, że są one szczególnymi odwzorowaniami między modułami w algebrze przemiennej , co pozwala na postrzeganie pojęcia jako części algebry przemiennej .

Przykłady

• W zastosowaniach w naukach fizycznych operatory, takie jak operator Laplace'a, odgrywają główną rolę w tworzeniu i rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych .
• W topologii różniczkowej , że zewnętrzne pochodne i Lie pochodne operatorzy mają wewnętrzną znaczenie.
• W algebrze abstrakcyjnej pojęcie derywacji pozwala na uogólnienia operatorów różniczkowych, które nie wymagają użycia rachunku różniczkowego. Często takie uogólnienia są stosowane w geometrii algebraicznej i algebrze przemiennej . Zobacz także Jet (matematyka) .
• W rozwoju holomorficznymi funkcji o zmiennej zespolonej Z = x + I  a czasami złożoną funkcją jest uważany za funkcję dwóch rzeczywistych zmiennych x i y . Wykorzystuje się pochodne Wirtingera , które są operatorami różniczkowymi cząstkowymi:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}}-i {\ Frac {\ częściowy }{\częściowy y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\częściowy {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\ frac {\częściowy }{\częściowy x}}+i{\frac {\częściowy }{\częściowy }}\prawo)\ .}$

Podejście to jest również wykorzystywane do badania funkcji kilku zmiennych złożonych i funkcji zmiennej motorycznej .

Historia

Konceptualny etap napisania operatora różnicowego jako czegoś wolnostojącego przypisuje się Louisowi François Antoine Arbogastowi w 1800 roku.

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Multimedia związane z operatorami różnicowymi w Wikimedia Commons
• „Operator różniczkowy” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]