Sekwencja wyboru - Choice sequence

W intuicjonistycznej matematyki , A Sekwencja wyboru jest zwyczajowo sformułowanie sekwencji . Od intuicjonistycznego szkoły matematycznej, jak formułować LEJ Brouwer odrzuca ideę wypełnionego nieskończoności , tak aby wykorzystać sekwencję (który jest w klasycznych matematycznych, nieskończony obiekty), musimy mieć formulację skończony, konstruowalne obiekt, który może służyć do tego samego celu, jak w sekwencji. Tak więc, Brouwer formułowane sekwencję wyboru, który jest podawany w konstrukcji, a nie abstrakcyjnej nieskończonej obiektu.

Lawlike i bezprawia sekwencje

Rozróżnia się między bezprawnych i lawlike sekwencji. Lawlike sekwencji jest taki, który może być opisany, jest całkowicie wypełniony konstrukcji, który może być w pełni opisane. Na przykład, liczbami naturalnymi mogą być traktowane jako sekwencje lawlike: sekwencja może być w pełni opisany przez konstruktywnie unikalny element 0 i funkcji następcy . Biorąc pod uwagę ten preparat, wiemy, że ty element w sekwencji liczb naturalnych będzie liczba . Podobnie, funkcja mapowania z naturalnych numery tych liczb naturalnych skutecznie określa wartość dla każdego argumentu potrzebny, a w ten sposób opisuje sekwencję lawlike. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ I} displaystyle$${\ Displaystyle i-1}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {A} \ mapsto \ mathbb {N}}$

Niegodziwiec (również wolne ) sekwencji, z drugiej strony, jest taka, która nie jest określona. To ma być traktowane jako procedury generowania wartości dla argumentów 0, 1, 2, .... To znaczy, bezprawia sekwencja jest procedura generowania , ... (elementy sekwencji ) w taki sposób, : ${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle \ a _ {0}}$${\ Displaystyle \ a _ {1}}$${\ Displaystyle \ a}$

• W danym momencie budowy sekwencji , tylko początkowy segment sekwencji jest znana, a żadne ograniczenia są umieszczane na temat przyszłych wartości ; i${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle \ a}$
• Można określić, z góry, początkowy odcinek o .${\ Displaystyle \ langle \ a _ {0} \ a _ {1}, \ ldots \ _ a {k} \ rangle}$${\ Displaystyle \ a}$

Zauważ, że pierwszy punkt powyżej jest nieco mylące, ponieważ możemy określić, na przykład, że wartości w sekwencji być sporządzone wyłącznie ze zbioru liczb naturalnych, możemy określić, a priori , zakres sekwencji.

Kanoniczna przykład bezprawnym sekwencji jest szereg rolek o matrycy . Określamy zdechłych w użyciu i, opcjonalnie, z góry określić wartości pierwszych zwojów (na ). Ponadto, możemy ograniczyć wartości sekwencji aby być w zestawie . Ten opis obejmuje procedurę generowania bezprawne sekwencji o której mowa. W żadnym momencie, a następnie, jest jakaś konkretna wartość przyszłość sekwencji znanej. ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k \ w \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ {1,2,3,4,5,6 \}}$

dzana

Istnieją dwa aksjomaty w szczególności, że możemy spodziewać się trzymać z sekwencjami wyboru, jak opisano powyżej. Niech oznacza związek „sekwencja rozpoczyna się od wstępnej sekwencji ” dla sekwencji wyboru i skończonych segmentu (dokładniej będzie prawdopodobnie liczbę całkowitą kodujący skończoną sekwencji początkowej). ${\ Displaystyle \ a \ w n}$${\ Displaystyle \ a}$${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle \ a}$${\ N} displaystyle$${\ N} displaystyle$

Oczekujemy dodaje, zwany aksjomat otwartych danych , aby pomieścić wszystkich bezprawnych sekwencji:

${\ Displaystyle A (\ a) \ rightarrow \ istnieje N [\ a \ w n \ \ \ \ ziemi forall \ beta \ in n [A (\ p)]]}$

gdzie jest jedna miejsce orzecznik . Intuicyjne uzasadnienie tego pewnik jest następujący: w intuicjonistycznej matematyki, sprawdzenie czy posiada sekwencji są podane jako procedury ; w dowolnym momencie wykonania tej procedury będą zbadaliśmy tylko skończoną początkowy odcinek sekwencji. Intuicyjnie, a następnie, Aksjomat ten stwierdza, że ponieważ w dowolnym momencie weryfikacji, ładownie , będziemy tylko potwierdzają, że trzyma za skończonego początkowej sekwencji ; w ten sposób, to musi być tak, że posiada również wszelkie bezprawia sekwencji wymiany wstępnej sekwencji. Dzieje się tak dlatego, że w dowolnym momencie procedury weryfikacji , dla każdego takiego podziału początkową prefiks kodowane przez które już zbadane, czy możemy uruchomić te same procedury w sprawie , będziemy mieli ten sam rezultat. Aksjomat można uogólnić dla dowolnego orzecznika biorąc dowolną liczbę argumentów. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ p}$${\ Displaystyle A (\ alfa)}$${\ Displaystyle \ p}$${\ Displaystyle \ a}$${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle \ p}$

Kolejny aksjomat jest wymagana dla bezprawia sekwencji. Aksjomat gęstości , dana przez:

${\ Displaystyle \ forall n \ \ istnieje \ [\ alfa alfa \ w n]}$

stwierdza, że dla dowolnego skończonego prefiksu (kodowanego przez) , jest jakaś sekwencja zaczynając od tego prefiksu. Wymagamy tego aksjomatu, tak aby nie mieć żadnych „dziury” w zbiorze sekwencji wyboru. Aksjomat ten jest powodem, że wymagają, aby dowolnie długie ciągi skończone początkowe sekwencje wyboru bezprawia może być określony z góry; bez tego wymogu, aksjomat gęstości niekoniecznie jest gwarantowana. ${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle \ a}$

Referencje

• Dummett, M. 1977. Elementy intuitionism , Oxford University Press.
• Jacquette Dale. 2002. towarzysza Philosophical Logic , Blackwell Publishing. str 517.
• Kreisel, Georg. 1958. Dodano uwagę na wolnych sekwencji wyboru i kompletności topologii dowodów Journal symbolicznego objętości Logic 23 str 269
• Troelstra, AS 1977 Choice sekwencji. Kapituła intuicjonistycznej matematyki. Clarendon Press.
• Troelstra, AS. 1983. Analiza Choice Sekwencje Dz filozoficznego logika, 12: 2 s. 197.
• Troelstra, AS; D. van Dalen. 1988. Konstruktywizm matematyki: An Introduction. Północna Holandia.