Analiza Clifforda - Clifford analysis

Analiza Clifforda , wykorzystująca algebry Clifforda nazwane na cześć Williama Kingdona Clifforda , jest badaniem operatorów Diraca i operatorów typu Diraca w analizie i geometrii, wraz z ich zastosowaniami. Przykłady operatorów typu Diraca obejmować, ale nie są do nich ograniczone, operator Hodge-Diraca na Riemanna kolektora operator Diraca w przestrzeni euklidesowej i jego odwrotność i ich odpowiedniki na konforemne sferycznego Laplace'a w euklidesowej n -kosmiczna i Atiyah operatora -Singer-Diraca na kolektorze wirowania operatorzy typu Rarita-Schwinger / Stein-Weiss, konforemne Laplacians, spinorial Laplacians i operatorzy Diraca na wirowania ^C rozdzielaczy układy operatorów Diraca operatora Paneitz operatorzy Diraca o hiperbolicznej przestrzeni , hiperboliczne równania Laplace'a i Weinsteina. ${\displaystyle d+{\gwiazda}d{\gwiazda}}$${\ Displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ^ {n})}$

Przestrzeń euklidesowa

W przestrzeni euklidesowej operator Diraca ma postać

${\ Displaystyle D = \ suma _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {j}}}}$

gdzie e ₁ , ..., e _n jest bazą ortonormalną dla R ⁿ , a R ⁿ jest uważany za osadzony w złożonej algebrze Clifforda , Cl _n ( C ) tak, że e _j ² = −1 .

To daje

${\ Displaystyle D ^ {2} = - \ Delta _ {n}}$

gdzie Δ _n jest Laplace'em w przestrzeni n -euklidesowej.

Podstawowym rozwiązaniem w euklidesowej operatora jest Diraca

${\ Displaystyle G (xy): = {\ Frac {1} {\ omega _ {n}}} {\ Frac {xy} {\ | xy \ | ^ {n}}}}$

gdzie ω _n jest polem powierzchni sfery jednostkowej S ^{n −1} .

Zauważ, że

${\ Displaystyle D {\ Frac {1} {(n-2) \ omega _ {n} \ | xy \ | ^ {n-2}}} = G (xy)}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(n-2) \; \ omega _ {n} \; \ | xy \ | ^ {n-2}}}}$

jest podstawowym rozwiązaniem do równania Laplace'a dla n ≥ 3 .

Najbardziej podstawowym przykładem operatora Diraca jest operator Cauchy-Riemanna

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} + ja {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}}}$

w płaszczyźnie złożonej. Rzeczywiście, wiele podstawowych właściwości analizy zespolonej jednej zmiennej występuje dla wielu operatorów typu Diraca pierwszego rzędu. W przestrzeni euklidesowej obejmuje to Cauchy'ego twierdzenia , a Cauchy'ego integralną wzoru , twierdzenie morery , szereg Taylora , seria Laurent i Liouville twierdzenia . W tym przypadku jądrem Cauchy'ego jest G ( x − y ). Dowód całki Cauchy'ego jest taki sam jak w przypadku jednej zmiennej zespolonej i wykorzystuje fakt, że każdy niezerowy wektor x w przestrzeni euklidesowej ma odwrotność multiplikatywną w algebrze Clifforda, a mianowicie

${\ Displaystyle - {\ Frac {x} {\ | x \ | ^ {2}}} \ w \ mathbf {R} ^ {n}}.$

Aż do znaku ta odwrotność jest odwrotnością Kelvina od x . Rozwiązania euklidesowego równania Diraca Df = 0 nazywane są (lewo) funkcjami monogenicznymi. Funkcje monogeniczne są szczególnymi przypadkami spinorów harmonicznych na rozmaitości spinowej .

W 3 i 4 wymiarach analiza Clifforda jest czasami nazywana analizą czwartorzędową . Gdy n = 4 , operator Diraca jest czasami określany jako operator Cauchy-Riemann-Fueter. Dalsze niektóre aspekty analizy Clifforda są określane jako analiza hiperkompleksowa.

Analiza Clifford ma analogów transformat Cauchy'ego , Bergman jąder , jąder Szegő , operatorów Plemelj , Hardy'ego , o wzorze Kerzman-Stein i gatunku, lub Beurling-Ahlfors , przekształcać. Wszystkie te rozwiązania znalazły zastosowanie w rozwiązywaniu problemów z wartościami brzegowymi , w tym problemów z ruchomymi wartościami brzegowymi, całkami osobliwymi i klasyczną analizą harmoniczną . W szczególności analiza Clifforda została wykorzystana do rozwiązania, w pewnych przestrzeniach Sobolewa , problemu pełnej fali wodnej w 3D. Ta metoda działa we wszystkich wymiarach większych niż 2.

Wiele z Clifford analiza działa, jeśli wymienimy skomplikowaną Clifford algebra przez prawdziwego Clifford algebry , Cl _n . Nie ma to jednak miejsca, gdy mamy do czynienia z interakcją między operatorem Diraca a transformatą Fouriera .

Transformacja Fouriera

Gdy weźmiemy pod uwagę górną połowę przestrzeni R ^{n ,+} z granicą R ^{n −1} , rozpiętość e ₁ , ..., e _{n −1} , pod transformacją Fouriera symbol operatora Diraca

${\ Displaystyle D_ {n-1} = \ suma _ {j = 1} ^ {n-1} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {j}}}}$

czy ja gdzie?

${\ Displaystyle \ zeta = \ zeta _ {1} e_ {1} + \ cdots + \ zeta _ {n-1} e_ {n-1}.}$

W tym ustawieniu formuły Plemelja są

${\ Displaystyle \ pm {\ tfrac {1} {2}} + G (xy) | _ {\ mathbf {R} ^ {n-1}}}$

a symbole dla tych operatorów są, aż do znaku,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo (1 \ pm ja {\ Frac {\ zeta} {\ | \ zeta \ |}} \ po prawej).}$

Są to operatory projekcji, inaczej znane jako wzajemnie anihilujące idempotenty, na przestrzeni funkcji całkowalnych o wartościach Cl _n ( C ) na R ^{n −1} .

Zauważ, że

${\ Displaystyle G | _ {\ mathbf {R} ^ {n}} = \ suma _ {j = 1} ^ {n-1} e_ {j} R_ {j}}$

gdzie R _j jest j-tym potencjałem Riesza,

${\ Displaystyle {\ Frac {x_ {j}} {\ | x \ | ^ {n}}}.}$

Jako symbol jest ${\ Displaystyle G | _ {\ mathbf {R} ^ {n}}}$

${\displaystyle {\frac {i\zeta}}{\|\zeta \|}}}$

z mnożenia Clifforda można łatwo wyznaczyć, że

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {n-1} R_ {j} ^ {2} = 1.}$

Zatem operator splot jest naturalnym uogólnieniem do euklidesowej przestrzeni Hilberta przekształcać . ${\ Displaystyle G | _ {\ mathbf {R} ^ {n}}}$

Załóżmy , że U ′ jest dziedziną w R ^{n -1 ,} a g ( x ) jest rzeczywistą funkcją analityczną o wartości Cl _n ( C ) . Wtedy g ma rozszerzenie Cauchy-Kovalevskaia do równania Diraca na pewnym sąsiedztwie U ′ w R ⁿ . Rozszerzenie jest wyraźnie podane przez

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 0} ^ {\ infty} \ lewo (x_ {n} e_ {n} ^ {-1} D_ {n-1} \ prawej) ^ {j} g (x). }$

Kiedy to rozszerzenie jest stosowane do zmiennej x in

${\ Displaystyle e ^ {-i \ langle x \ zeta \ rangle } \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ lewo (1 \ pm ja {\ Frac {\ zeta} {\ | \ zeta \ |}}\prawo)\prawo)}$

rozumiemy to

${\ Displaystyle e ^ {-i \ langle x \ zeta \ rangle }}$

jest ograniczeniem do R ^{n −1} z E ₊  +  E ₋ gdzie E ₊ jest funkcją monogeniczną w górnej półprzestrzeni, a E ₋ jest funkcją monogeniczną w dolnej półprzestrzeni.

Istnieje również twierdzenie Paleya-Wienera w przestrzeni n- euklidesowej powstałe w analizie Clifforda.

Konformalna struktura

Wiele operatorów typu Diraca ma kowariancję przy konforemnej zmianie metryki. Dotyczy to operatora Diraca w przestrzeni euklidesowej i operatora Diraca w sferze pod transformacją Möbiusa. W konsekwencji dotyczy to operatorów Diraca na rozmaitościach konforemnie płaskich i rozmaitościach konforemnych, które są jednocześnie rozmaitościami spinowymi .

Transformata Cayleya (rzut stereograficzny)

Cayley transformacji lub stereograficzny występ z R ⁿ jednostce kuli S ⁿ transformuje euklidesowej operatora Diraca sferycznej operatora Diraca D _S . Jawnie

${\ Displaystyle D_ {S} = x \ lewo (\ Gamma _ {n} + {\ Frac {n} {2}} \ prawej)}$

gdzie Γ _n jest sferycznym operatorem Beltramiego-Diraca

${\ Displaystyle \ suma \ nolimits _ {1 \ leq i<j \ leq n + 1} e_ {i} e_ {j} \ lewo (x_ {i} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {j} }}-x_{j}{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{i}}}\prawo)}$

i x w S ⁿ .

Cayley przekształcić na brak -kosmiczna jest

${\ Displaystyle y = C (x) = (e_ {n + 1} x + 1) (x + e_ {n + 1}) ^ {-1}, \ qquad x \ w \ mathbf {R} ^ {n }.}$

Jego odwrotnością jest

${\ Displaystyle x = (-e_ {n + 1} + 1) (y-e_ {n + 1}) ^ {-1}.}$

Dla funkcji f ( x ) określonej w dziedzinie U w przestrzeni n -euklidesowej i rozwiązania równania Diraca , wtedy

${\ Displaystyle J (C ^ {-1}, r) f (C ^ {-1} (y))}$

ulega zniszczeniu przez D _S na C ( U ), w którym

${\ Displaystyle J (C ^ {-1}, y) = {\ Frac {y-e_ {n + 1}} {\ | y-e_ {n + 1} \ | ^ {n}}}.}$

Dalej

${\ Displaystyle D_ {S} (D_ {S}-x) = \ trójkąt _ {S}}$

operator konforemny Laplace'a lub Yamabe na S ⁿ . Jawnie

${\ Displaystyle \ trójkąt _ {S} = - \ trójkąt _ {LB} + {\ tfrac {1} {4}} n (n-2)}$

gdzie jest operator Laplace'a-Beltramiego na S ⁿ . Operator jest, poprzez transformatę Cayleya, konformalnie równoważny euklidesowemu laplacianowi. Również ${\ Displaystyle \ trójkąt _ {LB}}$${\ Displaystyle \ trójkąt _ {S}}$

${\ Displaystyle D_ {s} (D_ {S} -x) (D_ {S} -x) (D_ {S} -2x)}$

jest operatorem Paneitz,

${\ Displaystyle - \ trójkąt _ {S} (\ trójkąt _ {S} + 2),}$

na n -sferze. Poprzez transformatę Cayleya ten operator jest konformalnie równoważny z bi-Laplace'em, . To wszystko są przykłady operatorów typu Dirac. ${\ Displaystyle \ trójkąt _ {n} ^ {2}}$

Transformacja Möbiusa

Möbiusa przekształcić na brak -euclidean przestrzeń może być wyrażona

${\ Displaystyle {\ Frac {ax + b} {cx + d}}}$

gdzie a , b , c i d ∈ Cl _n i spełniają pewne ograniczenia. Powiązana macierz 2 × 2 nazywa się macierzą Ahlforsa-Vahlena. Gdyby

${\ Displaystyle y = M (x) + {\ Frac {ax + b} {cx + d}}}$

a Df ( y ) = 0 to rozwiązanie równania Diraca gdzie ${\displaystyle J(M,x)f(M(x))}$

${\ Displaystyle J (M, x) = {\ Frac {\ Widetilde {cx + d}} {\ | cx + d \ | ^ {n}}}}$

a ~ jest podstawowym antyautomorfizmem działającym na algebrze Clifforda . Operatory D ^k , lub Δ _n ^{k /2 ,} gdy k jest parzyste, wykazują podobne kowariancje pod transformacją Möbiusa, w tym transformatą Cayleya .

Gdy ax + b i cx + d są niezerowe, obaj są członkami grupy Clifforda .

Tak jak

${\ Displaystyle {\ Frac {ax + b} {cx + d}} = {\ Frac {-ax-b} {-cx-d}}}$

wtedy mamy wybór znaku w definiowaniu J ( M , x ). Oznacza to, że dla konformalnie płaskiej rozmaitości M potrzebujemy struktury spinowej na M , aby zdefiniować wiązkę spinorową, na której odcinkach możemy pozwolić działać operatorowi Diraca. Wyraźne proste przykłady obejmują n -cylindr, rozmaitość Hopfa otrzymaną z n -euklidesowej przestrzeni minus początek, oraz uogólnienia k -obsługiwanych torusów uzyskanych z górnej połowy przestrzeni przez wydzielenie jej przez działania uogólnionych grup modularnych działających całkowicie na górną połowę przestrzeni nieciągle. W tych kontekstach można wprowadzić operator Diraca . Te operatory Diraca są specjalnymi przykładami operatorów Atiyah-Singer-Dirac.

Operator Atiyah-Singer-Dirac

Mając rozmaitość spinorową M z wiązką spinorową S i gładkim przekrojem s ( x ) w S to w warunkach lokalnej bazy ortonormalnej e ₁ ( x ), ..., e _n ( x ) wiązki stycznej z M , operator Atiyah-Singer-Dirac działający na s definiuje się jako

${\ Displaystyle Ds (x) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} (x) {\ tylda {\ gamma}} _ {e_ {j} (x)} s (x), }$

gdzie jest połączenie spinowe , podniesienie do S połączenia Levi-Civita na M . Gdy M jest przestrzenią n- euklidesową, wracamy do euklidesowego operatora Diraca . ${\displaystyle {\widetylda {\gamma}}}$

Z operatora D Atiyah–Singer–Dirac mamy wzór Lichnerowicza

${\ Displaystyle D ^ {2} = \ Gamma ^ {*} \ Gamma + {\ tfrac {\ tau} {4}}}$

gdzie τ jest krzywizną skalarną na rozmaitości , a Γ ^∗ jest sprzężeniem Γ. Operator D ² jest znany jako spinorial Laplace'a.

Jeśli M jest zwarte i gdzieś τ ≥ 0 i τ > 0, to na rozmaitości nie ma nietrywialnych spinorów harmonicznych . To twierdzenie Lichnerowicza. Łatwo zauważyć, że twierdzenie Lichnerowicza jest uogólnieniem twierdzenia Liouville'a z analizy zespolonej jednej zmiennej. To pozwala nam zauważyć, że w przestrzeni gładkich sekcji spinorowych operator D jest odwracalną taką rozmaitością.

W przypadku, gdy operator Atiyah–Singer–Dirac jest odwracalny na przestrzeni gładkich odcinków spinorowych o zwartej podporze można wprowadzić

${\ Displaystyle C (x, y): = D ^ {-1} * \ delta _ {y}, \ qquad x \ neq r \ w M}$

gdzie δ _y jest funkcją delta Diraca obliczoną w y . Daje to początek jądru Cauchy'ego , które jest podstawowym rozwiązaniem tego operatora Diraca. Z tego można otrzymać wzór całkowy Cauchy'ego dla spinorów harmonicznych . W tym jądrze wiele z tego, co opisano w pierwszej sekcji tego wpisu, jest realizowane dla odwracalnych operatorów Atiyah-Singer-Dirac.

Korzystając z twierdzenia Stokesa lub w inny sposób, można dalej określić, że przy konforemnej zmianie metryki operatory Diraca związane z każdą metryką są proporcjonalne do siebie, a zatem są też ich odwrotnościami, jeśli istnieją.

Wszystko to zapewnia potencjalne powiązania z teorią indeksów Atiyaha-Singera i innymi aspektami analizy geometrycznej z udziałem operatorów typu Diraca.

Operatory hiperboliczne typu Diraca

W analizie Clifforda bierze się również pod uwagę operatory różniczkowe na górnej połowie przestrzeni, dysku lub hiperboli względem metryki hiperbolicznej lub Poincarégo .

Dla górnej połowy przestrzeni dzieli się algebrę Clifforda , Cl _n na Cl _{n −1} + Cl _{n −1} e _n . Tak więc dla a w Cl _n można wyrazić a jako b + ce _n z a , b w Cl _{n −1} . Następnie mamy operatory projekcji P i Q zdefiniowane następująco: P ( a ) = b i Q ( a ) = c . Operator Hodge-Diraca działający na funkcji f w odniesieniu do metryki hiperbolicznej w górnej połowie przestrzeni jest teraz zdefiniowany jako

${\ Displaystyle Mf = Df + {\ Frac {n-2} {x_ {n}}} Q (f)}$.

W tym przypadku

${\ Displaystyle M ^ {2} f = - \ trójkąt _ {n} P (f) + {\ Frac {n-2} {x_ {n}}} {\ Frac {\ częściowe P (f)} {\ częściowe x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\częściowe Q(f)}{\ częściowe x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}}$.

Operator

${\ Displaystyle \ trójkąt _ {n} - {\ Frac {n-2} {x_ {n}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {n}}}}$

jest Laplacian w odniesieniu do metryki Poincaré, podczas gdy drugi operator jest przykładem operatora Weinsteina.

Hiperboliczny Laplace'a jest niezmienny podczas działania grupy konforemny, podczas gdy operator hiperboliczny Diraca jest kowariantna w takich działań.

Operatorzy Rarita-Schwinger/Stein-Weiss

Operatory Rarita-Schwingera , znane również jako operatory Steina-Weissa, powstają w teorii reprezentacji dla grup Spin i Pin . Operator R _k jest konformalnie kowariantnym operatorem różniczkowym pierwszego rzędu. Tutaj k = 0, 1, 2, .... Gdy k = 0, operator Rarita-Schwinger jest po prostu operatorem Diraca. W teorii reprezentacji dla grupy ortogonalnej O( n ) powszechnie rozważa się funkcje przyjmujące wartości w przestrzeniach jednorodnych wielomianów harmonicznych . Kiedy zawęzi się tę teorię reprezentacji do podwójnego pokrycia Pin( n ) z O( n ), zastępuje się przestrzenie jednorodnych wielomianów harmonicznych przestrzeniami k jednorodnych wielomianów rozwiązań równania Diraca, inaczej znanymi jako k wielomianów jednogenowych. Rozważa się funkcję f ( x , u ) , gdzie x w U , dziedzina w R ⁿ , a u zmienia się w ciągu R ⁿ . Dalej f ( x , u ) jest k- monogenicznym wielomianem w u . Teraz zastosuj operator Diraca D _x in x do f ( x , u ). Ponieważ algebra Clifforda nie jest przemienną D _x f ( x , u ) to funkcja ta nie jest już k monogeniczna , ale jest jednorodnym wielomianem harmonicznym w u . Teraz dla każdego wielomianu harmonicznego h _k jednorodnego stopnia k istnieje rozkład Almansiego-Fischera

${\ Displaystyle h_ {k} (x) = p_ {k} (x) + xp_ {k-1} (x)}$

gdzie p _k i p _{k -1} są odpowiednio k i k -1 wielomianami jednogenowymi . Niech P będzie rzutem h _k na p _{k ,} wtedy operator Rarity-Schwingera jest zdefiniowany jako PD _k i jest oznaczony przez R _k . Korzystając z lematu Eulera można ustalić, że

${\ Displaystyle D_ {u} up_ {k-1} (u) = (-n-2k + 2) p_ {k-1}.}$

Więc

${\ Displaystyle R_ {k} = \ lewo (I + {\ Frac {1} {n + 2 k-2}} uD_ {u} \ prawej) D_ {x}.}$

Konferencje i czasopisma

Wokół algebr Clifforda i algebr geometrycznych istnieje żywa i interdyscyplinarna społeczność z szerokim zakresem zastosowań. Do głównych konferencji na ten temat należą: Międzynarodowa Konferencja Clifford Algebras andich Applications in Mathematical Physics (ICCA) oraz Applications of Geometric Algebra in Computer Science and Engineering (AGACSE) . Głównym punktem publikacji jest czasopismo Springer Advances in Applied Clifford Algebras .

Zobacz też

• Algebra Clifforda
• Złożona struktura spinu
• Rozdzielacz konformalny
• Konformalnie płaski kolektor
• Operator Diraca
• Metryka Poincarecar
• Grupa wirowania
• Struktura wirowania
• Pakiet spinorowy

Bibliografia

• Ahlfors, LV (1981), Transformacje Möbiusa w kilku wymiarach , wykłady profesorskie z matematyki w Ordway, University of Minnesota, hdl : 2027/mdp.39015015619276 , OCLC  681384835.
• Ahlfors, L. (1986), „przekształcenia Mobiusa w R ⁿ wyrażone przez macierze 2 x 2 liczb Clifforda”, Zmienne zespolone , 5 : 215-224, doi : 10.1080/17476938608814142.
• Brackx, F.; Delanghe, R.; Sommen, F. (1982), Analiza Clifforda , Pitman Research Notes in Mathematics, Longman , ISBN 0-273-08535-2.
• Bures, J.; Sommen, F.; Souček, V.; VanLancker, P. (2001), "Operatory typu Rarita-Schwinger w analizie Clifforda", Journal of Functional Analysis , 185 (2): 425-455, doi : 10.1006/jfan.2001.3781.
• Kolombo, F.; Sabadini, I .; Sommen, F.; Struppa, D. (2004), Analiza systemów Diraca i algebry obliczeniowej , Postęp w fizyce matematycznej , Birkhauser Verlag, ISBN 0-8176-4255-2.
• Eastwood, M.; Ryan, J. (2007), "Aspekty operatorów Diraca w analizie", Milan Journal of Mathematics , 75 (1): 91-116, doi : 10.1007/s00032-007-0077-5.
• Friedrich, T. (2000), Operatory Diraca w geometrii riemannowskiej , studia magisterskie z matematyki, 25 , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.
• Jefferies, B. (2004), Spectral Properties of Noncommuting Operators , Notatki do wykładu z matematyki, 1843 , Springer Verlag , ISBN 3-540-21923-4.
• Krausshar, RS (2004), Uogólnione analityczne formy automorficzne w przestrzeni hiperkompleksowej , Granice w matematyce , Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-7059-9.
• Lawson, HB; Michelsohn, M.-L. (1989), Geometria wirowania , Princeton Mathematical Series, 38 , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
• McIntosh, A. (1996), „Algebry Clifforda, teoria Fouriera, całki osobliwe i funkcje harmoniczne w domenach Lipschitza”, w Ryan, J. (red.), Clifford Algebras in Analysis and Related Topics , Studies in Advanced Mathematics, CRC Prasa , s. 33-87, ISBN 0-8493-8481-8.
• Mitrea, M. (1994), Całki pojedyncze, Hardy Spaces i falki Clifforda , Notatki z matematyki, 1575 , Springer Verlag , ISBN 0-387-57884-6.
• Roe, J. (1998), Operatory eliptyczne, topologia i metody asymptotyczne , Pitman Research Notes in Mathematics, 395 Longman (2nd ed.), Harlow, ISBN 0-582-32502-1.
• Ryan, J. (1996), Clifford Algebras in Analysis and Related Topics , Studies in Advanced Mathematics, CRC Press , ISBN 0-8493-8481-8.
• Stein, E.; Weiss, G. (1968), "Uogólnienia równań Cauchy'ego Riemanna i reprezentacje grupy rotacyjnej", American Journal of Mathematics , 90 (1): 163-196, doi : 10.2307/2373431 , JSTOR  2373431.
• Sudbery, A. (1979), „ Analiza Quaternionic ”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 85 (02): 199-225, Bibcode : 1979MPCPS..85..199S , doi : 10.1017/S0305004100055638.
• Tao, T. (1996), „ Operatory splotu na wykresach Lipschitza z jądrami harmonicznymi”, Postępy w stosowanych algebrach Clifforda , 6 : 207-218, ISSN  0188-7009.
• Wu, S. (1999), „Well-positionness in Sobolev space of the full water wave problem in 3-D”, Journal of the American Mathematical Society , 12 (02): 445-495, doi : 10.1090/S0894-0347 -99-00290-8.

Linki zewnętrzne

• Notatki z wykładów na temat operatorów Diraca w analizie i geometrii
• Calderbank David MJ (19.12.1997), operatorzy Diraca i analiza Clifford na rozdzielaczy z granica , duński Mathematical Society, DMF-1997-12-007 PP-1997/53, w archiwum z oryginałem na 2009-08-13