Kompletna algebra Boole'a - Complete Boolean algebra

Ten artykuł dotyczy pewnego rodzaju struktury matematycznej. Aby zapoznać się z kompletnymi zestawami operatorów logicznych, zobacz Kompletność funkcjonalna .

W matematyce , A zakończeniu Boole'a jest Boole'a w którym każdy podzbiór ma supremum (przynajmniej górna granica ). Kompletne algebry Boole'a są używane do konstruowania modeli o wartościach Boole'a teorii mnogości w teorii forsowania . Każda algebra Boole'a A ma zasadniczo jednoznaczne uzupełnienie, które jest kompletną algebrą Boole'a zawierającą A taką, że każdy element jest supremum pewnego podzbioru A . Jako częściowo uporządkowany zestaw , to uzupełnienie A jest uzupełnieniem Dedekind-MacNeille .

Bardziej ogólnie, jeśli κ jest liczbą kardynalną, to algebra Boole'a jest nazywana κ-zupełną, jeśli każdy podzbiór kardynalności mniejszy niż κ ma supremum.

Przykłady

  • Każda skończona algebra Boole'a jest kompletna.
  • Algebrą podzbiorów danego zbioru jest kompletnym Boole'a.
  • Te regularne zbiory otwarte dowolnej przestrzeni topologicznej tworzą kompletny algebry Boole'a. Przykład ten ma szczególne znaczenie, ponieważ każdy zestaw wymuszający może być traktowany jako przestrzeń topologiczna ( baza topologii składająca się ze zbiorów będących zbiorem wszystkich elementów mniejszych lub równych danemu elementowi). Odpowiednia otwarta algebra regularna może być użyta do utworzenia modeli o wartościach logicznych, które są następnie równoważne rozszerzeniom ogólnym przez daną pozycję wymuszającą.
  • Algebra wszystkich mierzalnych podzbiorów przestrzeni miar σ-skończonych, zbiory modulo null, jest kompletną algebrą Boole'a. Gdy przestrzeń miar jest przedziałem jednostkowym z σ-algebrą zbiorów mierzalnych Lebesgue'a, algebra Boole'a nazywana jest algebrą losową .
  • Algebra wszystkich mierzalnych podzbiorów przestrzeni miar jest 1 -kompletną algebrą Boole'a, ale zwykle nie jest kompletna.
  • Algebra wszystkich podzbiorów nieskończonego zbioru, które są skończone lub mają skończone dopełnienie, jest algebrą Boole'a, ale nie jest kompletna.
  • Algebra Boole'a wszystkich zbiorów Baire'a zbiorów modulo ubogich w przestrzeni topologicznej o podstawie przeliczalnej jest kompletna; gdy przestrzenią topologiczną są liczby rzeczywiste, algebra jest czasami nazywana algebrą Cantora .

  • Innym przykładem algebry Boole'a, która nie jest kompletna, jest algebra Boole'a P(ω) wszystkich zbiorów liczb naturalnych , ilorazowo przez idealny Fin skończonych podzbiorów. Otrzymany obiekt, oznaczony jako P(ω)/Fin, składa się ze wszystkich klas równoważności zbiorów naturalnych, gdzie istotną relacją równoważności jest to, że dwa zbiory liczb naturalnych są równoważne, jeśli ich symetryczna różnica jest skończona. Te operacje logiczne są zdefiniowane analogicznie, na przykład, jeśli i B są dwie klasy równoważności P (co) / wersja definiujemy jako klasa równoważność gdzie i b kilka (dowolny) elementy A i B , odpowiednio, .

    Niech teraz a 0 , a 1 , … będą parami rozłącznymi nieskończonymi zbiorami liczb naturalnych i niech A 0 ,  A 1 , … będą odpowiadającymi im klasami równoważności w P(ω)/Fin. Następnie podano żadnej górnej granicy X o A 0 ,  A 1 ... P (co) / wersja możemy znaleźć mniejsze górne, przez usunięcie z przedstawiciela X jeden element każdego z n . W związku z tym n nie supremum.

  • Algebra Boole'a jest kompletna wtedy i tylko wtedy, gdy jej przestrzeń Stone'ów ideałów pierwszych jest ekstremalnie rozłączona .

Własności kompletnych algebr Boole'a

  • Twierdzenie Sikorskiego o rozszerzeniu mówi, że jeśli A jest podalgebrą algebry Boole'a B , to każdy homomorfizm od A do pełnej algebry Boole'a C może być rozszerzony do morfizmu od B do C .
  • Każdy podzbiór pełnej algebry Boole'a ma z definicji supremum; wynika, że każdy podzbiór ma również infimum (kres dolny).
  • Dla pełnej algebry Boole'a obowiązują oba nieskończone prawa dystrybucji.
  • Dla pełnej algebry Boole'a obowiązują nieskończone prawa de-Morgana .

Zakończenie algebry Boole'a

Uzupełnienie algebry Boole'a można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów:

  • Dopełnienie A jest (aż do izomorfizmu) unikalną kompletną algebrą Boole'a B zawierającą A taką, że A jest gęste w B ; oznacza to, że dla każdego niezerowego elementu B istnieje mniejszy niezerowy element A .
  • Uzupełnienie A jest (aż do izomorfizmu) unikalną kompletną algebrą Boole'a B zawierającą A taką, że każdy element B jest supremum pewnego podzbioru A .

Uzupełnienie algebry Boole'a A można skonstruować na kilka sposobów:

  • Uzupełnieniem jest algebra Boole'a regularnych zbiorów otwartych w przestrzeni Stone'a ideałów pierwszych A . Każdy element x z A odpowiada otwartej zestaw głównych idei nie zawierających X (który jest otwarty i zamknięty, a zatem zwykłe).
  • Uzupełnieniem jest algebra Boole'a regularnych cięć A . Tu cięcie jest podzbiorem U o A + (niezerowa elementy A ) w taki sposób, że jeśli q jest U i P  ≤  q czym P jest U , i jest zwany regularnym jeśli gdy p nie jest U istnieją pewne r  ≤  p takie, że U nie ma elementów ≤  r . Każdy element p z A odpowiada wycięciu elementów ≤  p .

Jeśli A jest przestrzenią metryczną, a B jej uzupełnieniem, to każda izometria od A do pełnej przestrzeni metrycznej C może zostać rozszerzona do unikalnej izometrii od B do C . Analogiczne stwierdzenie dla kompletnych algebr Boole'a nie jest prawdziwe: homomorfizm z algebry Boole'a A do pełnej algebry Boole'a C nie może być koniecznie rozszerzony na homomorfizm (z zachowaniem nadrzędnym) kompletnych algebr Boole'a od uzupełnienia B z A do C . (Według twierdzenia o rozszerzeniu Sikorskiego można go rozszerzyć o homomorfizm algebr Boole'a od B do C , ale nie będzie to ogólnie homomorfizm kompletnych algebr Boole'a; innymi słowy, nie musi zachowywać supremów.)

Darmowe κ-kompletne algebry Boole'a

Dopóki Aksjomat wyboru nie jest rozluźniony, wolne kompletne algebry logiczne generowane przez zbiór nie istnieją (chyba że zbiór jest skończony). Dokładniej, dla każdej kardynalnej κ istnieje kompletna algebra Boole'a o liczności 2 κ większej niż κ, która jest generowana jako kompletna algebra Boole'a przez policzalny podzbiór; na przykład algebra Boole'a regularnych zbiorów otwartych w przestrzeni produktu κ ω , gdzie κ ma topologię dyskretną. Policzalny zbiór generujący składa się ze wszystkich zbiorów a m , n dla m , n liczb całkowitych, składających się z elementów x  ∊  κ ω takich, że x ( m ) <  x ( n ). (Ta algebra Boole'a nazywana jest algebrą zapadania , ponieważ wymuszenie za jej pomocą zwija kardynalny κ na ω.)

W szczególności funktor zapominający od zupełnych algebr Boole'a do zbiorów nie ma sprzężenia lewostronnego, mimo że jest ciągły, a kategoria algebr Boole'a jest mała-zupełna. To pokazuje, że „warunek zbioru rozwiązań” w twierdzeniu o funktorach sprzężonych Freyda jest konieczny.

Mając zbiór X , można utworzyć wolną algebrę Boole'a A wygenerowaną przez ten zbiór , a następnie przyjąć jej uzupełnienie B . Jednak B nie jest "wolną" kompletną algebrą Boole'a generowaną przez X (chyba że X jest skończone lub AC jest pominięte), ponieważ funkcja od X do swobodnej algebry Boole'a C nie może być ogólnie rozszerzona do (z zachowaniem nadrzędnym) morfizmu Algebry Boole'a od B do C .

Z drugiej strony, dla dowolnego ustalonego kardynalnego κ istnieje dowolna (lub uniwersalna) κ-zupełna algebra Boole'a generowana przez dowolny dany zbiór.

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Stavi Jonathan (1974), "A model ZF nieskończoną kompletna mieszanka Algebra Boole'a" Izrael Journal matematyki , 20 (2): 149-163, doi : 10.1007 / BF02757883 , S2CID  119543439 .