Podstawa (topologia) — Base (topology)

W matematyce , z podstawy lub podstawy dla topologii τ o topologii powierzchni ( X , τ) to rodzina B z otwartych podzbiorów w X takich, że każdy zbiór otwarty topologii jest równa jedności niektórych podrodziny z B ( ta podrodzina może być nieskończona, skończona, a nawet pusta). Na przykład zbiór wszystkich przedziałów otwartych w rzeczywistej osi liczbowej jest podstawą do euklidesowej topologii na ponieważ każdy otwarty przedział jest zbiorem otwartym, a także każdy otwarty podzbiór może być zapisany jako związek jakiejś rodziny przedziałów otwartych. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Bazy są wszechobecne w całej topologii. Zbiory w bazie dla topologii, zwane podstawowymi zbiorami otwartymi , są często łatwiejsze do opisania i użycia niż dowolne zbiory otwarte. Wiele ważnych definicji topologicznych, takich jak ciągłość i zbieżność, można sprawdzić przy użyciu tylko podstawowych zbiorów otwartych zamiast dowolnych zbiorów otwartych. Niektóre topologie mają bazę otwartych zbiorów z określonymi użytecznymi właściwościami, które mogą ułatwić sprawdzanie takich definicji topologicznych.

Nie wszystkie rodziny podzbiorów tworzą podstawę topologii. Na przykład, ponieważ X jest zawsze otwartym podzbiorem każdej topologii na X , jeśli rodzina B podzbiorów ma być bazą dla topologii na X , to musi obejmować X , co z definicji oznacza, że ​​suma wszystkich zbiorów w B musi być równy X . Jeśli X ma więcej niż jeden punkt, to istnieją rodziny podzbiorów X , które nie pokrywają X iw konsekwencji nie mogą stanowić podstawy dla żadnej topologii na X . Rodzina B podzbiorów X , który ma stanowić podstawę dla niektórych topologię X jest nazywane bazą o o topologii na X , w którym to przypadku konieczności unikalne Topologia nazwać to τ , mówi się, że generowane przez B , a B jest zatem podstawą tej topologii τ . Takie rodziny zestawów są często używane do definiowania topologii. Słabszym pojęciem związanym z bazami jest pojęcie podbazy topologii. Bazy dla topologii są ściśle powiązane z bazami sąsiedztwa .

Definicja i podstawowe właściwości

Podstawą topologii na X jest zbiór B podzbiorów X spełniających następujące właściwości:

1. Elementy B pokrywają X , tzn. każdy element X należy do jakiegoś elementu w B .
2. Biorąc pod uwagę elementy B ₁ , B ₂ z B , dla każdego x w B ₁ B ₂ istnieje element B ₃ w B zawierający x i taki, że B ₃ jest podzbiorem B ₁ ∩ B ₂ .

Równoważną własnością jest: każde skończone przecięcie elementów B można zapisać jako sumę elementów B . Te dwa warunki są dokładnie tym, co jest potrzebne do zapewnienia, że ​​zbiór wszystkich sum podzbiorów B jest topologią na X .

Jeśli zbiór B podzbiorów X nie spełnia tych właściwości, to nie jest podstawą żadnej topologii na X . (Jest to jednak podbaza , jak każdy zbiór podzbiorów X .) I odwrotnie, jeśli B spełnia te właściwości, to istnieje unikalna topologia na X, dla której B jest bazą; nazywa się to topologią generowaną przez B . (Ta topologia jest przecięciem wszystkich topologii na X zawierających B .) Jest to bardzo powszechny sposób definiowania topologii. Warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym, aby B wygenerował topologię na X jest to, że B jest zamknięty pod przecięciami; wtedy zawsze możemy przyjąć B ₃ = I powyżej.

Na przykład zbiór wszystkich otwartych przedziałów w linii rzeczywistej stanowi podstawę topologii na linii rzeczywistej, ponieważ przecięcie dowolnych dwóch otwartych przedziałów jest samo w sobie przedziałem otwartym lub pustym. W rzeczywistości są one podstawą standardowej topologii na liczbach rzeczywistych .

Jednak baza nie jest wyjątkowa. Wiele różnych baz, nawet o różnych rozmiarach, może generować tę samą topologię. Na przykład otwarte przedziały z wymiernymi punktami końcowymi są również podstawą standardowej topologii rzeczywistej, podobnie jak otwarte przedziały z niewymiernymi punktami końcowymi, ale te dwa zbiory są całkowicie rozłączne i oba są prawidłowo zawarte w podstawie wszystkich otwartych przedziałów. W przeciwieństwie do oparciu o przestrzeni wektorowej w algebry liniowej , potrzeba baza nie będzie maksymalna ; w rzeczywistości jedyną maksymalną podstawą jest sama topologia. W rzeczywistości każdy otwarty zestaw wygenerowany przez bazę może być bezpiecznie dodany do bazy bez zmiany topologii. Najmniejszą możliwą kardynalność podstawy nazywamy wagą przestrzeni topologicznej.

Przykładem zbioru zbiorów otwartych nie będących bazą jest zbiór S wszystkich półnieskończonych przedziałów form (−∞, a ) i ( a , ∞), gdzie a jest liczbą rzeczywistą. Następnie S jest nie podstawa do każdej topologię R . Aby to pokazać, załóżmy, że tak. Wtedy, na przykład, (−∞, 1) i (0, ∞) byłyby w topologii generowanej przez S , będąc sumami pojedynczego elementu bazowego, a więc ich przecięcie (0,1) również byłoby. Ale (0, 1) wyraźnie nie można zapisać jako sumę elementów S . Używając alternatywnej definicji, druga właściwość zawodzi, ponieważ żaden element bazowy nie może „zmieścić się” wewnątrz tego skrzyżowania.

Mając bazę dla topologii, aby udowodnić zbieżność sieci lub sekwencji, wystarczy udowodnić, że jest ona ostatecznie w każdym zbiorze w bazie, który zawiera przypuszczalną granicę.

Przykłady

Zbiór Γ wszystkich otwartych przedziałów stanowi podstawę dla topologii euklidesowej na . Każda topologia τ na zbiorze X jest dla siebie bazą (czyli τ jest bazą dla τ ). Z tego powodu, jeśli hipotezy twierdzenia zakładają, że topologia τ ma jakąś bazę Γ , to twierdzenie to można zastosować za pomocą Γ := τ . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Niepusty rodzina podzbiorów zbioru X , która jest zamknięta na podstawie skończonego przecięcia dwóch lub więcej zestawów, który jest nazywany π -system na X , jest z konieczności na bazie topologię X , wtedy i tylko wtedy, gdy pokrywa X . Z definicji każda σ-algebra , każdy filtr (a więc w szczególności każdy filtr sąsiedzki ) i każda topologia jest pokrywającym układem π, a więc także bazą dla topologii. W rzeczywistości, jeśli Γ jest filtrem na X, to { ∅ } ∪ Γ jest topologią na X, a Γ jest jej podstawą. Podstawa topologii nie musi być zamknięta pod skończonymi przecięciami, a wiele takich nie jest. Niemniej jednak wiele topologii jest zdefiniowanych przez bazy, które są również zamknięte pod skończonymi przecięciami. Na przykład, każda z poniższych rodzin podzbioru jest zamknięta pod skończonymi przecięciami, a więc każda z nich stanowi podstawę dla niektórych< topologii na : ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

• Zbiór Γ wszystkich ograniczonych przedziałów otwartych w generuje zwykłą topologię euklidesową na .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Zestaw Σ wszystkich ograniczonych zamkniętych odstępach czasu wytwarza dyskretne topologii na itd euklidesowa topologii jest podzbiorem tych topologii. Dzieje się tak pomimo faktu, że Γ nie jest podzbiorem Σ . W konsekwencji topologia generowana przez Γ , która jest topologią euklidesową na , jest bardziej zgrubna niż topologia generowana przez Σ . W rzeczywistości jest to ściśle grubsze bo Σ zawiera niepustych zbiorów zwartych, które nigdy nie są otwarte w topologii euklidesowej.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Zbiór Γ_{${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$} wszystkich przedziałów w Γ taki, że oba punkty końcowe przedziału są liczbami wymiernymi, generuje taką samą topologię jak Γ . Pozostaje to prawdą, jeśli każde wystąpienie symbolu Γ jest zastępowane przez Σ .
• Σ _∞ = { [ r , ∞ ) : r ∈ }${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ generuje topologię, która jest ściślejsza niż topologia generowana przez Σ . Żaden element Σ _{∞ nie} jest otwarty w topologii euklidesowej na .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Γ _∞ = { ( r , ∞ ) : r ∈ }${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ generuje topologię, która jest ściślejsza niż zarówno topologia euklidesowa, jak i topologia generowana przez Σ _∞ . Zbiory Σ _∞ i Γ _∞ są rozłączne, ale mimo to Γ _∞ jest podzbiorem topologii generowanej przez Σ _∞ .

Obiekty zdefiniowane w kategoriach podstaw

• Topologia celu jest zazwyczaj definiowane jako topologii generowanego przez zbiór otwartym przedziałem czasowym jak zestawy.
• Topologia metryka jest zwykle definiowana jako topologii generowanej przez zbiór otwartych kulek .
• Drugiej przeliczalna przestrzeń to taka, która posiada przeliczalną bazę.
• Dyskretnych Topologia ma pojedynczych postaci zasady.
• Topologia proskończonych na grupie jest zdefiniowany poprzez gromadzenie wszystkich normalnych podgrup skończonego indeksu jako podstawa otwartych dzielnicach tożsamości.

Topologia Zariski na spektrum pierścienia ma bazę składającą się z otwartych odbiorników, które mają specyficzne właściwości użytkowe. Dla zwykłej podstawy tej topologii każde skończone przecięcie elementów bazowych jest elementem bazowym. Dlatego czasami podstawy muszą być stabilne przy skończonym przecięciu.

• Topologia Zariski od jest topologia że ma algebraiczne zestawów jako zamknięte zestawów. Posiada podstawę utworzoną przez zestaw uzupełnień o algebraicznych hiperpowierzchni .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$
• Topologia Zariskiego widma pierścienia (zbiór ideałów pierwszych ) opiera się na takiej podstawie, że każdy element składa się ze wszystkich ideałów pierwszych, które nie zawierają danego elementu pierścienia.

Twierdzenia

• Dla każdego punktu x w zbiorze otwartym U istnieje element bazowy zawierający x i zawarty w U .
• Topologia T ₂ jest drobniejszy niż topologii T ₁ tylko wtedy, gdy dla każdego X , gdzie każdy element podstawy B z T ₁ zawierającego X , jest elementem podstawy , T ₂ , zawierającego X i zawarte w B .
• Jeśli są bazami dla topologii, to iloczyn zbioru jest bazą dla topologii iloczynowej. W przypadku iloczynu nieskończonego ma to zastosowanie, z tym wyjątkiem, że wszystkie elementy bazowe, z wyjątkiem skończonych, muszą być całą przestrzenią.${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots,B_{n}}$${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots,T_{n}}$ ${\ Displaystyle B_ {1} \ razy B_ {2} \ razy \ cdots \ razy B_ {n}}$ ${\ Displaystyle T_ {1} \ razy T_ {2} \ razy \ cdots \ razy T_ {n}.}$
• Niech B będzie bazą dla X i niech Y będzie podprzestrzenią od X . Następnie, jeśli przetniemy każdy element B z Y , otrzymany zbiór zbiorów jest bazą dla podprzestrzeni Y .
• Jeśli funkcja odwzorowuje każdy element bazowy X na otwarty zbiór Y , jest to mapa otwarta . Podobnie, jeśli każdy wstępny obraz podstawowego elementu Y jest otwarty w X , to f jest ciągłe .${\displaystyle f:X\do Y}$
• Zbiór podzbiorów X jest topologią X wtedy i tylko wtedy, gdy sam się generuje.
• B jest bazą dla przestrzeni topologicznej X wtedy i tylko wtedy, gdy podzbiór elementów B zawierających x tworzy bazę lokalną w x , dla dowolnego punktu x z X .

Baza do zestawów zamkniętych

Zamknięte zbiory są równie biegłe w opisie topologii przestrzeni. Istnieje zatem podwójne pojęcie bazy dla zbiorów domkniętych przestrzeni topologicznej. Biorąc pod uwagę przestrzeni topologicznej rodzina i zamkniętej tworzy podstawę dla i zamkniętej, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej zamkniętej zbioru i dla każdego punktu nie istnieje element zawierający , ale nie zawierające A rodziny jest bazą o zamkniętych zespołów wtedy, tylko wtedy, gdy jego liczba podwójna w oznaczona przez jest bazą zbiorów otwartych tego , to wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina dopełnień członków jest bazą zbiorów otwartych${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {C}}:=\{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle X.}$

Niech będzie bazą dla zbiorów domkniętych Then ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnic}$
2. Dla każdego związek jest przecięciem pewnej podrodziny (to znaczy, dla każdego nie ma niektórych zawierających i nie zawierających ).${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C_{1}\kubek C_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle x \ w X}$${\displaystyle C_{1}{\tekst{lub}}C_{2}}$${\displaystyle C_{3}\in {\matematyka {C}}}$${\displaystyle C_{1}\kubek C_{2}}$${\displaystyle x}$

Dowolny zbiór podzbiorów zbioru spełniającego te właściwości stanowi bazę dla zbiorów domkniętych topologii na . Zbiory domknięte tej topologii są dokładnie przecięciami elementów${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

W niektórych przypadkach wygodniej jest zastosować bazę do zestawów zamkniętych niż otwartych. Na przykład przestrzeń jest całkowicie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory zerowe tworzą bazę dla zbiorów zamkniętych. Biorąc pod uwagę jakąkolwiek przestrzeń topologiczną, zbiory zerowe tworzą bazę dla zbiorów zamkniętych w pewnej topologii. Ta topologia będzie najlepszą, całkowicie regularną topologią o bardziej zgrubnej niż oryginalna. W podobnym duchu topologia Zariskiego na A ⁿ jest definiowana przez przyjęcie zerowych zbiorów funkcji wielomianowych jako bazy dla zbiorów domkniętych. ${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$

Waga i charakter

Będziemy pracować z pojęciami ustalonymi w ( Engelking 1977 , s. 12, s. 127-128).

Ustal X przestrzeń topologiczną. Tutaj sieć jest rodziną zbiorów, dla której dla wszystkich punktów x i otwartych sąsiedztw U zawierających x istnieje B, w którym Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do bazy, zbiory w sieci nie muszą być otwarte. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\ Displaystyle x \ w B \ podseteq U.}$

Wagę , w ( X ) definiujemy jako minimalną moc bazy; definiujemy wagę sieci , nw ( X ), jako minimalną liczność sieci; charakter punktu , jako minimalnej liczności zasadzie sąsiedztwa dla X w X ; a postać z X będzie ${\ Displaystyle \ chi (x, X)}$

Celem obliczenia znaku i wagi jest to, aby móc powiedzieć, jaki rodzaj zasad i lokalnych zasad może istnieć. Mamy następujące fakty:

• nw ( X ) ≤ w ( X ).
• jeśli X jest dyskretne, to w ( X ) = nw ( X ) = | X |.
• jeśli X jest Hausdorffem, to nw ( X ) jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy X jest skończenie dyskretne.
• jeśli B jest bazą X, to istnieje baza rozmiaru${\displaystyle B'\subseteq B}$${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• jeśli N jest bazą sąsiedztwa dla x w X, to istnieje baza sąsiedztwa o rozmiarze${\displaystyle N'\subseteq N}$${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• jeśli jest sujekcją ciągłą, to nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Po prostu rozważ sieć Y dla każdej bazy B z X .)${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle f'''B \ triangleq \ {f'' U: U \ w B \}}$
• jeśli jest Hausdorff, to istnieje słabsza topologia Hausdorffa , więc a fortiori , jeśli X jest również zwarte, to takie topologie są zbieżne i stąd mamy, w połączeniu z pierwszym faktem, nw ( X ) = w ( X ).${\displaystyle (X,\tau)}$${\ Displaystyle (X, \ tau ')}$${\displaystyle w(X,\tau')\leq nw(X,\tau).}$
• jeśli ciągła mapa surjektywna od zwartej metryzowalnej przestrzeni do przestrzeni Hausdorffa, to Y jest zwartą metryzowalną przestrzenią.${\displaystyle f:X\do Y}$

Ten ostatni fakt wynika z faktu, że f ( X ) jest zwartą Hausdorffem, a co za tym idzie (ponieważ zwarte przestrzenie metryzowalne są z konieczności przeliczalne w sekundach); a także fakt, że zwarte przestrzenie Hausdorffa są metryzowalne dokładnie w przypadku, gdy są policzalne jako drugie. (Zastosowanie tego, na przykład, polega na tym, że każda ścieżka w przestrzeni Hausdorffa jest zwarta, z możliwością zmierzenia.) ${\ Displaystyle nw (f (X)) = w (f (X)) \ leq w (X) \ leq \ aleph _ {0}}$

Rosnące łańcuchy otwartych zestawów

Używając powyższej notacji, załóżmy, że w ( X ) ≤ κ jakiś nieskończony kardynalny. Nie istnieje wtedy ściśle rosnący ciąg zbiorów otwartych (równoważnie ściśle malejący ciąg zbiorów domkniętych) o długości ≥ κ ⁺ .

Aby to zobaczyć (bez aksjomatu wyboru), napraw

jako podstawa zbiorów otwartych. I załóżmy za kontra , że były ściśle rosnącą sekwencją otwartych zbiorów. To znaczy

Do

możemy użyć tej bazy do znalezienia jakiegoś U _γ z x w U _γ ⊆ V _α . W ten sposób możemy dobrze zdefiniować odwzorowanie, f  : κ ⁺ → κ mapujące każdy α do najmniejszego γ dla którego U _γ ⊆ V _α i spełnia

Ta mapa jest iniektywna, w przeciwnym razie byłoby α < β z f ( α ) = f ( β ) = γ , co dalej implikuje U _γ ⊆ V _α, ale również spełnia

co jest sprzecznością. Ale to pokazałoby, że κ ⁺ ≤ κ , sprzeczność.

Zobacz też

• Twierdzenie Esenina-Volpina
• Aksjomat klejenia
• System sąsiedztwa
• Pod-baza

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia