Kompletna teoria - Complete theory

W logice matematycznej , A teoria jest kompletna , jeśli dla każdej zamkniętej formuły w języku teorii jest, że wzór lub jego negacja jest udowodnić. Rekurencyjnie aksjomatyzowalne teorie pierwszego rzędu, które są spójne i wystarczająco bogate, aby umożliwić sformułowanie ogólnego rozumowania matematycznego, nie mogą być kompletne, jak wykazało pierwsze twierdzenie Gödla o niekompletności .

To poczucie kompletności różni się od pojęcia logiki kompletnej , które zakłada, że ​​dla każdej teorii, którą można sformułować w logice, wszystkie twierdzenia poprawne semantycznie są twierdzeniami dającymi się udowodnić (dla odpowiedniego sensu "słusznego semantycznie"). Twierdzenie Gödla o zupełności dotyczy tego drugiego rodzaju zupełności.

Pełne teorie są zamykane pod pewnymi warunkami wewnętrznie modelującymi schemat T :

• Dla zestawu formuł : wtedy i tylko wtedy , gdy i ,${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle A \ ziemia B \ w S}$${\ displaystyle A \ in S}$${\ displaystyle B \ in S}$
• Dla zestawu formuł : wtedy i tylko wtedy, gdy lub .${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle A \ lor B \ w S}$${\ displaystyle A \ in S}$${\ displaystyle B \ in S}$

Maksymalne spójne zestawy są podstawowym narzędziem w modelu teorii o klasycznej logiki i logiki modalnej . Ich istnienie w danym przypadku jest zwykle prostą konsekwencją lematu Zorna , opartego na idei, że sprzeczność wymaga użycia skończenie wielu przesłanek. W przypadku modalnej logiki, zbiór spójnych maksymalnych zbiorów rozciągających teorię T (zamknięty zgodnie z zasadą necessitation) może mieć strukturę modelu z T , zwany kanoniczna modelu.

Przykłady

Oto kilka przykładów kompletnych teorii:

• Arytmetyka presburgera
• Aksjomaty Tarskiego dla geometrii euklidesowej
• Teoria gęstych rzędów liniowych bez punktów końcowych
• Teoria algebraicznie zamkniętych ciał o zadanej charakterystyce
• Teoria rzeczywistych pól zamkniętych
• Każda niepoliczalnie kategoryczna policzalna teoria
• Każda policzalna kategoryczna policzalna teoria
• Grupy trzech elementów

Zobacz też

• Lemat Lindenbauma
• Test Łoś – Vaught

Bibliografia

• Mendelson, Elliott (1997). Wprowadzenie do logiki matematycznej (czwarta red.). Chapman & Hall. p. 86. ISBN 978-0-412-80830-2.

Tego Logika matematyczna związane z modelem artykuł jest en . Możesz pomóc Wikipedii, rozbudowując ją . v t mi