Algebraicznie zamknięte pole - Algebraically closed field


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

W abstrakcyjnej Algebra An algebraicznie zamknięte pole F zawiera korzenia dla każdej niestałej wielomianu w F [ x ] The pierścień wielomianów w zmiennej x o współczynników F .

Przykłady

Jako przykład, zakres od rzeczywistych numerów nie jest algebraicznie zamknięte, ponieważ równanie wielomianowe x 2  + 1 = 0 ma rozwiązanie liczb rzeczywistych, nawet wszystkich współczynników (1 i 0) to prawdziwe. Ten sam argument udowadnia, że nie podpole pola rzeczywistym jest algebraicznie zamknięte; w szczególności, w dziedzinie liczb wymiernych nie jest algebraicznie zamknięte. Ponadto, nie ma skończoną pole F jest algebraicznie zamknięte, ponieważ jeśli 1 , 2 , ..., n są elementami F , a następnie wielomian ( x  -  1 ) ( x  -  2 ) ··· ( x  -  n ) + 1 ma wartość zero w F . Natomiast zasadnicze twierdzenie algebry stwierdza, że pole liczb zespolonych jest algebraicznie zamknięte. Kolejny przykład pola algebraicznie zamknięty, to pole (kompleks) liczb algebraicznych .

równoważnych właściwościach

Biorąc pod uwagę pole F , twierdzenie „ F jest algebraicznie zamknięty” jest równoznaczne z innych twierdzeń:

Jedynymi nieprzywiedlne ​​wielomiany są te o jeden stopień

Pole F algebraicznie zamknięte, wtedy i tylko wtedy, gdy tylko nieprzywiedlne wielomiany w wielomian pierścienia F [ x ] są te stopnia pierwszego.

Twierdzenie „wielomiany stopnia z jednej są nieredukowalne” jest trywialnie prawdziwe dla każdej dziedzinie. Jeśli C jest algebraicznie zamknięte i P ( x ) jest wielomianem nierozkładalny F [ x ] i ma pewien główny A , a zatem P ( x ) jest wielokrotnością x  -  . Ponieważ P ( x ) jest nierozkładalny, oznacza to, że p ( x ) =  k ( x  -  ), na pewnym k  ∈  F  \ {0}. Z drugiej strony, jeśli F nie jest algebraicznie zamknięte, to istnieje kilka niestałym wielomian p ( x ), w F [ x ] bez korzeni F . Niech P ( x ) będzie jakiś irreducible czynnikiem P ( x ). Ponieważ p ( x ) nie korzenie w F , q ( x ) ma również żadnych korzenie w F . Dlatego też, q ( x ) jest większa niż jeden stopień, ponieważ każdy pierwszy stopień wielomian jeden pierwiastek F .

Każdy wielomian jest produktem pierwszego stopnia wielomianów

Pole F algebraicznie zamknięte, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wielomian P ( x ) stopnia n  równe 1, a współczynniki w F , dzieli na czynniki liniowe . Innymi słowy, to elementy kx 1x 2 , ...,  x n w polu F, tak, że p ( x ) =  K ( x  -  x 1 ), ( x  -  x 2 ) ··· ( x  -  x n ).

Jeśli M ma tę właściwość, to oczywiście każdy niestałym wielomianem F [ x ] ma pewne korzenie w F ; Innymi słowy, F jest algebraicznie zamknięte. Z drugiej strony, że nieruchomość podano tutaj odnosi się do F , jeśli F jest algebraicznie zamknięte wynika z poprzedniego własności w połączeniu z faktem, że dla dowolnego pola K , każdy wielomian w K [ x ] można zapisać jako iloczyn nieredukowalnej wielomianów ,

Wielomiany stopnia prime mieć korzenie

J. Shipman pokazano w 2007, że jeśli każdy wielomian przez F prime stopień zawiera pierwiastek F , to każda niestałym wielomian pierwiastek F , a zatem F algebraicznie zamknięte.

Pole ma prawidłowego rozszerzenia algebraiczne

Pole F jest algebraicznie zamknięty tylko wtedy, gdy nie ma odpowiedniego rozszerzenia algebraiczne .

Jeśli M ma odpowiednie rozszerzenie algebraicznej pozwolić P ( x ) jest nieco nierozkładalny wielomian F [ x ]. Następnie iloraz z F [ x ] modulo idealnym generowane przez P ( x ) jest algebraiczna przedłużenie F , którego poziom jest równy stopień p ( x ). Ponieważ nie jest właściwe przedłużenie jego stopień jest 1, a zatem stopień P ( x ) to 1.

Z drugiej strony, jeśli F ma jakąś właściwą algebraicznych rozszerzenie K , wówczas minimalny wielomian elementu w K  \  F jest nieredukowalne i jej stopień jest większa niż 1.

Pole ma prawidłowego rozszerzenia skończoną

Pole F jest algebraicznie zamknięty tylko wtedy, gdy nie ma skończoną rozszerzenia algebraiczne ponieważ jeżeli w poprzednim dowodzie , słowo „algebraiczny” zastępuje się słowem „skończonego”, to dowód jest nadal ważny.

Każdy endomorfizm z F n ma jakiś wektor własny

Pole F jest algebraicznie zamknięty tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n , każdy mapie liniowego od F n w siebie ma jakiś wektor własny .

Endomorfizm z F n ma wektor własny, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka wielomian ma pewne korzenie. Dlatego też, gdy M jest algebraicznie zamknięte, co endomorfizm z F n ma pewien wektor własny. Z drugiej strony, jeśli w każdym z endomorfizm F n ma wektor własny, niech P ( x ) będzie elementem F [ x ]. Dzielenie przez wiodącej współczynnika, otrzymujemy kolejną wielomian q ( x ), która ma korzenie wtedy i tylko wtedy, gdy p ( x ) ma korzenie. Ale jeśli q ( x ) =  x n  +  n  - 1 x n  - 1 + ··· +  0 , wówczas q ( x ) jest charakterystyczny wielomian n x n macierzy towarzyszącego

Dekompozycja wyrażeń wymiernych

Pole F algebraicznie zamknięte, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy racjonalny funkcji jednej zmiennej x , ze współczynnikami w F , może być zapisany jako suma funkcji wielomianowej racjonalnych funkcji postać a / ( x  -  b ) n , gdzie n jest liczbą naturalną, i i b są elementami F .

Jeśli C jest algebraicznie zamknięty a od nieredukowalnych wielomiany F [ x ] są stopnia 1 właściwość stwierdzono powyżej ładowni z twierdzeniem o ułamki proste .

Z drugiej strony, załóżmy, że nieruchomość posiada podano powyżej dla pola F . Niech t ( x ) będzie nierozkładalny element F. [ x ]. Następnie racjonalne funkcji 1 / s może być zapisana jako suma funkcji wielomianowej q racjonalnych funkcji postać a / ( x  -  b ) n . Dlatego racjonalne wyrażenie

można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów którym mianownik jest produktem pierwszego wielomianu stopnia. Ponieważ P ( x ) jest nierozkładalny musi dzielić ten produkt, a zatem musi on być także pierwszy stopień wielomianu.

Względnie pierwsze wielomiany i korzenie

Dla każdego pola F , jeżeli dwa wielomiany p ( x ), Q ( x ) ∈  F [ x ] są liczbami względnie pierwszymi , a następnie nie mają wspólnego korzenia, gdyż jeśli  ∈  F był wspólny główny, a następnie  P ( x ) i   q ( x ) będą zarówno wielokrotnościami x  -  , a zatem nie będą one względnie pierwszymi. Dziedzinach, w których odwrotna implikacja (czyli takich dziedzinach, że gdy dwa wielomiany nie mają wspólnego korzenia to są liczbami względnie pierwszymi) są dokładnie zamknięte algebraicznie pola.

Jeśli pole F jest algebraicznie zamknięte, niech p ( x ) i q ( x ) dwa wielomiany, które nie są liczbami względnie pierwszymi, a pozwalają r ( x ) będzie ich największy wspólny dzielnik . Następnie od R ( x ) nie jest stałe, to pewne głównego A , która będzie następnie wspólnym źródłem P ( x ) i P ( x ).

Jeżeli K nie jest algebraicznie zamknięte, niech P ( x ) jest wielomianem stopnia których co najmniej jeden nie korzeni. Następnie p ( x ) i P ( x ) nie są względnie pierwsze, ale nie mają wspólnych korzeni (ponieważ żaden z nich ma korzenie).

Inne właściwości

Jeśli C jest polem algebraicznie zamknięty i n jest liczbą naturalną, a K , który zawiera wszystkie N th korzeni jedności, ponieważ są one (z definicji) z N (niekoniecznie wyraźną) zerowych wielomianu x N  - 1. rozszerzenie pola który jest zawarty w rozszerzeniu generowanego przez korzenie jedności jest cyclotomic przedłużenie i rozszerzenie pola generowanego przez wszystkie korzeni jedności jest czasami nazywane jego cyclotomic zamknięcie . Zatem ciało algebraicznie domknięte są cyclotomically zamknięte. Odwrotna nie jest prawdą. Zakładając nawet, że każde wielomian postać x n  -  a dzieli się czynników liniowych nie wystarcza, aby upewnić się, że pole ma algebraicznie zamknięte.

Jeśli propozycja, która może być wyrażona w języku logiki pierwszego rzędu jest prawdziwe dla pola algebraicznie zamkniętym, to jest w przypadku każdej algebraicznie zamkniętego pola o tej samej charakterystyce . Ponadto, jeśli taka propozycja jest ważna dla algebraicznie zamkniętym polu z charakterystycznym 0, to wówczas nie tylko on ważny dla wszystkich pozostałych ciało algebraicznie domknięte z charakterystycznym 0, ale istnieje pewna liczba naturalna N taka, że propozycja jest ważna dla każdego algebraicznie zamknięte pole charakterystyki  P gdy p  >  N .

Każde pole F ma pewne rozszerzenie, które jest algebraicznie zamknięty. Takie rozszerzenie nazywa się algebraicznie zamknięty rozszerzenie . Wśród wszystkich tych rozszerzeń jest jeden i tylko jeden ( do izomorfizmu , ale nie wyjątkowy izomorfizm ), który jest algebraiczne rozszerzenie z F ; to się nazywa algebraiczne zamknięcie z F .

Teoria ciało algebraicznie domknięte ma eliminacji kwantyfikatora .

Uwagi

Referencje

  • BARWISE Jon (1978), "Wprowadzenie do logiki pierwszego rzędu", w BARWISE Jon, Handbook of Mathematical Logic , Studies in Logic i Podstaw Matematyki, Holandia Północna, ISBN  0-7204-2285-X
  • Lang Serge (2002), Algebra , Graduate Teksty matematyki , 211 (poprawiona wyd trzecią.), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1.878.556
  • Shipman, Józef (2007), "Poprawa zasadnicze twierdzenie algebry", matematyczna Intelligencer , 29 (4), pp 9-14,. Doi : 10.1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra , że (7th ed.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7