Konserwatywne rozszerzenie - Conservative extension

W logice matematycznej , o konserwatywnym rozszerzeniem jest supertheory z teorią , która jest często wygodne dla udowodnienia twierdzenia , ale okazuje żadnych nowych twierdzeń o języku oryginalnym teorii. Podobnie niekonserwatywne rozszerzenie jest superteorią, która nie jest konserwatywna i może udowodnić więcej twierdzeń niż oryginał.

Mówiąc bardziej formalnie, teoria jest konserwatywnym rozszerzeniem teorii ( dowód teorii ), jeśli każde twierdzenie o jest twierdzeniem o , a każde twierdzenie o w języku o jest już twierdzeniem o . ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$

Bardziej ogólnie, jeżeli jest zbiorem formuł we wspólnym języku i , następnie jest -conservative ponad jeśli każdy wzór od udowodnienia IN jest również udowodnić w . ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{2}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle T_{1}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$

Zauważ, że konserwatywne rozszerzenie spójnej teorii jest spójne. Gdyby tak nie było, to zgodnie z zasadą eksplozji każda formuła w języku o byłaby twierdzeniem o , a więc każda formuła w języku o byłaby twierdzeniem o , a więc nie byłaby konsekwentna. Dlatego konserwatywne rozszerzenia nie niosą ryzyka wprowadzenia nowych niespójności. Można to również postrzegać jako metodologię pisania i konstruowania wielkich teorii: zacznij od teorii, o której wiadomo (lub zakłada się), że jest spójna i sukcesywnie buduj jej konserwatywne rozszerzenia , , .... ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

Ostatnio do zdefiniowania pojęcia modułu dla ontologii stosowano konserwatywne rozszerzenia : jeśli ontologia jest sformalizowana jako teoria logiczna, podteoria jest modułem, jeśli cała ontologia jest konserwatywnym rozszerzeniem podteorii.

Rozszerzenie, które nie jest konserwatywne, można nazwać rozszerzeniem właściwym .

Przykłady

• ACA ₀ (podsystem arytmetyki drugiego rzędu ) jest konserwatywnym rozszerzeniem arytmetyki pierwszego rzędu Peano .
• Teoria mnogości von Neumanna-Bernaysa-Gödla jest konserwatywnym rozszerzeniem teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru (ZFC).
• Wewnętrzna teoria mnogości jest konserwatywnym rozszerzeniem teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru (ZFC).
• Rozszerzenia z definicji są konserwatywne.
• Rozszerzenia o nieograniczony predykat lub symbole funkcji są konserwatywne.
• IΣ ₁ (podsystem arytmetyki Peano z indukcją tylko dla wzorów Σ ⁰ ₁ ) jest Π ⁰ ₂ -konserwatywnym rozszerzeniem pierwotnej arytmetyki rekurencyjnej (PRA).
• ZFC jest Σ ¹ ₃ -conservative rozszerzenie ZF przez Absoluteness twierdzenia Shoenfield użytkownika .
• ZFC z hipotezą continuum jest Π ² ₁ -konserwatywnym rozszerzeniem ZFC.

Konserwatywne rozszerzenie teorii modelu

Dzięki środkom modelowo-teoretycznym uzyskuje się silniejsze pojęcie: rozszerzenie teorii jest modelowo-teoretycznie konserwatywne, jeśli każdy model można rozszerzyć do modelu . Każde rozszerzenie konserwatywne oparte na teorii modelu jest również rozszerzeniem konserwatywnym (teoretycznie dowodowym) w powyższym sensie. Pojęcie teorii modelu ma tę przewagę nad pojęciem teorii dowodu, że nie zależy tak bardzo od języka; z drugiej strony, zwykle trudniej jest ustalić konserwatywność modelu teoretycznego. ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}\subseteq T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

Zobacz też

• Rozszerzenie według definicji

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Znaczenie konserwatywnych rozszerzeń dla podstaw matematyki