Długość Debye'a - Debye length

W plazmie i elektrolitów The długość Debye'a (zwany również promień Debye'a ) jest miarą nośnika ładunku jest skutkiem elektrostatycznego netto w roztworze oraz sposób jego elektrostatyczne oddziaływania utrzymuje. Z każdą długością Debye'a ładunki są coraz bardziej ekranowane elektrycznie, a potencjał elektryczny zmniejsza się o 1/ e . Debye'a sfera jest objętość którego promień jest długość Debye'a. Debye'a długość jest ważnym parametrem w fizyce plazmy , elektrolitów i koloidów ( teoria DLVO ). Odpowiedni wektor fali ekranowania Debye'a dla cząstek o gęstości , ładunku w temperaturze jest podany w jednostkach gaussowskich . Wyrażenia w jednostkach MKS zostaną podane poniżej. Analogiczne wielkości w bardzo niskich temperaturach ( ) znane są jako długość Thomasa-Fermiego i wektor falowy Thomasa-Fermiego. Są zainteresowani opisywaniem zachowania elektronów w metalach w temperaturze pokojowej. ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle k_ {\ rm {D}} = 1 / \ lambda _ {\ rm {d}}}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle q}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle k_ {\ rm {D}} ^ {2} = 4 \ pi nq ^ {2} / (k_ {\ rm {B}} T)}$${\ Displaystyle T \ do 0}$

Długość Debye'a została nazwana na cześć holendersko-amerykańskiego fizyka i chemika Petera Debye'a (1884-1966), laureata Nagrody Nobla w dziedzinie chemii.

Pochodzenie fizyczne

Długość Debye'a pojawia się naturalnie w termodynamicznym opisie dużych systemów ładunków mobilnych. W systemie różnych rodzajów ładunków, -ty gatunek przenosi ładunek i ma koncentrację w pozycji . Zgodnie z tzw. „modelem pierwotnym”, ładunki te są rozłożone w ośrodku ciągłym, który charakteryzuje się jedynie względną przenikalnością statyczną , . Ten rozkład ładunków w tym ośrodku powoduje powstanie potencjału elektrycznego, który spełnia równanie Poissona : ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle j}$${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r})}$${\displaystyle \mathbf {r}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ ${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} )}$

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {r} ) = - \ \ suma _ {j = 1} ^ {N} q_ {j} \ n_ {j} (\ mathbf { r} )-\rho _{\rm {w.}}(\mathbf {r} )}$,

gdzie , jest stałą elektryczną i jest gęstością ładunku zewnętrzną (logicznie, a nie przestrzennie) względem ośrodka. ${\ Displaystyle \ varepsilon \ equiv \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ Displaystyle \ rho _ {\ RM {ext}}}$

Opłaty mobilne przyczyni się nie tylko w tworzeniu , ale też poruszać się w reakcji na powiązane siły Coulomba , . Jeśli dalej założymy, że układ znajduje się w równowadze termodynamicznej z kąpielą cieplną w temperaturze bezwzględnej , wówczas stężenia dyskretnych ładunków, , można uznać za średnie termodynamiczne (zespoły), a związany z nimi potencjał elektryczny za termodynamiczne pole średnie . Przy tych założeniach koncentrację -tego gatunku ładunku opisuje rozkład Boltzmanna , ${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} )}$${\ Displaystyle -q_ {j} \ \ nabla \ Phi (\ mathbf {r})}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r})}$${\ Displaystyle j}$

${\ Displaystyle n_ {j} (\ mathbf {r} ) = n_ {j} ^ {0} \, \ exp \ lewo (- {\ Frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r}) }{k_{\rm {B}}T}}\prawo)}$,

gdzie jest stałą Boltzmanna a gdzie jest średnią koncentracją ładunków gatunków . ${\ Displaystyle k_ {\ rm {B}}}$${\displaystyle n_{j}^{0}}$${\ Displaystyle j}$

Identyfikacja chwilowych stężeń i potencjału w równaniu Poissona z ich odpowiednikami pola średniego w rozkładzie Boltzmanna daje równanie Poissona-Boltzmanna :

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {r}) = - \ \ suma _ {j = 1} ^ {N} q_ {j} n_ {j} ^ {0}\, \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext }}(\mathbf {r} )}$.

Rozwiązania tego nieliniowego równania są znane dla niektórych prostych układów. Rozwiązania dla bardziej ogólnych systemów można uzyskać w granicy wysokiej temperatury (słabego sprzężenia) , przez Taylora rozszerzając wykładniczą: ${\ Displaystyle q_ {j} \ \ Phi (\ mathbf {r}) \ ll k_ {\ rm {B}} T}$

${\ Displaystyle \ exp \ lewo (- {\ Frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r} )} {k_ {\ rm {B}} T}} \ po prawej) \ około 1-{\ szczelina {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}}$.

To przybliżenie daje linearyzowane równanie Poissona-Boltzmanna

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {R}) = \ lewo (\ suma _ {j = 1} ^ {N} {\ Frac {n_ {j} ^ {0}\, q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N} n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$

które jest również znane jako równanie Debye'a-Hückla : Drugi człon po prawej stronie znika dla systemów, które są elektrycznie obojętne. Termin w nawiasach podzielony przez , ma jednostki odwrotnej długości do kwadratu, a analiza wymiarowa prowadzi do określenia charakterystycznej skali długości ${\displaystyle \varepsilon}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon \, k_ {\ rm {B}} T} {\ suma _ {j = 1} ^ {N} n_ { j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$

to jest powszechnie określane jako długość Debye-Hückel. Jako jedyna charakterystyczna skala długości w równaniu Debye'a-Hückla, wyznacza skalę zmienności potencjału i stężeń naładowanych gatunków. Wszystkie naładowane gatunki przyczyniają się do długości Debye-Hückel w ten sam sposób, niezależnie od znaku ich ładunków. Dla układu elektrycznie obojętnego równanie Poissona staje się ${\ Displaystyle \ lambda _ {D}}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {R} ) = \ lambda _ {\ rm {D}} ^ {-2} \ Phi (\ mathbf {R}) - {\ Frac {\ Rho _{\rm {w.}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}$

Aby zilustrować ekranowanie Debye'a, potencjał wytwarzany przez zewnętrzny ładunek punktowy wynosi ${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {ext}} = Q \ delta (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} ) = {\ Frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon r}} e ^ {-r / \ lambda _ {\ rm {D}}}}$

Nagi potencjał kulombowski jest wykładniczo ekranowany przez ośrodek na odcinku długości Debye'a.

Długość Debye-Hückel może być wyrażona w postaci długości Bjerrum jako ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {B}}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = \ lewo (4 \ pi \ \ lambda _ {\ rm {B}} \ \ suma _ {j = 1} ^ {N} n_ {j} ^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2}}$,

gdzie jest liczbą całkowitą ładunku, która wiąże ładunek na -tej formie jonowej z ładunkiem elementarnym . ${\ Displaystyle z_ {j} = q_ {j} / e}$${\ Displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$

W plazmie

W plazmie nieizotermicznej, temperatury elektronów i form ciężkich mogą się różnić, podczas gdy ośrodek tła może być traktowany jako próżnia ( ), a długość Debye'a wynosi ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {r} = 1}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ Frac {\ varepsilon _ {0}k_ {\ rm {B}} / q_ {e} ^ {2}} {n_ {e} /T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{i}}}}}$

gdzie

λ _D to długość Debye'a,

ε ₀ jest przenikalnością swobodnej przestrzeni ,

k _B jest stałą Boltzmanna ,

q _e jest ładunkiem elektronu ,

T _e i T _i są temperaturami odpowiednio elektronów i jonów,

n _e jest gęstością elektronów,

n _j jest gęstością atomów j , z dodatnim ładunkiem jonowym z _j q _e

Nawet w quasi-neutralnej zimnej plazmie, gdzie udział jonów wydaje się być większy ze względu na niższą temperaturę jonów, człon jonowy jest często obniżany, co daje

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0}k_ {\ rm {B}} T_ {e}} {n_ {e} q_ {e} ^ {2}}}}}$

chociaż jest to ważne tylko wtedy, gdy ruchliwość jonów jest znikoma w porównaniu ze skalą czasową procesu.

Typowe wartości

W plazmie kosmicznej, gdzie gęstość elektronów jest stosunkowo niska, długość Debye'a może osiągać wartości makroskopowe, takie jak w magnetosferze, wietrze słonecznym, ośrodku międzygwiazdowym i międzygalaktycznym. Zobacz tabelę poniżej:

Osocze	Gęstość n e (m- 3 )	Temperatura elektronów T (K)	Pole magnetyczne B (T)	Długość Debye'a λ D (m)
Rdzeń słoneczny	10 32	10 7	—	10 -11
Tokamak	10 20	10 8	10	10 -4
Wyładowanie gazu	10 16	10 4	—	10 -4
Jonosfera	10 12	10 3	10 -5	10 -3
Magnetosfera	10 7	10 7	10 -8	10 2
Wiatr słoneczny	10 6	10 5	10 -9	10
Ośrodek międzygwiezdny	10 5	10 4	10 -10	10
Ośrodek międzygalaktyczny	1	10 6	—	10 5

W roztworze elektrolitu

W elektrolicie lub zawiesinie koloidalnej długość Debye'a dla jednowartościowego elektrolitu jest zwykle oznaczana symbolem κ ^-1

${\ Displaystyle \ kappa ^ {-1} = {\ sqrt {\ Frac {\ varepsilon _ {\ RM {R}} \ varepsilon _ {0}k_ {\ RM {B}} T} {2N_ {\ RM { A}}e^{2}I}}}}$

gdzie

I jest siłą jonową elektrolitu w jednostkach mol/m ³ ,

ε ₀ jest przenikalnością swobodnej przestrzeni ,

ε _r jest stałą dielektryczną ,

k _B jest stałą Boltzmanna ,

T to temperatura bezwzględna w kelwinach ,

N _A to numer Avogadro .

${\displaystyle e}$jest ładunek elementarny ,

lub, dla symetrycznego jednowartościowego elektrolitu,

${\ Displaystyle \ kappa ^ {-1} = {\ sqrt {\ Frac {\ varepsilon _ {\ rm {r}} \ varepsilon _ {0}RT} {2 \ razy 10 ^ {3} F ^ {2} C_{0}}}}}$

gdzie

R jest stałą gazową ,

F jest stałą Faradaya ,

C ₀ to stężenie elektrolitu w jednostkach molowych (M lub mol/L).

Alternatywnie,

${\ Displaystyle \ kappa ^ {-1} = {\ Frac {1} {\ sqrt {8 \ pi \ lambda _ {\ rm {B}} N_ {\ rm {A}} \ razy 10 ^ {3}ja }}}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {B}}}$to długość Bjerrum medium.

Dla wody w temperaturze pokojowej λ _B ≈ 0,7 nm.

W temperaturze pokojowej (20 °C lub 70 °F) można rozważyć w wodzie zależność:

${\ Displaystyle \ kappa ^ {-1} (\ operatorname {nm}) = {\ Frac {0,304} {\ sqrt {ja (\ operatorname {M})}}}}$

gdzie

κ ^-1 jest wyrażone w nanometrach (nm)

I jest siła jonowa wyrażone w molowej (M lub mol / L)

Istnieje metoda szacowania przybliżonej wartości długości Debye'a w cieczach za pomocą przewodności, która jest opisana w normie ISO i książce.

W półprzewodnikach

Długość Debye'a staje się coraz bardziej istotna w modelowaniu urządzeń półprzewodnikowych, ponieważ ulepszenia w technologiach litograficznych umożliwiły tworzenie mniejszych geometrii.

Długość Debye'a półprzewodników jest podana:

${\ Displaystyle L_ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ Frac {\ varepsilon k_ {\ rm {B}} T} {q ^ {2} N_ {\ rm {dop}}}}}}$

gdzie

ε jest stałą dielektryczną,

k _B jest stałą Boltzmanna,

T to temperatura bezwzględna w kelwinach,

q jest ładunkiem elementarnym, a

N _dop to gęstość netto domieszek (donorów lub akceptorów).

Gdy profile domieszkowania przekraczają długość Debye'a, większość przewoźników nie zachowuje się już zgodnie z rozkładem domieszek. Zamiast tego, miara profilu gradientów domieszkowania zapewnia „skuteczny” profil, który lepiej pasuje do profilu gęstości nośnika większości.

W kontekście ciał stałych długość Debye'a nazywana jest również długością przesiewania Thomasa-Fermiego .

Zobacz też

• Długość Bjerrum
• Efekt Debye'a-Falkenhagena
• Oscylacja plazmy
• Efekt ekranowania
• Efekt przesiewowy

Bibliografia

Dalsza lektura

• Goldston i Rutherford (1997). Wprowadzenie do fizyki plazmy . Filadelfia: Instytut Wydawnictwa Fizyki .
• Lyklema (1993). Podstawy interfejsów i nauk o koloidach . NY: Prasa akademicka .