Dyskretny wybór - Discrete choice

Część serii na
Analiza regresji
Modele
Regresja liniowa Prosta regresja Regresja wielomianowa Ogólny model liniowy
Uogólniony model liniowy Dyskretny wybór Regresja dwumianowa Regresja binarna Regresja logistyczna Logit wielomianowy Logit mieszany Probit Wielomianowy probit Zamówiony logit Zamówiony dowód Poissona
Model wielopoziomowy Naprawiono efekty Losowe efekty Liniowy model efektów mieszanych Nieliniowy model efektów mieszanych
Regresja nieliniowa Nieparametryczne Semiparametric Krzepki Kwantyla Izotoniczne Główne składniki Najmniejszy kąt Lokalny Segmentowane
Błędy w zmiennych
Oszacowanie
Najmniej kwadratów Liniowy Nieliniowy
Zwyczajny Ważona Uogólnione
Częściowy Całkowity Nieujemne Regresja grzbietu Regularyzowany
Najmniej odchyleń bezwzględnych Iteracyjnie ponownie ważone Bayesian Wiele zmiennych bayesowskich
tło
Walidacja regresji Średnia i przewidywana odpowiedź Błędy i pozostałości Dobroć dopasowania Pozostałości studenckie Twierdzenie Gaussa – Markowa
Portal matematyka
v t mi

W ekonomii , modele dyskretnego wyboru lub modele wyboru jakościowego , opisują, wyjaśniają i przewidują wybory między dwiema lub więcej dyskretnymi alternatywami, takimi jak wejście lub nie wejście na rynek pracy lub wybór między środkami transportu . Takie wybory kontrastują ze standardowymi modelami konsumpcji, w których zakłada się, że ilość każdego konsumowanego towaru jest zmienną ciągłą . W przypadku ciągłym do określenia optymalnej wybranej ilości można zastosować metody obliczeniowe (np. Warunki pierwszego rzędu), a popyt można modelować empirycznie za pomocą analizy regresji . Z drugiej strony, analiza wyboru dyskretnego bada sytuacje, w których potencjalne wyniki są dyskretne, tak że optimum nie jest charakteryzowane przez standardowe warunki pierwszego rzędu. Tak więc, zamiast badać „ile”, jak w przypadku problemów ze zmiennymi ciągłego wyboru, analiza wyboru dyskretnego bada „która”. Jednak analiza wyboru dyskretnego może być również wykorzystana do zbadania wybranej ilości, gdy trzeba wybrać tylko kilka różnych ilości, takich jak liczba pojazdów, które gospodarstwo domowe wybiera na własność, oraz liczba minut usług telekomunikacyjnych, które klient decyduje się kupić. Techniki takie jak regresja logistyczna i regresja probit mogą być stosowane do analizy empirycznej dyskretnego wyboru.

Dyskretny wybór modeluje teoretycznie lub empirycznie wybory dokonywane przez ludzi wśród skończonego zbioru alternatyw. Modele posłużyły do ​​zbadania m.in. wyboru samochodu do zakupu, miejsca na studia, środka transportu (samochód, autobus, kolej) do podjęcia pracy oraz wielu innych zastosowań. Modele dyskretnego wyboru są również używane do badania wyborów dokonywanych przez organizacje, takie jak firmy lub agencje rządowe. W poniższej dyskusji przyjmuje się, że jednostka decyzyjna jest osobą, chociaż pojęcia mają szersze zastosowanie. Daniel McFadden zdobył nagrodę Nobla w 2000 roku za swoją pionierską pracę nad opracowaniem teoretycznych podstaw dyskretnego wyboru.

Modele dyskretnego wyboru statystycznie wiążą wybór dokonany przez każdą osobę z atrybutami osoby i atrybutami alternatyw dostępnych dla tej osoby. Na przykład wybór samochodu, który dana osoba kupuje, jest statystycznie powiązany z dochodami i wiekiem osoby, a także z ceną, zużyciem paliwa, rozmiarem i innymi atrybutami każdego dostępnego samochodu. Modele szacują prawdopodobieństwo, że dana osoba wybierze konkretną alternatywę. Modele są często używane do prognozowania, jak wybory ludzi zmienią się pod wpływem zmian demograficznych i / lub atrybutów rozwiązań alternatywnych.

Modele dyskretnego wyboru określają prawdopodobieństwo, że dana osoba wybierze opcję spośród zestawu alternatyw. Probabilistyczny opis zachowań związanych z dyskretnym wyborem nie odzwierciedla indywidualnych zachowań, które są postrzegane jako z natury probabilistyczne. To raczej brak informacji skłania nas do opisu wyboru w sposób probabilistyczny. W praktyce nie możemy poznać wszystkich czynników wpływających na indywidualne decyzje wyborcze, ponieważ ich determinanty są częściowo obserwowane lub niedoskonale mierzone. Dlatego modele wyboru dyskretnego opierają się na założeniach i specyfikacjach stochastycznych w celu uwzględnienia nieobserwowanych czynników związanych z a) alternatywami wyboru, b) zmiennością gustu w zależności od ludzi (heterogeniczność interpersonalna) i w czasie (dynamika wyboru wewnątrzosobniczego) oraz c) niejednorodnych zestawów wyborów. . Podsumowano różne sformułowania i podzielono je na grupy modeli.

Aplikacje

• Badacze marketingu wykorzystują modele dyskretnego wyboru do badania popytu konsumentów i przewidywania konkurencyjnych odpowiedzi biznesowych, umożliwiając modelarzom wyboru rozwiązanie szeregu problemów biznesowych, takich jak ceny , rozwój produktu i problemy z szacowaniem popytu . W badaniach rynkowych jest to powszechnie nazywane analizą spójną .
• Planiści transportu wykorzystują modele dyskretnego wyboru do przewidywania zapotrzebowania na planowane systemy transportowe , na przykład, którą trasę przejedzie kierowca i czy ktoś skorzysta z systemów szybkiego transportu . Pierwsze zastosowania modeli dyskretnego wyboru dotyczyły planowania transportu, a większość najbardziej zaawansowanych badań nad modelami dyskretnego wyboru jest prowadzonych przez naukowców zajmujących się transportem.
• Osoby zajmujące się prognozowaniem zużycia energii i decydenci stosują modele dyskretnego wyboru dla gospodarstw domowych i firm w zakresie wyboru systemu ogrzewania, poziomów wydajności urządzeń i poziomu efektywności paliwowej pojazdów.
• Badania środowiskowe wykorzystują modele dyskretnego wyboru, aby zbadać wybór przez rekruterów np. Miejsca do wędkowania lub jazdy na nartach i wywnioskować wartość udogodnień, takich jak kempingi, zasoby rybne i ocieplające chaty, oraz oszacować wartość poprawy jakości wody.
• Ekonomiści zajmujący się pracą stosują modele dyskretnego wyboru, aby zbadać udział w rynku pracy, wybór zawodu oraz wybór uczelni i programów szkoleniowych.
• Badania ekologiczne wykorzystują modele dyskretnego wyboru do badania parametrów wpływających na wybór siedlisk u zwierząt.

Wspólne cechy modeli dyskretnego wyboru

Modele dyskretnego wyboru przyjmują różne formy, w tym: logarytm binarny, logarytm binarny, logarytm wielomianowy, logit warunkowy, logit wielomianowy, logarytm zagnieżdżony, uogólnione modele wartości ekstremalnych, logarytm mieszany i logarytmiczny rozstrzelony. Wszystkie te modele mają wspólne cechy opisane poniżej.

Zestaw do wyboru

Zbiór wyboru to zbiór alternatyw dostępnych dla danej osoby. W przypadku modelu z wyborem dyskretnym zbiór wyboru musi spełniać trzy wymagania:

1. Zestaw alternatyw musi być zbiorczo wyczerpujący , co oznacza, że ​​zestaw zawiera wszystkie możliwe alternatywy. Wymóg ten oznacza, że ​​osoba z konieczności wybiera alternatywę z zestawu.
2. Alternatywy muszą się wzajemnie wykluczać , co oznacza, że ​​wybór jednej alternatywy oznacza brak wyboru innych. Wymóg ten oznacza, że ​​osoba wybiera tylko jedną alternatywę ze zbioru.
3. Zbiór musi zawierać skończoną liczbę alternatyw. To trzecie wymaganie odróżnia analizę wyboru dyskretnego od form analizy regresji, w których zmienna zależna może (teoretycznie) przyjmować nieskończoną liczbę wartości.

Przykładowo, zestaw wyboru dla osoby decydującej o tym, jakim środkiem transportu wybrać się do pracy, obejmuje jazdę samodzielnie, carpooling, autobus itp. Zestaw wyborów komplikuje fakt, że dana osoba może korzystać z wielu środków transportu podczas danej podróży, takie jak jazda samochodem na stację kolejową, a następnie pociągiem do pracy. W tym przypadku zestaw wyboru może zawierać każdą możliwą kombinację trybów. Alternatywnie wybór można zdefiniować jako wybór trybu „podstawowego”, z zestawem składającym się z samochodu, autobusu, kolei i innych (np. Spacery, rowery itp.). Należy zwrócić uwagę, że uwzględniono alternatywę „inne”, aby zestaw do wyboru był wyczerpujący.

W zależności od okoliczności różni ludzie mogą mieć różne zestawy do wyboru. Na przykład samochód Scion nie był sprzedawany w Kanadzie od 2009 r., Więc nabywcy nowych samochodów w Kanadzie mieli do wyboru inne zestawy niż konsumenci amerykańscy. Takie rozważania są brane pod uwagę przy formułowaniu modeli dyskretnego wyboru.

Definiowanie prawdopodobieństw wyboru

Model dyskretnego wyboru określa prawdopodobieństwo, że dana osoba wybierze konkretną alternatywę, przy czym prawdopodobieństwo to jest wyrażone jako funkcja obserwowanych zmiennych, które odnoszą się do alternatyw i osoby. W swojej ogólnej postaci prawdopodobieństwo, że osoba n wybierze alternatywę i, jest wyrażone jako:

${\ Displaystyle P_ {ni} \ equiv \ Pr ({\ tekst {osoba}} n {\ tekst {wybiera alternatywę}} i) = G (x_ {ni}, \; x_ {nj, j \ neq i}, \; s_ {n}, \; \ beta),}$

gdzie

${\ displaystyle x_ {ni}}$ jest wektorem atrybutów alternatywy i, z którą ma do czynienia osoba n ,

${\ Displaystyle x_ {nj, j \ neq i}}$ jest wektorem atrybutów innych alternatyw (innych niż i ), z którymi boryka się osoba n ,

${\ displaystyle s_ {n}}$ jest wektorem cech osoby n , a

${\ displaystyle \ beta}$ jest zbiorem parametrów określających wpływ zmiennych na prawdopodobieństwa, które są szacowane statystycznie.

W powyższym przykładzie środka transportu , atrybuty rodzajów transportu ( x _ni ), takie jak czas i koszt podróży oraz cechy konsumenta ( s _n ), takie jak roczny dochód, wiek i płeć, można wykorzystać do obliczenia wyboru. prawdopodobieństwa. Atrybuty alternatyw mogą się różnić w zależności od ludzi; np. koszt i czas dojazdu do pracy samochodem, autobusem i koleją są różne dla każdej osoby w zależności od lokalizacji domu i pracy tej osoby.

Nieruchomości:

• P _ni wynosi od 0 do 1
• ${\ Displaystyle \ forall n: \; \ suma _ {j = 1} ^ {J} P_ {nj} = 1,}$ gdzie J to całkowita liczba alternatyw.
• (Oczekiwany odsetek osób wybierających i ) gdzie N to liczba osób dokonujących wyboru. ${\ displaystyle = {1 \ ponad N} {\ sum _ {n = 1} ^ {N} P_ {ni}},}$

Różne modele (tj. Modele wykorzystujące inną funkcję G) mają różne właściwości. Najważniejsze modele są przedstawione poniżej.

Użyteczność konsumenta

Modele wyboru dyskretnego można wyprowadzić z teorii użyteczności . To wyprowadzenie jest przydatne z trzech powodów:

1. Daje dokładne znaczenie prawdopodobieństwom P _ni
2. To motywuje i wyróżnia alternatywnych specyfikacji modelu, np Wybór postaci funkcjonalnej dla G .
3. Zapewnia teoretyczną podstawę do obliczania zmian w nadwyżce konsumenta (zmienność kompensująca) na podstawie zmian atrybutów rozwiązań alternatywnych.

U _ni to użyteczność (lub korzyść netto lub dobrobyt), które osoba n uzyskuje wybierając alternatywę i . Zachowanie osoby maksymalizuje użyteczność: osoba n wybiera alternatywę, która zapewnia najwyższą użyteczność. Wybór osoby jest określony przez zmienne fikcyjne, y _ni , dla każdej alternatywy:

${\ Displaystyle y_ {ni} = {\ rozpocząć {przypadków} 1 & U_ {ni}> U_ {nj} \ quad \ forall j \ neq i \\ 0 & {\ text {inaczej}} \ end {przypadki}}}$

Rozważmy teraz badacza, który sprawdza wybór. Wybór osoby zależy od wielu czynników, z których część obserwuje badacz, a część nie. Użyteczność, jaką osoba uzyskuje z wyboru alternatywy, rozkłada się na część zależną od zmiennych obserwowanych przez badacza i część zależną od zmiennych, których badacz nie obserwuje. W formie liniowej ten rozkład jest wyrażony jako

${\ Displaystyle U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}}$

gdzie

• ${\ displaystyle z_ {ni}}$ jest wektorem obserwowanych zmiennych odnoszących się do alternatywy i dla osoby n, która zależy od atrybutów alternatywy, x _ni , prawdopodobnie wchodzących w interakcję z atrybutami osoby, s _n , tak że można to wyrazić jak dla jakiejś funkcji liczbowej z , ${\ displaystyle z_ {ni} = z (x_ {ni}, s_ {n})}$
• ${\ displaystyle \ beta}$ jest odpowiednim wektorem współczynników obserwowanych zmiennych, a
• ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ni}}$ rejestruje wpływ wszystkich niezauważonych czynników, które wpływają na wybór danej osoby.

Jest wtedy prawdopodobieństwo wyboru

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {ni} & = \ Pr (y_ {ni} = 1) \\ & = \ Pr \ lewo (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni}> U_ { nj}, \ right) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj }, \ right) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ varepsilon _ {nj} - \ varepsilon _ {ni} <\ beta z_ {ni} - \ beta z_ {nj} , \ right) \ end {aligned}}}$

Biorąc pod uwagę β , prawdopodobieństwo wyboru to prawdopodobieństwo, że wyrazy losowe ε _nj - ε _ni (które są losowe z punktu widzenia badacza, ponieważ badacz ich nie obserwuje) są poniżej odpowiednich wielkości Różne modele wyboru (tj. Różne specyfikacje G ) wynikają z różnych rozkładów ε _ni dla wszystkich i i różnych ujęć β . ${\ displaystyle \ forall j \ neq i: \ beta z_ {ni} - \ beta z_ {nj}.}$

Własności dyskretnych modeli wyboru implikowane przez teorię użyteczności

Liczą się tylko różnice

Prawdopodobieństwo, że dana osoba wybierze konkretną alternatywę, określa się porównując użyteczność wyboru tej alternatywy z użytecznością wyboru innych alternatyw:

${\ Displaystyle P_ {ni} = \ Pr (y_ {ni} = 1) = \ Pr \ lewo (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni}> U_ {nj} \ prawej) = \ Pr \ lewo (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni} -U_ {nj}> 0 \ right)}$

Jak wskazuje ostatni termin, prawdopodobieństwo wyboru zależy tylko od różnicy mediów między alternatywami, a nie od bezwzględnego poziomu mediów. Równoważnie, dodanie stałej do użyteczności wszystkich alternatyw nie zmienia prawdopodobieństw wyboru.

Skala musi zostać znormalizowana

Ponieważ użyteczność nie ma jednostek, konieczne jest znormalizowanie skali usług. Skala użyteczności jest często definiowana przez wariancję składnika błędu w dyskretnych modelach wyboru. Ta rozbieżność może się różnić w zależności od cech zbioru danych, takich jak czas i miejsce gromadzenia danych. W związku z tym normalizacja wariancji wpływa na interpretację parametrów oszacowanych w różnych zbiorach danych.

Wybitne typy dyskretnych modeli wyboru

Modele dyskretnego wyboru można najpierw sklasyfikować według liczby dostępnych alternatyw.

* Dwumianowe modele wyboru (dychotomiczne): 2 dostępne alternatywy

* Wielomianowe modele do wyboru ( wielomianowe ): 3 lub więcej dostępnych alternatyw

Wielomianowe modele wyboru można dalej klasyfikować zgodnie ze specyfikacją modelu:

* Modele, takie jak standardowy logit, które zakładają brak korelacji nieobserwowanych czynników nad alternatywami

* Modele, które umożliwiają korelację nieobserwowanych czynników między alternatywami

Ponadto dostępne są określone formy modeli do badania rankingów alternatyw (tj. Pierwszego wyboru, drugiego wyboru, trzeciego wyboru itp.) Oraz dla danych ratingowych.

Szczegółowe informacje na temat każdego modelu znajdują się w kolejnych sekcjach.

Wybór binarny

A. Logit z atrybutami osoby, ale bez atrybutów alternatyw

U _n jest użytecznością (lub korzyścią netto), jaką osoba n uzyskuje z podjęcia działania (w przeciwieństwie do niepodejmowania działania). Użyteczność, jaką osoba uzyskuje w wyniku podjęcia działania, zależy od cech osoby, z których niektóre są obserwowane przez badacza, a inne nie. Osoba podejmuje działanie, y _n = 1 , jeśli U _n > 0. Zakłada się, że nieobserwowany składnik ε _n ma rozkład logistyczny . Specyfikacja jest napisana zwięźle jako:

${\ displaystyle {\ begin {przypadków} U_ {n} = \ beta s_ {n} + \ varepsilon _ {n} \\ y_ {n} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 & U_ {n}> 0 \\ 0 i U_ { n} \ leqslant 0 \ end {cases}} \\\ varepsilon \ sim {\ text {Logistic}} \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = {\ frac {1} {1+ \ exp (- \ beta s_ {n})}}}$

B. Probit z atrybutami osoby, ale bez atrybutów alternatyw

Opis modelu jest taki sam, jak modelu A , z wyjątkiem tego, że nieobserwowane terminy są rozkładem standardowym normalnym zamiast logistycznym .

${\ displaystyle {\ begin {przypadków} U_ {n} = \ beta s_ {n} + \ varepsilon _ {n} \\ y_ {n} = {\ rozpocząć {przypadków} 1 i U_ {n}> 0 \\ 0 i U_ { n} \ leqslant 0 \ end {przypadki}} \\\ varepsilon \ sim {\ text {Standard normal}} \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = \ Phi (\ beta s_ {n }),}$

gdzie jest skumulowana funkcja rozkładu normalnej . ${\ displaystyle \ Phi}$

C. Logit ze zmiennymi, które różnią się od alternatyw

U _ni jest osoba narzędzie n uzyskanych od wyboru alternatywnego I . Użyteczność każdej alternatywy zależy od atrybutów alternatyw, które prawdopodobnie oddziałują z atrybutami osoby. Zakłada się, że nieobserwowane warunki mają skrajny rozkład wartości .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} U_ {n1} = \ beta z_ {n1} + \ varepsilon _ {n1} \\ U_ {n2} = \ beta z_ {n2} + \ varepsilon _ {n2} \\\ varepsilon _ {n1}, \ varepsilon _ {n2} \ sim {\ text {iid extreme value}} \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = {\ frac {\ exp (\ beta z_ {n1})} {\ exp (\ beta z_ {n1}) + \ exp (\ beta z_ {n2})}}}$

Możemy odnieść tę specyfikację do modelu A powyżej, który jest również logitem binarnym. W szczególności P _{n 1} można również wyrazić jako

${\ Displaystyle P_ {n1} = {\ Frac {1} {1+ \ exp (- \ beta (z_ {n1} -z_ {n2}))}}}$

Należy zauważyć, że jeśli dwa składniki błędu mają wartość ekstremalną , ich różnica jest logistyką rozproszoną , która jest podstawą równoważności tych dwóch specyfikacji.

D. Probit ze zmiennymi, które różnią się od alternatyw

Opis modelu jest taki sam jak modelu C , z tym wyjątkiem, że różnica między dwoma nieobserwowanymi terminami jest rozkładem standardowym normalnym zamiast logistycznym .

Wtedy prawdopodobieństwo podjęcia działania jest

${\ Displaystyle P_ {n1} = \ Phi (\ beta (z_ {n1} -z_ {n2}))}$

gdzie Φ jest skumulowaną funkcją rozkładu standardowej normy .

Wybór wielomianowy bez korelacji między alternatywami

E. Logit z atrybutami osoby, ale bez atrybutów alternatyw

Użyteczność dla wszystkich alternatyw zależy od tych samych zmiennych, s _n , ale współczynniki są różne dla różnych alternatyw:

• U _ni = β _i s _n + ε _ni ,
• Ponieważ istnieją tylko różnice w materii użytkowej, konieczne jest znormalizowanie dla jednej alternatywy. Zakładając , ${\ displaystyle \ beta _ {i} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {1} = 0}$
• ε _ni są iid wartość ekstremalna

Prawdopodobieństwo wyboru przyjmuje postać

${\ Displaystyle P_ {ni} = {\ exp (\ beta _ {i} s_ {n}) \ ponad \ suma _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta _ {j} s_ {n} )},}$

gdzie J to całkowita liczba alternatyw.

F. Logit ze zmiennymi, które różnią się od alternatyw (zwane również logitem warunkowym)

Użyteczność każdej alternatywy zależy od atrybutów tej alternatywy, być może w interakcji z atrybutami osoby:

${\ displaystyle {\ begin {przypadków} U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni} \\\ varepsilon _ {ni} \ sim {\ text {iid ekstremalna wartość}} \ end {przypadków }} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {ni} = {\ exp (\ beta z_ {ni}) \ over \ sum _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}, }$

gdzie J to całkowita liczba alternatyw.

Należy zwrócić uwagę, że model E można wyrazić w tej samej formie, co model F przez odpowiednie ponowne określenie zmiennych. Określić , gdzie jest trójkąt Kronecker i s _n są od modelu E . Następnie model F uzyskuje się za pomocą ${\ Displaystyle w_ {nj} ^ {k} = s_ {n} \ delta _ {jk}}$${\ displaystyle \ delta _ {jk}}$

${\ displaystyle z_ {nj} = \ lewo \ {w_ {nj} ^ {1}, \ cdots, w_ {nj} ^ {J} \ prawo \} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ beta = \ left \ {\ beta _ {1}, \ cdots, \ beta _ {J} \ right \},}$

gdzie J to całkowita liczba alternatyw.

Wybór wielomianowy z korelacją między alternatywami

Standardowy model logitowy nie zawsze jest odpowiedni, ponieważ zakłada, że ​​nie ma korelacji między nieobserwowanymi czynnikami a alternatywami. Ten brak korelacji przekłada się na określony wzorzec substytucji wśród alternatyw, które nie zawsze mogą być realistyczne w danej sytuacji. Ten wzorzec podstawiania jest często nazywany właściwością niezależności nieistotnych alternatyw (IIA) standardowych modeli logitowych. Zobacz przykład Red Bus / Blue Bus, w którym ten wzorzec nie działa, lub przykład wyboru ścieżki. Zaproponowano szereg modeli, aby umożliwić korelację z alternatywami i bardziej ogólnymi wzorcami zastępowania:

• Zagnieżdżony model logitowy - przechwytuje korelacje między alternatywami poprzez podzielenie zbioru wyboru na „gniazda”
  • Zagnieżdżony krzyżowo model Logit (CNL) - alternatywy mogą należeć do więcej niż jednego gniazda
  • Model C-logit - rejestruje korelacje między alternatywami przy użyciu „współczynnika wspólności”
  • Sparowany kombinatoryczny model logitowy - odpowiedni do problemów z wyborem trasy.
• Uogólniony model wartości ekstremalnej - ogólna klasa modelu, wyprowadzona z losowego modelu użytkowego, do którego należą wielomianowy logit i logit zagnieżdżony
• Warunkowe probit - umożliwia pełną kowariancję między alternatywami przy użyciu wspólnego rozkładu normalnego.
• Logit mieszany - zezwala na dowolną formę wzorców korelacji i podstawiania. Kiedy logit mieszany ma łącznie normalne warunki losowe, modele są czasami nazywane „wielomianowym modelem probitowym z jądrem logit”. Można zastosować do wyboru trasy.

W poniższych sekcjach szczegółowo opisano modele zagnieżdżonych Logit, GEV, Probit i Mixed Logit.

G. Zagnieżdżone modele logitowe i uogólnione modele wartości ekstremalnych (GEV)

Model jest taki sam jak model F, z tym wyjątkiem, że nieobserwowany składnik użyteczności jest skorelowany z alternatywami, a nie jest niezależny od alternatyw.

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• Dystrybucja krańcowa każdego ε _ni jest wartością ekstremalną , ale ich łączny rozkład umożliwia korelację między nimi.
• Prawdopodobieństwo przybiera różne formy w zależności od określonego wzorca korelacji. Zobacz uogólniona wartość ekstremalna .

H. Wielomianowy probit

Model jest taki sam jak model G, z tą różnicą, że nieobserwowane terminy są rozkładane wspólnie normalnie , co pozwala na dowolny wzorzec korelacji i heteroskedastyczności :

${\ displaystyle {\ begin {przypadków} U_ {ni} = \ beta Z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni} \\\ varepsilon _ {n} \ equiv (\ varepsilon _ {n1}, \ cdots, \ varepsilon _ {nJ}) \ sim N (0, \ Omega) \ end {przypadki}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {ni} = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni } + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj} \ right) = \ int I \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj} \ right) \ phi (\ varepsilon _ {n} | \ Omega) \; d \ varepsilon _ {n},}$

gdzie jest wspólna normalna gęstość ze średnią zerową i kowariancją . ${\ Displaystyle \ phi (\ varepsilon _ {n} | \ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Całka dla tego prawdopodobieństwa wyboru nie ma postaci zamkniętej, więc prawdopodobieństwo jest aproksymowane kwadraturą lub symulacją .

Kiedy jest macierzą tożsamości (taka, że ​​nie ma korelacji lub heteroskedastyczności ), model nazywa się niezależnym probitem. ${\ displaystyle \ Omega}$

I. Logit mieszany

Mieszane modele Logit stały się w ostatnich latach coraz bardziej popularne z kilku powodów. Po pierwsze, model oprócz . Losowość uwzględnia przypadkowe różnice w gustach ludzi i korelacje między alternatywami, które generują elastyczne wzorce zastępowania. Po drugie, postęp w symulacji sprawił, że aproksymacja modelu stała się dość łatwa. Ponadto McFadden i Train wykazali, że każdy model prawdziwego wyboru można przybliżyć, z dowolnym stopniem dokładności, za pomocą logitu mieszanego z odpowiednią specyfikacją zmiennych objaśniających i rozkładem współczynników. ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ beta}$

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• ${\ Displaystyle \ beta \ sim f (\ beta | \ theta)}$ dla dowolnego rozkładu , gdzie jest zbiorem parametrów rozkładu (np. średnia i wariancja) do oszacowania, ${\ displaystyle {\ it {f}}}$${\ displaystyle \ theta}$
• ε _ni ∼ iid wartość ekstremalna ,

Prawdopodobieństwo wyboru wynosi

${\ Displaystyle P_ {ni} = \ int _ {\ beta} L_ {ni} (\ beta) f (\ beta | \ theta) \, d \ beta,}$

gdzie

${\ Displaystyle L_ {ni} (\ beta) = {\ exp (\ beta z_ {ni}) \ ponad {\ suma _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}} }$

jest prawdopodobieństwem logit oszacowanym na z całkowitą liczbą alternatyw. ${\ displaystyle \ beta,}$${\ displaystyle J}$

Całka dla tego prawdopodobieństwa wyboru nie ma postaci zamkniętej, więc prawdopodobieństwo jest aproksymowane przez symulację.

Oszacowanie z wyborów

Modele dyskretnego wyboru są często szacowane przy użyciu oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa . Modele logitowe można oszacować za pomocą regresji logistycznej , a modele probit można oszacować za pomocą regresji probitowej . Zaproponowano metody nieparametryczne , takie jak estymator maksymalnego wyniku . Szacowanie takich modeli odbywa się zwykle za pomocą parametrycznych, półparametrycznych i nieparametrycznych metod największej wiarygodności, ale można je również przeprowadzić metodą modelowania metodą metodą najmniejszych kwadratów .

Oszacowanie z rankingów

W wielu sytuacjach obserwuje się ranking alternatyw danej osoby, a nie tylko wybraną przez nią alternatywę. Na przykład osoba, która kupiła nowy samochód, może zostać zapytana, co by kupiła, gdyby ten samochód nie był oferowany, co dostarcza informacji na temat drugiego wyboru tej osoby oprócz jej pierwszego wyboru. Lub w ankiecie respondent może zostać zapytany:

Przykład : uszereguj następujące plany taryfowe dla telefonów komórkowych od najbardziej preferowanego do najmniej preferowanego.

* 60 USD miesięcznie za nieograniczone minuty w dowolnej chwili, dwuletnia umowa z opłatą za wcześniejsze wypowiedzenie w wysokości 100 USD

* 30 USD miesięcznie za 400 minut o dowolnej porze, 3 centy za minutę po 400 minutach, roczna umowa z opłatą za wcześniejsze wypowiedzenie w wysokości 125 USD

* 35 USD miesięcznie za 500 minut o dowolnej porze, 3 centy za minutę po 500 minutach, bez umowy lub opłaty za wcześniejsze rozwiązanie

* 50 USD miesięcznie za 1000 minut o dowolnej porze, 5 centów za minutę po 1000 minutach, dwuletnia umowa z opłatą za wcześniejsze wypowiedzenie w wysokości 75 USD

Opisane powyżej modele można dostosować w celu uwzględnienia rankingów wykraczających poza pierwszy wybór. Najbardziej znanym modelem danych rankingowych jest logit rozstrzelony i jego mieszana wersja.

J. Exploded Logit

Przy tych samych założeniach, co w przypadku standardowego logitu ( model F ), prawdopodobieństwo uszeregowania alternatyw jest iloczynem standardowych logitów. Model nazywany jest „logitem rozstrzelonym”, ponieważ sytuacja wyboru, która jest zwykle reprezentowana jako jedna formuła logitowa dla wybranej alternatywy, jest rozwinięta („rozbita”), aby mieć oddzielną formułę logitową dla każdej alternatywy rankingowej. Rozłożony model logitowy jest produktem standardowych modeli logitowych, przy czym zbiór wyboru maleje w miarę uszeregowania każdej alternatywy i pozostawia zestaw dostępnych wyborów w kolejnym wyborze.

Bez utraty ogólności, alternatywy mogą zostać ponownie nazwane tak, aby reprezentowały ranking osoby, tak że alternatywa 1 jest pierwszym wyborem, 2 drugim wyborem itd. Prawdopodobieństwo wyboru, że alternatywy J zostaną uszeregowane jako 1, 2, ..., J wynosi następnie

${\ Displaystyle \ Pr ({\ tekst {ranking}} 1,2, \ ldots, J) = {\ exp (\ beta z_ {1}) \ ponad \ suma _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})} {\ exp (\ beta z_ {2}) \ over \ sum _ {j = 2} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})} \ ldots {\ exp (\ beta z_ {J-1}) \ ponad \ sum _ {j = J-1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}}$

Podobnie jak w przypadku standardowego logitu, model logitu rozstrzelonego nie zakłada żadnej korelacji między nieobserwowanymi czynnikami a alternatywami. Logit rozstrzelony można uogólnić w taki sam sposób, jak uogólnia się logit standardowy, aby uwzględnić korelacje między alternatywami i przypadkową zmiennością smaku. Model „mieszanego logitu eksplodowanego” uzyskuje się na podstawie prawdopodobieństwa rankingu, podanego powyżej, dla L _ni w mieszanym modelu logitowym ( model I ).

Model ten jest znany także jako ekonometrii stopień uporządkowane logitowej modelu i wprowadzono go w tej dziedzinie przez Beggs, Cardell i Hausmana 1981. Jednym z zastosowań jest Combes i in. artykuł wyjaśniający ranking kandydatów na profesora. W literaturze biomedycznej jest również znany jako model Placketta-Luce'a .

Zamówione modele

W ankietach respondenci są często proszeni o podanie ocen, takich jak:

Przykład : Proszę podać swoją ocenę tego, jak dobrze radzi sobie prezydent.

1: Bardzo źle

2: Źle

3: OK

4: Cóż

5: Bardzo dobrze

Lub,

Przykład : Na skali od 1 do 5, gdzie 1 oznacza całkowicie się nie zgadzam, a 5 oznacza całkowicie się zgadzam, w jakim stopniu zgadzasz się z następującym stwierdzeniem. „Rząd federalny powinien zrobić więcej, aby pomóc ludziom stojącym w obliczu wykluczenia z domów”.

Wielomianowy model wyboru dyskretnego może badać odpowiedzi na te pytania ( model G , model H , model I ). Jednak modele te wyprowadzane są z założenia, że ​​respondent uzyskuje pewną użyteczność dla każdej możliwej odpowiedzi i podaje odpowiedź, która zapewnia największą użyteczność. Bardziej naturalne może być myślenie, że respondent ma jakąś ukrytą miarę lub wskaźnik powiązany z pytaniem i odpowiedziami w odpowiedzi na to, jak wysoka jest ta miara. Zgodnie z tą koncepcją wyprowadza się uporządkowane modele logitowe i uporządkowane modele probitowe.

K. Logit zamówiony

Niech U _n reprezentuje siłę respondenta badania n „s uczuć lub opinii na temat badań. Załóżmy, że istnieją granice poziomu opinii w wyborze określonej odpowiedzi. Na przykład, na przykładzie pomocy osobom stojącym w obliczu wykluczenia, dana osoba wybiera

• 1, jeśli U _n <a
• 2, jeśli a < U _n <b
• 3, jeśli b < U _n <c
• 4, jeśli c < U _n <d
• 5, jeśli U _n > d,

dla niektórych liczb rzeczywistych a , b , c , d .

Po zdefiniowaniu logistyki prawdopodobieństwo każdej możliwej odpowiedzi wynosi: ${\ Displaystyle U_ {n} = \ beta z_ {n} + \ varepsilon \; \ varepsilon \ sim}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ pr ({\ tekst {wybór}} 1) & = \ pr (U_ {n} <a) = \ pr (\ varepsilon <a- \ beta z_ {n}) = {1 \ ponad 1+ \ exp (- (a- \ beta z_ {n}))} \\\ Pr ({\ text {choose}} 2) & = \ Pr (a <U_ {n} <b) = \ Pr (a- \ beta z_ {n} <\ varepsilon <b- \ beta z_ {n}) = {1 \ ponad 1+ \ exp (- (b- \ beta z_ {n}))} - { 1 \ ponad 1+ \ exp (- (a- \ beta z_ {n}))} \\ & \ cdots \\\ Pr ({\ text {choose}} 5) & = \ Pr (U_ {n}> d) = \ Pr (\ varepsilon> d- \ beta z_ {n}) = 1- {1 \ ponad 1+ \ exp (- (d- \ beta z_ {n}))} \ end {aligned}}}$

Parametrami modelu są współczynniki β i punkty odcięcia a - d , z których jeden należy znormalizować w celu identyfikacji. Gdy są tylko dwie możliwe odpowiedzi, logit uporządkowany jest taki sam jak logit binarny ( model A ), z jednym punktem odcięcia znormalizowanym do zera.

L. Zamówione probit

Opis modelu jest taki sam, jak modelu K , z wyjątkiem nieobserwowanych terminów, które mają rozkład normalny zamiast logistycznego .

Prawdopodobieństwa wyboru są następujące ( jest skumulowaną funkcją rozkładu standardowego rozkładu normalnego): ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Pr ({\ tekst {wybór}} 1) & = \ Phi (a- \ beta z_ {n}) \\\ Pr ({\ tekst {wybór}} 2) & = \ Phi (b- \ beta z_ {n}) - \ Phi (a- \ beta z_ {n}) \\ & \ cdots \ end {aligned}}}$

Zobacz też

• Regresja binarna
• Dynamiczny, dyskretny wybór

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• Anderson, S., A. de Palma i J.-F. Thisse (1992), Discrete Choice Theory of Product Differentiation , MIT Press,
• Ben-Akiva, M .; Lerman, S. (1985). Analiza dyskretnego wyboru: teoria i zastosowanie do popytu na podróże . MIT Press.
• Greene, William H. (2012). Analiza ekonometryczna (wydanie siódme). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. s.  770 -862. ISBN   978-0-13-600383-0 .
• Hensher, D .; Rose, J .; Greene, W. (2005). Applied Choice Analysis: A Primer . Cambridge University Press.
• Maddala, G. (1983). Zmienne ograniczone i jakościowe w ekonometrii . Cambridge University Press.
• McFadden, Daniel L. (1984). Ekonometryczna analiza jakościowych modeli odpowiedzi . Podręcznik ekonometrii, tom II. Rozdział 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Train, K. (2009) [2003]. Metody dyskretnego wyboru z symulacją . Cambridge University Press.