Odległość między dwiema równoległymi liniami - Distance between two parallel lines

Odległość pomiędzy dwoma równoległymi liniami na płaszczyźnie jest minimalna odległość pomiędzy dwoma punktami l

Formuła i dowód

Ponieważ linie są równoległe, prostopadła odległość między nimi jest stała, więc nie ma znaczenia, który punkt zostanie wybrany do pomiaru odległości. Biorąc pod uwagę równania dwóch niepionowych równoległych linii

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

odległość między dwiema liniami to odległość między dwoma punktami przecięcia tych linii z linią prostopadłą

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

Odległość tę można znaleźć, najpierw rozwiązując układy liniowe

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} y = mx + b_ {1} \ \ y = -x / m \ , \ koniec {przypadki}}}$

oraz

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} y = mx + b_ {2} \ \ y = -x / m \ , \ koniec {przypadki}}}$

aby uzyskać współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązania dla systemów liniowych to punkty

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1}, Y_ {1} \ prawo) \ = \ lewo ({\ Frac {-b_ {1} m} {m ^ {2} + 1}}, {\ Frac {B_ {1}}{m^{2}+1}}\prawo)\,,}$

oraz

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {2}, Y_ {2} \ prawo) \ = \ lewo ({\ Frac {-b_ {2} m} {m ^ {2} + 1}}, {\ Frac {b_ {2}}{m^{2}+1}}\prawo)\,.}$

Odległość między punktami wynosi

${\ Displaystyle d = {\ sqrt {\ po lewej ({\ Frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m ^ {2} + 1}} \ po prawej) ^ {2} + \ po lewej ({ \frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\prawo)^{2}}}\,,}$

co sprowadza się do

${\ Displaystyle d = {\ Frac {| b_ {2}-b_ {1} |} {\ sqrt {m ^ {2} +1}}} \,.}$

Kiedy linie są podane przez

${\ Displaystyle topór + przez + c_ {1} = 0 \,}$

${\displaystyle topór+by+c_{2}=0,\,}$

odległość między nimi można wyrazić jako

${\ Displaystyle d = {\ Frac {| c_ {2}-c_ {1} |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}$

Zobacz też

• Odległość od punktu do linii
• Pochyl linie#Odległość

Bibliografia

• Abstand In: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004, ISBN  3-411-04275-3 , s. 17-19 (niemiecki)
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra . Diesterweg, 1988, ISBN  3-425-05301-9 , s. 298 (niemiecki)

Zewnętrzne linki

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – Wann welche Formel? , s. 44-59 (niemiecki)
• AJ Hobson: „JUST THE MATHS” - JEDNOSTKA NR 8.5 - WEKTORY 5 (Równania wektorowe prostych) , s. 8-9