Dokładna różnica - Exact differential

W wielu odmianach rachunku , A różnica mówi się dokładnie i udoskonalenia , w przeciwieństwie z niedokładnego różnicy , jeżeli ma postać dQ jakiegoś różniczkowej funkcyjnej   Q .

Przegląd

Definicja

Pracujemy w trzech wymiarach, z podobnymi definicjami utrzymującymi się w dowolnej innej liczbie wymiarów. W trzech wymiarach forma czcionki

${\ Displaystyle A (x, y, z) \, dx + B (x, y, z) \, dy + C (x, y, z) \, dz}$

nazywa się formą różniczkową . Ta forma jest nazywana dokładną w dziedzinie w przestrzeni, jeśli istnieje jakaś funkcja skalarna zdefiniowana na takiej, która ${\ Displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle Q = Q (x, y, z)}$${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle dQ \ equiv \ lewo ({\ Frac {\ częściowe Q} {\ częściowe x}} \ prawej) _ {y, z} \, dx + \ lewo ({\ Frac {\ częściowe Q} {\ częściowe y }} \ right) _ {x, z} \, dy + \ left ({\ frac {\ częściowe Q} {\ częściowe z}} \ right) _ {x, y} \, dz,}$   ${\ Displaystyle dQ = A \, dx + B \, dy + C \, dz}$

w całym D. Jest to równoważne stwierdzeniu, że pole wektorowe jest konserwatywnym polem wektorowym z odpowiednim potencjałem . ${\ Displaystyle (A, B, C)}$${\ displaystyle Q}$

Uwaga: Indeksy dolne poza nawiasami wskazują, które zmienne są utrzymywane na stałym poziomie podczas różnicowania. Ze względu na definicję pochodnej cząstkowej , te indeksy nie są wymagane, ale zostały uwzględnione jako przypomnienie.

Jeden wymiar

W jednym wymiarze forma różniczkowa

${\ Displaystyle A (x) \, dx}$

jest dokładna tak długo, jak ma funkcję pierwotną (ale niekoniecznie taką, jeśli chodzi o funkcje elementarne). Jeśli ma funkcję pierwotną, niech będzie pierwotną, a to spełnia warunek dokładności. Jeśli ma nie mieć pierwotna, nie możemy napisać , a więc forma różnica jest niedokładny. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle dQ = A (x) \, dx}$

Dwa i trzy wymiary

Dzięki symetrii drugich pochodnych , mamy dla każdej „dobrze wychowanej” ( niepatologicznej ) funkcji ${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} Q} {\ częściowe x \, \ częściowe y}} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} Q} {\ częściowe r \, \ częściowe x}} }$

Stąd wynika, że w prosto połączonego obszaru R w xy -plane, różnicowy

${\ Displaystyle A (x, y) \, dx + B (x, y) \, dy}$

jest dokładną różnicą wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe A} {\ częściowe y}} \ prawej) _ {x} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe B} {\ częściowe x}} \ prawej) _ { y}}$

W przypadku trzech wymiarów różnica

${\ Displaystyle dQ = A (x, y, z) \, dx + B (x, y, z) \, dy + C (x, y, z) \, dz}$

jest dokładną różniczką w łatwo połączonym regionie R układu współrzędnych xyz , jeśli między funkcjami A , B i C istnieją relacje:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe A} {\ częściowe y}} \ prawej) _ {x, z} \! \! \! = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe B} {\ częściowe x}} \ right) _ {y, z}}$    ;    ;${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe A} {\ częściowe z}} \ prawej) _ {x, y} \! \! \! = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe C} {\ częściowe x}} \ right) _ {y, z}}$      ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe B} {\ częściowe z}} \ prawej) _ {x, y} \! \! \! = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe C} {\ częściowe y}} \ right) _ {x, z}}$

Warunki te są równoważne z następującym: Jeśli G jest wykresem tej funkcji o wartościach wektorowych, to dla wszystkich wektorów stycznych X , Y powierzchni G, to s ( X ,  Y ) = 0, przy czym s jest postacią symplektyczną .

Warunki te, które są łatwe do uogólnienia, wynikają z niezależności kolejności zróżnicowań przy obliczaniu drugiego instrumentu pochodnego. Tak więc, aby różniczkowa dQ , czyli funkcja czterech zmiennych była dokładną różniczką, należy spełnić sześć warunków.

Podsumowując, gdy różnica dQ jest dokładna:

• funkcja Q istnieje;
• ${\ Displaystyle \ int _ {i} ^ {f} dQ = Q (f) -Q (i),}$ niezależnie od podążanej ścieżki.

W termodynamice , gdy dQ jest dokładne, funkcja Q jest funkcją stanu układu. Funkcje termodynamiczne U , S , H , A i G są funkcjami stanu . Ogólnie rzecz biorąc, ani praca, ani ciepło nie są funkcją stanu. Różniczka dokładna jest czasami nazywana „różniczką całkowitą” lub „różniczką pełną” lub w badaniach geometrii różniczkowej nazywana jest dokładną formą .

Częściowe relacje różniczkowe

Jeśli trzy zmienne , a związane są warunkiem jakiegoś różniczkowalnej funkcji , a następnie następujące łączne różnice istnieją ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle F (x, y, z) = {\ tekst {stała}}}$${\ Displaystyle F (x, y, z)}$

${\ Displaystyle dx = {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ prawej)} _ {Z} \, dy + {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe z }} \ right)} _ {y} \, dz}$

${\ Displaystyle dz = {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej)} _ {y} \, dx + {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe y }} \ right)} _ {x} \, dy.}$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego i zmieniając układ, otrzymujemy

${\ Displaystyle dz = {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej)} _ {y} \ lewo [{\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe y) }} \ right)} _ {z} dy + {\ left ({\ frac {\ częściowe x} {\ częściowe z}} \ right)} _ {y} dz \ right] + {\ left ({\ frac { \ częściowe z} {\ częściowe y}} \ right)} _ {x} dy,}$

${\ Displaystyle dz = \ lewo [{\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawo)} _ {y} {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe y }} \ right)} _ {z} + {\ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ right)} _ {x} \ right] dy + {\ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ częściowe x} {\ częściowe z}} \ right)} _ {y} dz,}$

${\ Displaystyle \ lewo [1 - {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawo)} _ {y} {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe z }} \ right)} _ {y} \ right] dz = \ left [{\ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ right)} _ {z} + {\ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ right)} _ {x} \ right] dy.}$

Ponieważ i są zmiennymi niezależnymi i można je wybierać bez ograniczeń. Aby to ostatnie równanie ogólnie obowiązywało, wyrazy w nawiasach muszą być równe zero. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle dy}$${\ displaystyle dz}$

Relacja wzajemności

Ustawienie pierwszego terminu w nawiasach równej zero daje

${\ Displaystyle {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej)} _ {y} {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe z}} \ prawej) } _ {y} = 1.}$

Nieznaczne przestawienie daje relację wzajemności,

${\ Displaystyle {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej)} _ {y} = {\ Frac {1} {{\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} { \ częściowe z}} \ right)} _ {y}}}.}$

Istnieją jeszcze dwie permutacje powyższego wyprowadzenia, które dają w sumie trzy relacje wzajemności między , a . Relacje wzajemności pokazują, że odwrotność pochodnej cząstkowej jest równa jej odwrotności. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

Relacja cykliczna

Relacja cykliczna jest również znana jako reguła cykliczności lub reguła potrójnego produktu . Ustawienie drugiego terminu w nawiasach równej zero daje

${\ Displaystyle {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej)} _ {y} {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ prawej) } _ {z} = - {\ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ right)} _ {x}.}$

Użycie relacji wzajemności dla tego równania i zmiany kolejności daje cykliczną zależność ( reguła potrójnego iloczynu ), ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ częściowe z} {\ częściowe y}}}$

${\ Displaystyle {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ prawej)} _ {Z} {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe y} {\ częściowe z}} \ prawej) } _ {x} {\ left ({\ frac {\ części z} {\ częściowe x}} \ right)} _ {y} = - 1.}$

Jeśli zamiast tego stosuje się relację wzajemności dla z późniejszym przegrupowaniem, otrzymuje się standardowy formularz niejawnego różniczkowania : ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ częściowe x} {\ częściowe y}}}$

${\ Displaystyle {\ lewo ({\ Frac {\ częściowe y} {\ częściowe x}} \ prawej)} _ {Z} = - {\ Frac {{\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe) x}} \ right)} _ {y}} {{\ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ right)} _ {x}}}.}$

Kilka przydatnych równań wyprowadzonych z dokładnych różniczek w dwóch wymiarach

(Zobacz także równania termodynamiczne Bridgmana dotyczące stosowania różniczek dokładnych w teorii równań termodynamicznych )

Załóżmy, że mamy pięć funkcji stanu i . Załóżmy, że przestrzeń stanów jest dwuwymiarowa, a każda z pięciu wielkości jest dokładnymi różniczkami. Następnie regułą łańcucha${\ Displaystyle z, x, y, u}$${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle dz = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej) _ {y} dx + \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ prawej) _ {x} dy = \ left ({\ frac {\ części z} {\ part u}} \ right) _ {v} du + \ left ({\ frac {\ części z} {\ części v}} \ right ) _ {u} dv}$

( 1 )

ale także według zasady łańcucha:

${\ Displaystyle dx = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe u}} \ prawej) _ {v} du + \ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe v}} \ prawej) _ {u} dv}$

( 2 )

i

${\ Displaystyle dy = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe y} {\ częściowe u}} \ prawej) _ {v} du + \ lewo ({\ Frac {\ częściowe y} {\ częściowe v}} \ prawej) _ {u} dv}$

( 3 )

po to aby:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dz = i \ lewo [\ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawo) _ {y} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe x}) {\ częściowe u}} \ right) _ {v} + \ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ right) _ {x} \ left ({\ frac {\ częściowe y} { \ częściowe u}} \ right) _ {v} \ right] du \\ + & \ left [\ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ right) _ {y} \ left ( {\ frac {\ częściowy x} {\ częściowy v}} \ right) _ {u} + \ left ({\ frac {\ częściowy z} {\ częściowy y}} \ right) _ {x} \ left ({ \ frac {\ części y} {\ części v}} \ right) _ {u} \ right] dv \ end {aligned}}}$

( 4 )

co oznacza, że:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe u}} \ prawej) _ {v} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej) _ { y} \ left ({\ frac {\ części x} {\ części u}} \ right) _ {v} + \ left ({\ frac {\ części z} {\ części y}} \ right) _ {x } \ left ({\ frac {\ part y} {\ Part u}} \ right) _ {v}}$

( 5 )

Pozwolenie daje: ${\ displaystyle v = y}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe u}} \ prawej) _ {y} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej) _ { y} \ left ({\ frac {\ Partial x} {\ Part u}} \ right) _ {y}}$

( 6 )

Pozwolenie daje: ${\ displaystyle u = y}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ prawej) _ {v} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ prawej) _ { x} + \ left ({\ frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ right) _ {y} \ left ({\ frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ right) _ {v }}$

( 7 )

Pozwalając , otrzymujemy: ${\ displaystyle u = y}$${\ displaystyle v = z}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe y}} \ prawej) _ {x} = - \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej) _ {y} \ left ({\ frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ right) _ {z}}$

( 8 )

using ( daje regułę potrójnego iloczynu : ${\ Displaystyle \ częściowe a / \ częściowe b) _ {c} = 1 / (\ częściowe b / \ częściowe a) _ {c}}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe z} {\ częściowe x}} \ prawej) _ {y} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ prawej) _ {z } \ left ({\ frac {\ częściowe y} {\ częściowe z}} \ right) _ {x} = - 1}$

( 9 )

Zobacz też

• Zamknięte i dokładne formy różnicowe do leczenia wyższego poziomu
• Różniczka (matematyka)
• Niedokładna różnica
• Współczynnik całkujący do rozwiązywania niedokładnych równań różniczkowych poprzez nadanie im dokładności
• Dokładne równanie różniczkowe

Bibliografia

• Perrot, P. (1998). Od A do Z termodynamiki. Nowy Jork: Oxford University Press.
• Dennis G. Zill (14 maja 2008). Pierwszy kurs równań różniczkowych . Cengage Learning. ISBN   0-495-10824-3 .

Zewnętrzne linki

• Niedokładna różniczka - z Wolfram MathWorld
• Dokładne i niedokładne różniczki - University of Arizona
• Dokładne i niedokładne różniczki - University of Texas
• Dokładna różnica - z Wolfram MathWorld