Funkcja niejawna - Implicit function

W matematyce An ukryte równanie jest związek o postaci R ( x ₁ , ..., x _n ) = 0 , gdzie R jest funkcją wielu zmiennych (często wielomianowej ). Na przykład niejawne równanie okręgu jednostkowego to x ² + y ² − 1 = 0 .

Funkcja niejawna to funkcja zdefiniowana przez równanie niejawne, które wiąże jedną ze zmiennych, uważaną za wartość funkcji, z pozostałymi uważanymi za argumenty . Na przykład, równanie x ² + y ² - 1 = 0 z okręgu jednostkowym Ustala Y jako pośrednie funkcji X jeśli -1 ≤ x ≤ 1 i jeden ogranicza y do wartości ujemna.

Funkcja uwikłana zapewnia warunki, w których niektóre rodzaje stosunków definiują niejawnego funkcję, a mianowicie stosunki określone jako funkcję wskaźnika w zestawie zera z pewnym ciągły różniczkowej wielowymiarowej funkcji.

Przykłady

Funkcje odwrotne

Popularnym typem funkcji niejawnej jest funkcja odwrotna . Nie wszystkie funkcje mają unikalną funkcję odwrotną. Jeśli g jest funkcją od x, która ma jednoznaczną odwrotność, to odwrotna funkcja g , zwana g- ¹ , jest jednoznaczną funkcją dającą rozwiązanie równania

${\ Displaystyle y = g (x)}$

dla x pod względem y . To rozwiązanie można następnie zapisać jako

${\ Displaystyle x = g ^ {-1} (y) \,.}$

Zdefiniowanie g ^-1 jako odwrotności g jest definicją niejawną. W przypadku niektórych funkcji g , g ⁻¹ ( y ) można zapisać jawnie jako wyrażenie w formie zamkniętej — na przykład, jeśli g ( x ) = 2 x − 1 , wtedy g ⁻¹ ( y ) = 1/2( T + 1 ) . Jednak często nie jest to możliwe lub tylko przez wprowadzenie nowej notacji (jak w poniższym przykładzie dziennika produktu ).

Intuicyjnie funkcja odwrotna jest otrzymywana z g przez zamianę ról zmiennej zależnej i niezależnej.

Przykład: log produkt niejawna funkcja daje rozwiązanie x równania Y - xe ^x = 0 .

Funkcje algebraiczne

Funkcja algebraiczna to funkcja spełniająca równanie wielomianowe, którego współczynniki same w sobie są wielomianami. Na przykład funkcja algebraiczna w jednej zmiennej x daje rozwiązanie dla y równania

${\ Displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0 \ ,,}$

gdzie współczynniki a _i ( x ) są funkcjami wielomianowymi x . Ta funkcja algebraiczna może być zapisana jako prawa strona równania rozwiązania y = f ( x ) . Napisane w ten sposób, f jest wielowartościową funkcją niejawną.

Funkcje algebraiczne odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej i geometrii algebraicznej . Prosty przykład funkcji algebraicznej podaje lewa strona równania okręgu jednostkowego:

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} -1 = 0 \,.}$

Rozwiązanie dla y daje jednoznaczne rozwiązanie:

${\ Displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \,.}$

Ale nawet bez określenia tego jawnego rozwiązania można odnieść się do niejawnego rozwiązania równania okręgu jednostkowego jako y = f ( x ) , gdzie f jest wielowartościową funkcją niejawną.

Chociaż można znaleźć wyraźne rozwiązania dla równań kwadratowych , sześciennych i quartic in y , to na ogół nie dotyczy to równań kwintycznych i równań wyższego stopnia, takich jak

${\ Displaystyle y ^ {5} + 2 lata ^ {4}-7 lat ^ {3} + 3 lata ^ {2} -6y-x = 0 \,.}$

Niemniej jednak nadal można odnieść się do niejawnego rozwiązania y = f ( x ) obejmującego wielowartościową niejawną funkcję f .

Zastrzeżenia

Nie każde równanie R ( x , y ) = 0 implikuje wykres funkcji jednowartościowej, przy czym równanie okręgu jest jednym z wybitnych przykładów. Innym przykładem jest niejawna funkcja podana przez x - C ( y ) = 0 , gdzie C jest wielomianem sześciennym mającym na wykresie „garb”. Tak więc, aby funkcja niejawna była funkcją prawdziwą (jednowartościową), może być konieczne użycie tylko części wykresu. Funkcja niejawna może być czasami z powodzeniem zdefiniowana jako funkcja prawdziwa dopiero po „powiększeniu” pewnej części osi x i „odcięciu” niektórych niechcianych gałęzi funkcji. Następnie można napisać równanie wyrażające y jako niejawną funkcję innych zmiennych.

Równanie definiujące R ( x , y )=0 może mieć również inne patologie. Na przykład równanie x = 0 nie implikuje funkcji f ( x ) dającej w ogóle rozwiązania dla y ; jest to linia pionowa. Aby uniknąć takiego problemu, często nakłada się różne ograniczenia na dopuszczalne rodzaje równań lub na dziedzinę . Funkcja uwikłana zapewnia jednolity sposób obsługi tego rodzaju patologii.

Niejawne zróżnicowanie

W rachunku różniczkowym metoda zwana różnicowaniem niejawnym wykorzystuje regułę łańcucha do różnicowania funkcji zdefiniowanych niejawnie.

Aby zróżnicować niejawną funkcję y ( x ) , zdefiniowaną równaniem R ( x , y )=0 , nie jest ogólnie możliwe rozwiązanie jej jawnie dla y, a następnie zróżnicowanie. Zamiast tego można całkowicie zróżnicować R ( x , y ) = 0 względem x i y , a następnie rozwiązać otrzymane równanie liniowe dlady/dxaby jawnie uzyskać pochodną w kategoriach x i y . Nawet jeśli możliwe jest jednoznaczne rozwiązanie pierwotnego równania, to wzór wynikający z całkowitego zróżnicowania jest na ogół znacznie prostszy i łatwiejszy w użyciu.

Przykłady

Przykład 1

Rozważać

${\ Displaystyle y + x + 5 = 0 \,.}$

To równanie jest łatwe do rozwiązania dla y , dając

${\displaystyle y=-x-5\,,}$

gdzie prawa strona jest jawną formą funkcji y ( x ) . Zróżnicowanie daje wtedydy/dx= -1 .

Alternatywnie można całkowicie odróżnić pierwotne równanie:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {dy} {dx}} + {\ Frac {dx} {dx}} + {\ Frac {d} {dx}} (5) i = 0 \;; \\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{wyrównany}}}$

Rozwiązywanie dla dy/dx daje

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}$

taka sama odpowiedź, jak uzyskana wcześniej.

Przykład 2

Przykładem funkcji niejawnej, dla której różniczkowanie niejawne jest łatwiejsze niż użycie różniczkowania jawnego, jest funkcja y ( x ) zdefiniowana równaniem

${\ Displaystyle x ^ {4} + 2 ^ {2} = 8 \,.}$

Aby wyraźnie rozróżnić to ze względu na x , należy najpierw uzyskać

${\ Displaystyle y (x) = \ pm {\ sqrt {\ Frac {8-x ^ {4}} {2}}} \ ,,}$

a następnie rozróżnić tę funkcję. Tworzy to dwie pochodne: jedną dla y ≥ 0 i drugą dla y < 0 .

Znacznie łatwiej jest domyślnie odróżnić pierwotne równanie:

${\ Displaystyle 4x ^ {3} + 4 lata {\ Frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

dający

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}$

Przykład 3

Często jawne rozwiązanie dla y jest trudne lub niemożliwe , a utajone różniczkowanie jest jedyną możliwą metodą różniczkowania. Przykładem jest równanie

${\ Displaystyle y ^ {5} -y = x \,.}$

Nie da się algebraicznie wyrazić y jawnie jako funkcji x , a zatem nie można znaleźćdy/dxprzez wyraźne zróżnicowanie. Stosując metodę niejawną,dy/dx można uzyskać przez zróżnicowanie równania, aby uzyskać

${\ Displaystyle 5y ^ {4} {\ Frac {dy} {dx}} - {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {dx} {dx}} \ ,,}$

gdzie dx/dx= 1 . Wycofaniedy/dx pokazuje, że

${\ Displaystyle \ lewo (5 lat ^ {4}-1 \ po prawej) {\ Frac {dy} {dx}} = 1 \ ,,}$

co daje wynik

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {1} {5y ^ {4}-1}} \ ,,}$

który jest zdefiniowany dla

${\ Displaystyle r \ neq \ pm {\ Frac {1} {\ sqrt [{4}] {5}}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad r \ neq \ pm {\ Frac {i} \sqrt[{4}]{5}}}\,.}$

Ogólny wzór na pochodną funkcji uwikłanej

Jeśli R ( x , y ) = 0 , pochodna niejawnej funkcji y ( x ) jest dana przez

${\ Displaystyle {\ Frac {dy}{dx}} = - {\ Frac {\, {\ Frac {\ częściowy R}{\ częściowy x}} \,}{\ Frac {\ częściowy R}{\ częściowy r }}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}$

w którym R _x i R _Y oznaczają częściowe pochodne o R w stosunku do X i Y .

Powyższy wzór pochodzi z zastosowania uogólnionej reguły łańcucha do uzyskania całkowitej pochodnej — względem x — obu stron R ( x , y ) = 0 :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy R} {\ częściowy x}} {\ Frac {dx} {dx}} + {\ Frac {\ częściowy R} {\ częściowy r}} {\ Frac {dy} {dx }}=0\,,}$

W związku z tym

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy R} {\ częściowy x}} + {\ Frac {\ częściowy R} {\ częściowy r}} {\ Frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

które po rozwiązaniu dla dy/dx, daje powyższe wyrażenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Okrąg jednostkowy można zdefiniować niejawnie jako zbiór punktów ( x , y ) spełniających x ² + y ² = 1 . Wokół punktu A , y można wyrazić jako niejawną funkcję y ( x ) . (W przeciwieństwie do wielu przypadków, tutaj ta funkcja może być wyrażona jako g ₁ ( x ) = √ 1 − x ² .) Żadna taka funkcja nie istnieje wokół punktu B , gdzie przestrzeń styczna jest pionowa.

Niech R ( x , y ) będzie różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych, a ( a , b ) będzie parą liczb rzeczywistych taką, że R ( a , b ) = 0 . Gdyby∂ R/∂ y≠ 0 , a R ( x , y ) = 0 wyznacza ukryte funkcji, która jest różniczkowalną w jakimś dostatecznie małej sąsiedztwie z ( a , b ) ; innymi słowy, istnieje funkcja różniczkowalna f, która jest zdefiniowana i różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie a , taka, że R ( x , f ( x )) = 0 dla x w tym otoczeniu.

Warunek ∂ R/∂ y≠ 0 oznacza, że ( , b ) jest stałym punktem na utajonego krzywej domniemanego równaniem R ( x , y ) = 0 , gdzie styczna nie jest pionowa.

W mniej technicznym języku istnieją ukryte funkcje i można je rozróżnić, jeśli krzywa ma styczną niepionową.

W geometrii algebraicznej

Rozważ relację postaci R ( x ₁ , …, x _n ) = 0 , gdzie R jest wielomianem wielu zmiennych. Zbiór wartości zmiennych, które spełniają tę relację, nazywa się niejawną krzywą, jeśli n = 2 i niejawną powierzchnią, jeśli n = 3 . Równania niejawne są podstawą geometrii algebraicznej , której podstawowym przedmiotem badań są jednoczesne rozwiązania kilku równań niejawnych, których lewe strony są wielomianami. Te zbiory jednoczesnych rozwiązań nazywane są afinicznymi zbiorami algebraicznymi .

W równaniach różniczkowych

Rozwiązania równań różniczkowych na ogół pojawiają się jako wyrażone przez funkcję uwikłaną.

Zastosowania w ekonomii

Krańcowa stopa substytucji

W ekonomii , gdy zbiór poziomów R ( x , y ) = 0 jest krzywą obojętności dla ilości x i y zużytych dwóch dóbr , wartość bezwzględna pochodnej niejawnejdy/dxinterpretuje się jako krańcową stopę substytucji dwóch dóbr: o ile więcej y trzeba otrzymać, aby być obojętnym na utratę jednej jednostki  x .

Krańcowa stopa substytucji technicznej

Podobnie, czasami ustawiony poziom R ( l , K ) jest izokwanta pokazano różne kombinacje ilość użytej L pracy i K z kapitału fizycznego , z których każdy będzie prowadzić do otrzymania tej samej ilości danej produkcji niektórych dobra. W tym przypadku wartość bezwzględna pochodnej niejawnejdK/dLjest interpretowana jako krańcowa stopa technicznej substytucji między dwoma czynnikami produkcji: o ile więcej kapitału firma musi użyć, aby wyprodukować taką samą ilość produkcji przy jednej jednostce pracy mniej.

Optymalizacja

Często w teorii ekonomii niektóre funkcje, takie jak funkcja użyteczności lub funkcja zysku, mają być maksymalizowane w odniesieniu do wektora wyboru x, nawet jeśli funkcja celu nie została ograniczona do żadnej określonej postaci funkcjonalnej. Do funkcja uwikłana gwarancje, że warunki pierwszego rzędu z optymalizacją zdefiniować niejawny funkcję dla każdego elementu optymalnego wektora x * o wybór wektora x . Gdy zysk jest maksymalizowany, zwykle wynikowymi funkcjami ukrytymi są funkcja popytu na pracę i funkcje podaży różnych dóbr. Gdy użyteczność jest maksymalizowana, zwykle wynikowymi funkcjami ukrytymi są funkcja podaży pracy i funkcje popytu na różne dobra.

Ponadto wpływ parametrów problemu na x * — pochodne cząstkowe funkcji uwikłanej — można wyrazić jako pochodne całkowite układu warunków pierwszego rzędu znalezionych przy użyciu różniczkowania całkowitego .

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

• Binmore, KG (1983). „Funkcje niejawne” . Rachunek . Nowy Jork: Cambridge University Press. s. 198-211. Numer ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Zasady analizy matematycznej . Boston: McGraw-Hill . s.  223–228 . Numer ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). „Funkcje niejawne i ich pochodne” . Matematyka dla ekonomistów . Nowy Jork: WW Norton. s. 334-371. Numer ISBN 0-393-95733-0.

Linki zewnętrzne

• „Ukryte zróżnicowanie, co się tutaj dzieje?” . 3Niebieski1Brązowy . Esencja rachunku różniczkowego. 3 maja 2017 – przez YouTube .