Fermata i zasady zmienności energii w teorii pola - Fermat's and energy variation principles in field theory

W ogólnej teorii względności zakłada się, że światło rozchodzi się w próżni wzdłuż geodezyjnej zerowej w rozmaitości pseudo-Riemanna . Oprócz zasady geodezyjnej w klasycznej teorii pola istnieje zasada Fermata dla stacjonarnych pól grawitacyjnych .

Zasada Fermata

W przypadku konformalnie stacjonarnej czasoprzestrzeni o współrzędnych metryka Fermata przyjmuje postać ${\ Displaystyle (t, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}$

${\ Displaystyle g = e ^ {2f (t, x)} [(dt + \ phi _ {\ alfa} (x) dx ^ {\ alfa}) ^ {2} - {\ kapelusz {g}} _ {\ alfa \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }]}$,

gdzie współczynnik konforemny zależy od współrzędnych czasowych i przestrzennych i nie wpływa na geodezyjne światłopodobne poza ich parametryzacją. ${\displaystyle f(t,x)}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle x ^ {\ alfa}}$

Zasada Fermata dla rozmaitości pseudo-Riemanna mówi, że droga promienia świetlnego między punktami i odpowiada działaniu stacjonarnemu . ${\ Displaystyle x_ {a} = (x_ {a} ^ {1}, x_ {a} ^ {2}, x_ {a} ^ {3})}$${\ Displaystyle x_ {b} = (x_ {b} ^ {1}, x_ {b} ^ {2}, x_ {b} ^ {3})}$

${\ Displaystyle S = \ int _ {\ mu _ {b}} ^ {\ mu _ {a}} \ lewo ({\ sqrt {{\ kapelusz {g}} _ {\ alfa \ beta} {\ Frac { dx^{\alpha }}{d\mu }}{\frac {dx^{\beta }}{d\mu }}}}+\phi _{\alpha }(x){\frac {dx^{ \alfa }}{d\mu }}\prawo)d\mu}$,

gdzie jest dowolnym parametrem z przedziału i zmiennym wzdłuż krzywej ze stałymi punktami końcowymi i . ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle [\ mu _ {a}, \ mu _ {b}]}$${\ Displaystyle x_ {a} = x (\ mu _ {a})}$${\ Displaystyle x_ {b} = x (\ mu _ {b})}$

Zasada całki stacjonarnej energii

Zgodnie z zasadą całki stacjonarnej energii dla ruchu cząstki podobnej do światła, metryka pseudo-Riemanna ze współczynnikami jest zdefiniowana przez przekształcenie ${\ Displaystyle {\ tylda {g}} _ {ij}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {g}} _ {00} = \ rho ^ {2} {g} _ {00}, \, \, \, \, {\ tylda {g}} _ {0 k} = \ rho {g}_{0k},\,\,\,\,{\tylda {g}}_{kq}={g}_{kq}.}$

Z czasem współrzędnych i współrzędne przestrzeni indeksy k, q = 1,2,3 listwa elementów opisana w formie ${\displaystyle x^{0}}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ rho ^ {2} g_ {00} (dx ^ {0}) ^ {2} +2 \ rho g_ {0 k} dx ^ {0} dx ^ {k} + g_ {kq}dx^{k}dx^{q},}$

gdzie jest pewną wielkością, którą przyjmuje się jako 1. Rozwiązanie równania światłopodobnego dla warunków pod warunkiem daje dwa rozwiązania ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle ds = 0}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle g_ {00} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {-g_ {0 k} v ^ {k} \ pm {\ sqrt {(g_ {0 k} g_ {0q} -g_ {00} g_ {kq}) v ^ {k} z^{q}}}}{g_{00}z^{0}}},}$

gdzie są elementy czterech prędkości . Nawet jeśli jednym z rozwiązań, zgodnie z definicją, jest . ${\ Displaystyle v ^ {i} = dx ^ {i} / d \ mu}$${\ Displaystyle \ rho =1}$

Z i nawet jeśli przez 1 k energia przybiera formę ${\ Displaystyle g_ {00} = 0}$${\ Displaystyle g_ {0 k} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ rho = - {\ Frac {g_ {kq} v ^ {k} v ^ {q}} {2 v_ {0} v ^ {0}}}.}$

W obu przypadkach dla cząstki swobodnie poruszającej się Lagrange'em jest

${\displaystyle L=-\rho.}$

Jego pochodne cząstkowe dają pędy kanoniczne

${\ Displaystyle p_ {\ lambda} = {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy v ^ {\ lambda}}} = {\ Frac {v_ {\ lambda}} {v ^ {0} v_{0}} }}$

i siły

${\ Displaystyle F_ {\ Lambda} = {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy x ^ {\ Lambda}}} = {\ Frac {1} {2 V ^ {0} V_ {0}}} {\ Frac {\częściowa g_{ij}}{\częściowa x^{\lambda }}}v^{i}v^{j}.}$

Momenta spełnia warunki energetyczne dla systemu zamkniętego

${\ Displaystyle \ rho = v ^ {\ lambda} p_ {\ lambda}-L}$

co oznacza, że jest to energia układu, który łączy cząsteczkę podobną do światła i pole grawitacyjne. ${\ Displaystyle \ rho}$

Do działania stosowana jest standardowa procedura wariacyjna według zasady Hamiltona

${\ Displaystyle S = \ int _ {\ mu _ {b}} ^ {\ mu _ {a}} Ld \ mu = - \ int _ {\ mu _ {b}} ^ {\ mu _ {a}} \rho d\mu ,}$

która jest integralną energią. Stacjonarne działanie jest uwarunkowane zerowymi pochodnymi wariacyjnymi δS / δx ^λ i prowadzi do równań Eulera-Lagrange'a

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {d \ mu}} {\ Frac {\ częściowy \ rho} {\ częściowy v ^ {\ lambda}}} - {\ Frac {\ częściowy \ rho} {\ częściowy x ^ {\lambda}}}=0,}$

który jest przepisany w formie

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {d \ mu}} p_ {\ lambda}-F_ {\ lambda} = 0.}$

Po podstawieniu kanonicznego pędu i sił dają równania ruchu światłopodobnej cząstki w wolnej przestrzeni

${\ Displaystyle {\ Frac {dv ^ {0}} {d \ mu}} + {\ Frac {v ^ {0}} {2 V_ {0}}} {\ Frac {\ częściowy g_ {ij}} {\ częściowe x^{0}}}v^{i}v^{j}=0}$

oraz

${\ Displaystyle (g_ {k \ lambda} v_ {0}-g_ {0k} v_ {\ lambda}) {\ frac {dv ^ {k}} {d \ mu}} + \ lewo [v_ {0}\ Gamma _{0ij}-v_{\lambda }\Gamma _{\lambda ij}\right]v^{i}v^{j}=0,}$

gdzie są symbole Christoffel pierwszego rodzaju i indeksy przyjmują wartości . ${\ Displaystyle \ Gamma _ {kij}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle 1,2,3}$

Czasoprzestrzeń statyczna

Dla izotropowych ścieżek transformacja metryczne jest równoznaczne z wymianą parametru na , do którego czterech prędkości odpowiada. Krzywa ruchu światłopodobnej cząstki w czterowymiarowej czasoprzestrzeni oraz wartość energii pozostają niezmienne w ramach tej reparametryzacji. Dla czasoprzestrzeni statycznej pierwsze równanie ruchu z odpowiednim parametrem daje . Pęd i siły kanoniczne przybierają formę ${\ Displaystyle {\ overline {g}} _ {ij} = g_ {ij} / {g_ {00}}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle d {\ overline {\ mu}} = d \ mu / {\ sqrt {g_ {00}}}}$${\ Displaystyle {\ overline {v}} ^ {i} = dx ^ {i} / d {\ overline {\ mu}}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle {\overline {\mu}}}$${\displaystyle {\overline {v}}^{0}=1}$

${\ Displaystyle {\ overline {p}} _ {\ lambda } = {\ overline {v}} _ {\ lambda}; \ qquad {\ overline {F}} _ {\ lambda} = {\ Frac {1} {2}}{\frac {\częściowy {\overline {g}}_{ij}}{\częściowy x^{\lambda }}}{\overline {v}}^{i}{\overline {v} }^{j}.}$

Podstawienie ich w równaniach Eulera-Lagrange'a daje

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {d \ mu}} \ lewo ({\ overline {g}} _ {\ lambda k} {\ overline {v}} ^ {k} \ po prawej) = {\ Frac { 1}{2}}{\frac {\częściowy {\overline {g}}_{ij}}{\częściowy x^{\lambda }}}{\overline {v}}^{i}{\overline { v}}^{j}}$.

Po zróżnicowaniu po lewej stronie i pomnożeniu przez to wyrażenie, po zsumowaniu po powtórzonym indeksie , równania geodezyjne stają się zerowe ${\ Displaystyle {\ overline {g}} ^ {l \ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x ^ {l}} {d {\ overline {\ mu}} ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} {\ Frac {dx ^{i}}{d{\overline {\mu }}}}{\frac {dx^{j}}{d{\overline {\mu }}}}=0,}$

gdzie są symbole drugiego rodzaju Christoffel w odniesieniu do tensora metrycznego . ${\ Displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {l}}$ ${\ Displaystyle {\ Overline {g}} _ {ij}}$

Tak więc w przypadku czasoprzestrzeni statycznej z zasadą geodezyjną i metodą wariacyjną energii oraz zasadą Fermata dają to samo rozwiązanie dla propagacji światła. ${\ Displaystyle {\ Overline {g}} _ {00} = 1}$

Uogólniona zasada Fermata

W uogólnionej zasadzie Fermata czas jest używany jako funkcjonał i razem jako zmienna. Zastosowano zasadę minimum Pontryagina teorii kontroli optymalnej i uzyskano efektywny hamiltonian dla ruchu cząstki podobnej do światła w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Pokazano, że otrzymane krzywe są geodezją zerową.

Całka energii stacjonarnej dla cząstki podobnej do światła w polu grawitacyjnym oraz uogólnione zasady Fermata dają prędkości identyczne. Wirtualne przemieszczenia współrzędnych zachowują tor cząstki światłopodobnej jako zerowy w czasoprzestrzeni pseudo-Riemanna, tj. nie prowadzą do naruszenia niezmienności Lorentza w lokalności i odpowiadają wariacyjnym zasadom mechaniki. Równoważność rozwiązań wytworzonych przez uogólnioną zasadę Fermata do geodezji oznacza, że ​​zastosowanie drugiej również prowadzi do geodezji. Zasada całkowania energii stacjonarnej daje układ równań, który ma o jedno równanie więcej. Pozwala to jednoznacznie określić pędy kanoniczne cząstki i działające na nią siły w danym układzie odniesienia .

Zobacz też

• Zasada Fermata
• Metody wariacyjne w ogólnej teorii względności

Bibliografia

Dalsza lektura

• Bielejew, WB (2011). „Zastosowanie mechaniki Lagrange'a do analizy ruchu cząstek światłopodobnych w przestrzeni pseudo-Riemanna”. arXiv : 0911.0614 . Kod bib : 2009arXiv0911.0614B . Cytowanie dziennika wymaga |journal=( pomoc )