Numer figury - Figurate number

Termin liczba figuratywna jest używany przez różnych autorów dla członków różnych zestawów liczb, uogólniając od liczb trójkątnych do różnych kształtów (liczby wielokątne) i różnych wymiarów (liczby wielościenne). Termin może oznaczać

liczba wielokątna
liczba reprezentowana jako dyskretny $r-$ wymiarowy regularny wzór geometryczny $r-$ wymiarowych kulek, taki jak liczba wielokątna (dla $r = 2$ ) lub liczba wielościenna (dla $r = 3$ ).
członek podzbioru powyższych zestawów zawierających tylko liczby trójkątne, liczby piramidalne i ich odpowiedniki w innych wymiarach.

Terminologia

Niektóre rodzaje liczb figuralnych omawiano w XVI i XVII wieku pod nazwą „numer figuralny”.

W pracach historycznych dotyczących matematyki greckiej preferowanym terminem była liczba cyfrowa .

W użytku Wracając do Jakob Bernoulli „s Ars Conjectandi termin liczba figuracyjny służy do Liczba trójkątna składa się z kolejnych liczb całkowitych , liczby czworościenne składa się z kolejnych liczb trójkątnych, itd. Te okazują się być dwumianowy współczynniki . W tym przypadku liczby kwadratowe (4, 9, 16, 25, ...) nie będą uważane za liczby figuratywne, gdy są postrzegane jako ułożone w kwadracie.

W wielu innych źródłach termin liczba figuratywna jest synonimem liczb wielokątnych , albo zwykłych, albo zarówno tych, jak i wyśrodkowanych liczb wielokątnych .

Historia

Mówi się, że matematyczne badanie liczb figuratywnych pochodzi od Pitagorasa , prawdopodobnie opartego na prekursorach babilońskich lub egipskich. Generowanie dowolnej klasy liczb figuratywnych, które badali Pitagorejczycy za pomocą gnomonów, również przypisuje się Pitagorasowi. Niestety, nie ma wiarygodnego źródła tych twierdzeń, ponieważ wszystkie zachowane pisma o pitagorejczykach pochodzą z wieków późniejszych. Wydaje się być pewnym, że czwarta trójkątna liczba dziesięciu obiektów, zwana po grecku tetraktys , była centralną częścią religii pitagorejskiej , wraz z kilkoma innymi postaciami zwanymi również tetraktysami. Liczby figuralne dotyczyły geometrii pitagorejskiej.

Współczesne badania liczb figuratowych sięgają czasów Pierre'a de Fermata , a konkretnie twierdzenia Fermata o liczbach wielokątnych . Później stał się ważnym tematem dla Eulera , który wśród wielu innych odkryć dotyczących liczb figuratywnych podał jednoznaczny wzór na wszystkie liczby trójkątne, które są jednocześnie kwadratami idealnymi .

Liczby figuralne odegrały znaczącą rolę we współczesnej matematyce rekreacyjnej. W matematyce badawczych, numery figuracyjny są badane w drodze wielomianów EHRHART , wielomiany , które zliczają liczbę punktów całkowitą w wielokąta lub wielościanu, gdy jest on rozwijany przez danego czynnika.

Liczby trójkątne i ich odpowiedniki w wyższych wymiarach

Te trójkątne numery dla $n = 1, 2, 3, ...$ są wynik zestawieniu liczby liniowych (liniowy gnomons) dla $n = 1, 2, 3, ...$ :

Są to współczynniki dwumianowe . Tak jest w przypadku $r$ $= 2$ faktu, że $r-$ ta przekątna trójkąta Pascala dla $r$ $\geq 0$ składa się z liczb figuratywnych dla $r-$ wymiarowych analogów trójkątów ( $r-$ wymiarowe prostoty ). $\textstyle {\binom {n+1}{2}}$

Uproszczone liczby politopowe dla $r = 1, 2, 3, 4, ...$ to:

${\ Displaystyle P_ {1} (n) = {\ Frac {n} {1}} = {\ binom {n + 0} {1}} = {\ binom {n} {1}}}$ (liczby liniowe),
${\ Displaystyle P_ {2} (n) = {\ Frac {n (n + 1)} {2}} = {\ Binom {n + 1} {2}}}$ ( cyfry trójkątne ),
${\ Displaystyle P_ {3} (n) = {\ Frac {n (n + 1) (n + 2) {6}} = {\ binom {n + 2} {3}}}$ ( liczby czworościenne ),
${\ Displaystyle P_ {4} (n) = {\ Frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) {24}} = {\ Binom {n + 3} {4}}}$ (liczby pentachoryczne, liczby pentatopowe, liczby 4-simpleksowe),

$\qquad \vdots$

${\ Displaystyle P_ {R} (n) = {\ Frac {n (n + 1) (n + 2) \ cdots (n + R-1) {R!}} = {\ Binom {n + (r- 1)}{r}}}$ ( $r -$ liczby tematów, $r$ - liczby simpleksowe ).

Terminy liczba kwadratowa i liczba sześcienna wywodzą się z ich geometrycznej reprezentacji jako kwadratu lub sześcianu . Różnica dwóch dodatnich liczb trójkątnych to liczba trapezoidalna .

Gnomon

Gnomon jest kawałek dodany do numeru figuracyjny przekształcić go do następnego większego.

Na przykład gnomon liczby kwadratowej jest liczbą nieparzystą w ogólnej postaci $2 n + 1$ , $n = 0, 1, 2, 3, ...$ . Kwadrat o rozmiarze 8 złożony z gnomonów wygląda tak:

8 8 8 8 8 8 8 8
8 7 7 7 7 7 7 7
8 7 6 6 6 6 6 6
8 7 6 5 5 5 5
8 7 6 5 4 4 4 4
8 7 6 5 4 3 3 3
8 7 6 5 4 3 2 2
8 7 6 5 4 3 2 1

Aby przekształcić $n$ -kwadrat (kwadrat o rozmiarze $n$ ) w $(n + 1)$ -kwadrat, jeden przylega do $2 n + 1$ elementów: jeden do końca każdego rzędu ( $n$ elementów), jeden do końca każdego kolumna ( $n$ elementów) i jeden do rogu. Na przykład, przekształcając 7-kwadrat w 8-kwadrat, dodajemy 15 elementów; te dodatki to ósemki na powyższym rysunku.

Ta technika gnomoniczna dostarcza również matematycznego dowodu, że suma pierwszych $n$ nieparzystych liczb wynosi $n 2$ ; rysunek przedstawia 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

Uwagi

Bibliografia

Gazalé, Midhat J. (1999), Gnomon: Od faraonów do fraktali , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00514-0
Deza, Eleno; Deza, Michel Marie (2012), Figurate Numbers, wydanie pierwsze , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
Heath, Thomas Little (2000), Historia matematyki greckiej: Tom 1. Od Thalesa do Euklidesa , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-97448-8
Heath, Thomas Little (2000), Historia matematyki greckiej: Tom 2. Od Arystarcha do Diofanta , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-96877-7
Dickson, Leonard Eugene (1923), Historia teorii liczb , Chelsea Publishing Co , ASIN B000OKO3TK
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C., Historia matematyki (2nd ed.)

Languages

In other projects