Numer kwadratu - Square number
W matematyce , A Liczba kwadratowa lub kwadratem jest liczbą całkowitą , która jest kwadrat o całkowitej; innymi słowy, jest iloczynem pewnej liczby całkowitej z samym sobą. Na przykład 9 jest liczbą kwadratową, ponieważ jest równa 3 2 i można ją zapisać jako 3 × 3 .
Zwykłym zapisem kwadratu liczby n nie jest iloczyn n × n , ale równoważna potęga n 2 , zwykle wymawiana jako „ n do kwadratu”. Numer kwadratu nazwy pochodzi od nazwy kształtu. Jednostką powierzchni jest powierzchnia kwadratu jednostkowego ( 1 × 1 ). Stąd kwadrat o boku n ma pole n 2 . Innymi słowy, jeśli liczba kwadratowa jest reprezentowana przez n punktów, punkty mogą być ułożone w rzędach jako kwadrat, którego każdy bok ma taką samą liczbę punktów jak pierwiastek kwadratowy z n ; w ten sposób liczby kwadratowe są rodzajem liczb figuratywnych (innymi przykładami są liczby sześcienne i liczby trójkątne ).
Liczby kwadratowe są nieujemne . Innym sposobem powiedzenia, że (nieujemna) liczba całkowita jest liczbą kwadratową, jest to, że jej pierwiastek kwadratowy jest ponownie liczbą całkowitą. Na przykład 9 to liczba kwadratowa.
Dodatnia liczba całkowita, która nie ma idealnych dzielników kwadratowych poza 1, nazywana jest bezkwadratową .
Dla nieujemną liczbę całkowitą N The n p liczba kwadraty n 2 z 0 2 = 0 , będących zerowego jeden. Pojęcie kwadratu można rozszerzyć na inne systemy liczbowe. Jeśli uwzględniamy liczby wymierne , to kwadrat jest stosunkiem dwóch liczb całkowitych kwadratowych i odwrotnie, stosunek dwóch liczb całkowitych kwadratowych jest kwadratem, na przykład .
Począwszy od 1, są cyfry kwadratowe włącznie i m , przy czym wyrażenie reprezentuje podłogi o numerze x .
Przykłady
Kwadraty (sekwencja A000290 w OEIS ) mniejsze niż 60 2 = 3600 to:
- 0 2 = 0
- 1 2 = 1
- 2 2 = 4
- 3 2 = 9
- 4 2 = 16
- 5 2 = 25
- 6 2 = 36
- 7 2 = 49
- 8 2 = 64
- 9 2 = 81
- 10 2 = 100
- 11 2 = 121
- 12 2 = 144
- 13 2 = 169
- 14 2 = 196
- 15 2 = 225
- 16 2 = 256
- 17 2 = 289
- 18 2 = 324
- 19 2 = 361
- 20 2 = 400
- 21 2 = 441
- 22 2 = 484
- 23 2 = 529
- 24 2 = 576
- 25 2 = 625
- 26 2 = 676
- 27 2 = 729
- 28 2 = 784
- 29 2 = 841
- 30 2 = 900
- 31 2 = 961
- 32 2 = 1024
- 33 2 = 1089
- 34 2 = 1156
- 35 2 = 1225
- 36 2 = 1296
- 37 2 = 1369
- 38 2 = 1444
- 39 2 = 1521
- 40 2 = 1600
- 41 2 = 1681
- 42 2 = 1764
- 43 2 = 1849
- 44 2 = 1936
- 45 2 = 2025
- 46 2 = 2116
- 47 2 = 2209
- 48 2 = 2304
- 49 2 = 2401
- 50 2 = 2500
- 51 2 = 2601
- 52 2 = 2704
- 53 2 = 2809
- 54 2 = 2916
- 55 2 = 3025
- 56 2 = 3136
- 57 2 = 3249
- 58 2 = 3364
- 59 2 = 3481
Różnicę między dowolnym idealnym kwadratem a jego poprzednikiem określa tożsamość n 2 − ( n − 1) 2 = 2 n − 1 . Równoważnie można policzyć liczby kwadratów, dodając do siebie ostatni kwadrat, pierwiastek ostatniego kwadratu i bieżący pierwiastek, czyli n 2 = ( n − 1) 2 + ( n − 1) + n .
Nieruchomości
Liczba m jest liczbą kwadratową wtedy i tylko wtedy, gdy można ułożyć m punktów w kwadracie:
m = 1 2 = 1 | |
m = 2 2 = 4 | |
m = 3 2 = 9 | |
m = 4 2 = 16 | |
m = 5 2 = 25 |
Wyrażenie dla n- tej liczby kwadratów to n 2 . Jest to również równe sumie pierwszych n nieparzystych liczb, jak widać na powyższych zdjęciach, gdzie kwadrat wynika z poprzedniego przez dodanie nieparzystej liczby punktów (pokazanych w kolorze magenta). Formuła wygląda następująco:
Na przykład 5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .
Istnieje kilka rekurencyjnych metod obliczania liczb kwadratowych. Na przykład liczba n- tego kwadratu może być obliczona z poprzedniego kwadratu przez n 2 = ( n − 1) 2 + ( n − 1) + n = ( n − 1) 2 + (2 n − 1) . Alternatywnie, n p liczba kwadratowy może być obliczona z dwóch poprzednich podwajając ( n - 1) th kwadrat, odejmując ( n - 2) th liczbę kwadratowy, a dodanie 2, ponieważ n 2 = 2 ( n - 1) 2 − ( n − 2) 2 + 2 . Na przykład,
- 2 × 5 2 − 4 2 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 2 .
Jedna liczba mniejsza niż kwadrat ( m − 1) jest zawsze iloczynem i (na przykład 8 × 6 równa się 48, a 7 2 równa się 49). Tak więc 3 jest jedyną liczbą pierwszą mniejszą od kwadratu.
Liczba kwadratowa to także suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych . Suma dwóch kolejnych liczb kwadratowych jest wyśrodkowaną liczbą kwadratową . Każdy nieparzysty kwadrat jest również wyśrodkowaną liczbą ośmiokątną .
Inną właściwością liczby kwadratowej jest to, że (z wyjątkiem 0) ma nieparzystą liczbę dodatnich dzielników, podczas gdy inne liczby naturalne mają parzystą liczbę dodatnich dzielników. Pierwiastek całkowity jest jedynym dzielnikiem, który łączy się ze sobą, aby otrzymać liczbę kwadratową, podczas gdy inne dzielniki występują w parach.
Twierdzenie Lagrange'a o czterech kwadratach mówi, że każdą dodatnią liczbę całkowitą można zapisać jako sumę czterech lub mniej doskonałych kwadratów. Trzy kwadraty nie wystarczą dla liczb postaci 4 k (8 m + 7) . Dodatnia liczba całkowita może być reprezentowana jako suma dwóch kwadratów dokładnie wtedy, gdy jej rozkład na czynniki pierwsze nie zawiera nieparzystych potęg liczb pierwszych postaci 4 k + 3 . Jest to uogólnione przez problem Waringa .
W bazie 10 liczba kwadratowa może kończyć się tylko cyframi 0, 1, 4, 5, 6 lub 9, w następujący sposób:
- jeśli ostatnia cyfra liczby to 0, jej kwadrat kończy się na 0 (w rzeczywistości dwie ostatnie cyfry muszą być 00);
- jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 1 lub 9, jej kwadrat kończy się na 1;
- jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 2 lub 8, jej kwadrat kończy się na 4;
- jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 3 lub 7, jej kwadrat kończy się na 9;
- jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 4 lub 6, jej kwadrat kończy się na 6; oraz
- jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 5, jej kwadrat kończy się na 5 (w rzeczywistości dwie ostatnie cyfry muszą wynosić 25).
W przypadku podstawy 12 liczba kwadratowa może kończyć się tylko cyframi kwadratowymi (podobnie jak w przypadku podstawy 12, liczba pierwsza może kończyć się tylko cyframi pierwszymi lub 1), czyli 0, 1, 4 lub 9, w następujący sposób:
- jeśli liczba jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3 (czyli podzielna przez 6), jej kwadrat kończy się na 0;
- jeśli liczba nie jest podzielna ani przez 2, ani przez 3, jej kwadrat kończy się na 1;
- jeśli liczba jest podzielna przez 2, ale nie przez 3, jej kwadrat kończy się na 4; oraz
- jeśli liczba nie jest podzielna przez 2, ale przez 3, jej kwadrat kończy się na 9.
Podobne zasady można podać dla innych podstaw lub dla wcześniejszych cyfr (na przykład dziesiątki zamiast cyfry jednostek). Wszystkie takie reguły można udowodnić, sprawdzając ustaloną liczbę przypadków i stosując arytmetykę modularną .
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli liczba pierwsza p dzieli kwadrat liczby m, to kwadrat p musi również dzielić m ; jeśli p nie dzieli m/P, wtedy m zdecydowanie nie jest kwadratowe. Powtarzając dzielenia w poprzednim zdaniu, dochodzimy do wniosku, że każda liczba pierwsza musi podzielić dany idealny kwadrat parzystą liczbę razy (w tym być może 0 razy). Tak więc liczba m jest liczbą kwadratową wtedy i tylko wtedy, gdy w jej kanonicznej reprezentacji wszystkie wykładniki są parzyste.
Testy kwadratowe mogą być stosowane jako alternatywny sposób rozkładania na czynniki dużych liczb. Zamiast sprawdzać podzielność, test na kwadratowość: dla danego mi pewnej liczby k , jeśli k 2 − m jest kwadratem liczby całkowitej n to k − n dzieli m . (Jest to zastosowanie faktoryzacji różnicy dwóch kwadratów .) Na przykład 100 2 - 9991 jest kwadratem 3, więc w konsekwencji 100 - 3 dzieli 9991. Ten test jest deterministyczny dla nieparzystych dzielników w zakresie od k - n do k + n gdzie k obejmuje pewien zakres liczb naturalnych
Liczba kwadratowa nie może być liczbą doskonałą .
Suma n pierwszych liczb kwadratowych wynosi
Pierwsze wartości tych sum, kwadratowe liczby piramidalne , to: (sekwencja A000330 w OEIS )
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
Suma pierwszych nieparzystych liczb całkowitych, zaczynając od jedynki, jest idealnym kwadratem: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 itd. To wyjaśnia prawo Galileusza dotyczące liczb nieparzystych : jeśli ciało opadanie ze spoczynku obejmuje jedną jednostkę odległości w pierwszym dowolnym przedziale czasu, 3, 5, 7 itd. jednostek odległości w kolejnych przedziałach czasu o tej samej długości. Od s = ut +1/2w 2 , dla u = 0 i stałej a (przyspieszenie ziemskie bez oporu powietrza); więc s jest proporcjonalne do t 2 , a odległość od punktu początkowego to kolejne kwadraty dla całkowitych wartości czasu, który upłynął.
Suma n pierwszych sześcianów jest kwadratem sumy n pierwszych dodatnich liczb całkowitych; to jest twierdzenie Nicomachusa .
Wszystkie potęgi czwarte, potęgi szóste, potęgi ósme i tak dalej są idealnymi kwadratami.
Liczby nieparzyste i parzyste kwadratowe
Kwadraty liczb parzystych są parzyste (a właściwie podzielne przez 4), ponieważ (2 n ) 2 = 4 n 2 .
Kwadraty liczb nieparzystych są nieparzyste, ponieważ (2 n + 1) 2 = 4( n 2 + n ) + 1 .
Wynika z tego, że pierwiastki kwadratowe liczb parzystych są parzyste, a pierwiastki kwadratowe liczb nieparzystych są nieparzyste.
Ponieważ wszystkie liczby parzyste są podzielne przez 4, liczby parzyste postaci 4 n + 2 nie są liczbami kwadratowymi.
Ponieważ wszystkie liczby nieparzyste w postaci kwadratu 4 n + 1 , liczby nieparzyste w postaci 4 n + 3 nie są liczbami kwadratowymi.
Kwadraty liczb nieparzystych mają postać 8 n + 1 , ponieważ (2 n + 1) 2 = 4 n ( n + 1) + 1 i n ( n + 1) jest liczbą parzystą.
Każdy nieparzysty idealny kwadrat jest wyśrodkowaną liczbą ośmiokątną . Różnica między dowolnymi dwoma nieparzystymi idealnymi kwadratami jest wielokrotnością 8. Różnica między 1 a dowolnym wyższym nieparzystym idealnym kwadratem jest zawsze ośmiokrotnością liczby trójkątnej, podczas gdy różnica między 9 a dowolnym wyższym nieparzystym idealnym kwadratem wynosi osiem razy liczba trójkątna minus osiem. Ponieważ wszystkie liczby trójkątne mają współczynnik nieparzysty, ale żadne dwie wartości 2 n nie różnią się wartością zawierającą współczynnik nieparzysty, jedynym idealnym kwadratem postaci 2 n − 1 jest 1, a jedynym idealnym kwadratem postaci 2 n + 1 to 9.
Przypadki specjalne
- Jeśli liczba ma postać m 5, gdzie m reprezentuje poprzednie cyfry, jej kwadrat to n 25, gdzie n = m ( m + 1) i reprezentuje cyfry przed 25. Na przykład kwadrat 65 można obliczyć jako n = 6 × (6 + 1) = 42, co daje kwadrat równy 4225.
- Jeśli liczba ma postać m 0, gdzie m oznacza poprzednie cyfry, jej kwadrat to n 00, gdzie n = m 2 . Na przykład kwadrat 70 to 4900.
- Jeśli liczba ma dwie cyfry i ma postać 5 m, gdzie m oznacza cyfrę jednostki, jej kwadrat to aabb, gdzie aa = 25 + m i bb = m 2 . Przykład: Aby obliczyć kwadrat 57, 25 + 7 = 32 i 7 2 = 49, co oznacza 57 2 = 3249.
- Jeśli liczba kończy się na 5, jej kwadrat kończy się na 5; podobnie dla końcówek 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, itd. Jeżeli liczba kończy się na 6, to jej kwadrat kończy się na 6, podobnie dla końcówek 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Na przykład kwadrat 55376 to 3066501376, oba kończą się na 376 . (Liczby 5, 6, 25, 76 itd. nazywane są liczbami automorficznymi . Są to sekwencje A003226 w OEIS .)
Zobacz też
- Tożsamość Brahmagupta-Fibonacciego - Wyrażenie iloczynu sum kwadratów jako sumy kwadratów
- Liczba sześcienna – liczba podniesiona do trzeciej potęgi
- Czterokwadratowa tożsamość Eulera – iloczyn sum czterech kwadratów wyrażony jako suma czterech kwadratów
- Twierdzenie Fermata o sumach dwóch kwadratów – warunek, w którym nieparzysta liczba pierwsza jest sumą dwóch kwadratów
- Niektóre tożsamości obejmujące kilka kwadratów
- Integer square root – większa liczba całkowita, która jest mniejsza niż pierwiastek kwadratowy
- Metody obliczania pierwiastków kwadratowych – Algorytmy obliczania pierwiastków kwadratowych
- Potęga dwójki – dwójka podniesiona do potęgi całkowitej
- Trójka pitagorejska – Trzy liczby całkowite dodatnie, z których kwadraty dwóch sumują się do kwadratu trzeciego
- Reszta kwadratowa – liczba całkowita, która jest idealnym modulo kwadratowym pewną liczbą całkowitą
- Funkcja kwadratowa – funkcja wielomianowa stopnia drugiego
- Kwadratowa liczba trójkątna – liczba całkowita będąca zarówno idealnym kwadratem, jak i liczbą trójkątną
Uwagi
Dalsza lektura
- Conway, JH i Guy, RK Księga Liczb . Nowy Jork: Springer-Verlag, s. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
- Kiran Parulekar. Niesamowite właściwości kwadratów i ich obliczenia . Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC&source=gbs_navlinks_s