Równanie Fishera - Fisher's equation

Symulacja numeryczna równania Fishera-KPP. W kolorach: rozwiązanie u ( t , x ); w kropkach : nachylenie odpowiadające teoretycznej prędkości fali biegnącej.

Ronalda Fishera w 1913 roku

W matematyce , równanie Fishera (nazwane statystyk i Biolog Ronald Fisher ), znany również jako równanie Kołmogorow-Pietrowski-Piskunov (nazwany Andrey Kołmogorowa , Ivan Pietrowski i Nikolai Piskunov ) Równanie KPP lub równanie Fisher KPP jest częściowo równanie różniczkowe :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u}{\ częściowy t}}-D {\ Frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy x ^ {2}}} = ru (1-u). \ ,}

Jest to rodzaj systemu reakcyjno-dyfuzyjnego, który można wykorzystać do modelowania wzrostu populacji i propagacji fal.

Detale

Równanie Fishera należy do klasy równań reakcji-dyfuzji : w rzeczywistości jest to jedno z najprostszych półliniowych równań reakcji-dyfuzji, które ma niejednorodny wyraz

f(u,x,t)=ru(1-u),\,

które mogą wykazywać rozwiązania fal biegnących, które przełączają się między stanami równowagi podanymi przez . Takie równania występują m.in. w ekologii , fizjologii , spalaniu , krystalizacji , fizyce plazmy iw ogólnych problemach przemian fazowych . ${\ Displaystyle f (u) = 0}$

Fisher zaproponował to równanie w swoim artykule z 1937 roku Fala postępu korzystnych genów w kontekście dynamiki populacji, aby opisać przestrzenne rozprzestrzenianie się korzystnego allelu i zbadać jego rozwiązania w postaci fali biegnącej. Dla każdej prędkości fali ( w postaci bezwymiarowej) dopuszcza rozwiązania fal biegnących postaci $c\geq 2{\sqrt {rD}}$ $c\geq 2$

{\ Displaystyle u (x, t) = v (x \ pm ct) \ równoważne v (z), \,}

gdzie rośnie i $\textstyle v$

{\ Displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow - \ infty} v \ lewy (z \ prawy) = 0 \ quad \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} v \ lewy (z \ prawy) = 1.}

Oznacza to, że rozwiązanie przechodzi ze stanu równowagi u = 0 do stanu równowagi u = 1. Takie rozwiązanie nie istnieje dla c < 2. Kształt fali dla danej prędkości fali jest unikalny. Rozwiązania wykorzystujące fale biegnące są stabilne w przypadku zaburzeń w polu bliskim, ale nie w przypadku zaburzeń w polu dalekim, które mogą pogrubić warkocz. Wykorzystując zasadę porównania i teorię superrozwiązań można udowodnić, że wszystkie rozwiązania o zwartych danych początkowych zbiegają się w fale z minimalną prędkością.

Dla specjalnej prędkości fali wszystkie rozwiązania można znaleźć w formie zamkniętej, z ${\ Displaystyle c = \ pm 5/{\ sqrt {6}}}$

{\ Displaystyle v (z) = \ lewo (1 + C \ operatorname {exp} \ lewo (\ mp {z} / {\ sqrt {6}} \ prawej) \ prawej) ^ {-2}}

gdzie jest arbitralne, a powyższe warunki graniczne są spełnione dla . ${\ Displaystyle C}$ $C>0$

Dowód istnienia rozwiązań fal biegnących i analiza ich właściwości jest często wykonywana metodą przestrzeni fazowej .

Równanie KPP

W tym samym roku (1937), co Fisher, Kołmogorow, Pietrowski i Piskunow wprowadzili bardziej ogólne równanie reakcji-dyfuzji

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy t}} - {\ Frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy x ^ {2}}} = F (u)}

gdzie jest wystarczająco gładką funkcją o właściwościach, które i dla wszystkich . To również zawiera omówione powyżej rozwiązania z falą biegnącą. Równanie Fishera otrzymuje się po ustawieniu i przeskalowaniu współrzędnej o współczynnik . Bardziej ogólny przykład podaje z . Kołmogorowa, Pietrowski i Piskunow omówili przykład w kontekście genetyki populacyjnej . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F (0) = F (1) = 1, F' (0) = r> 0}$ $F(v)>0,F'(v)<r$ $0<v<1$ ${\ Displaystyle F (u) = ru (1-u)}$ $x$ ${\sqrt {D}}$ ${\ Displaystyle F (u) = ru (1-u ^ {q})}$ $q>0$ $q=2$