Fréchet oznacza - Fréchet mean
W matematyce i statystyce średnia Frécheta jest uogólnieniem centroidów na przestrzenie metryczne , dające pojedynczy punkt reprezentatywny lub centralną tendencję dla skupiska punktów. Jego nazwa pochodzi od Maurice'a Frécheta . Karcher oznacza zmianę nazwy Riemanna Center of Mass Construction opracowanego przez Karstena Grove i Hermanna Karchera. Na liczbach rzeczywistych, średnia arytmetyczna , mediana , średnia geometryczna , a średnia harmoniczna mogą być interpretowane jako środki Frecheta dla różnych funkcji odległości.
Definicja
Niech ( M , d ) będzie pełną przestrzenią metryczną. Niech x 1 , x 2 , …, x N będą punktami w M . Dla dowolnego punktu p w M , zdefiniuj wariancję Frécheta jako sumę kwadratów odległości od p do x i :
Te środki Karcher Następnie te punkty, m z M , która lokalnie zminimalizować * F:
Jeśli istnieje m od M, które globalnie minimalizuje Ψ, to jest to średnia Frécheta .
Czasami x i przypisuje się wagi w i . Następnie wariancję Frécheta oblicza się jako sumę ważoną,
Przykłady środków Fréchet
Średnia arytmetyczna i mediana
W przypadku liczb rzeczywistych średnia arytmetyczna jest średnią Frécheta, przy użyciu zwykłej odległości euklidesowej jako funkcji odległości.
Mediana jest średnią Fréchet, jeśli definicja funkcji Ψ jest uogólnić na non-kwadratowego
gdzie , a odległość euklidesowa jest funkcją odległości d . W przestrzeniach o wyższych wymiarach staje się to medianą geometryczną .
Średnia geometryczna
Na dodatnich liczbach rzeczywistych można zdefiniować (hiperboliczną) funkcję odległości . Średnia geometryczna jest odpowiednia średnia Fréchet. Rzeczywiście jest więc izometrią od przestrzeni euklidesowej do tej przestrzeni „hiperbolicznej” i musi uwzględniać średnią Frécheta: średnia Frécheta jest obrazem średniej Frécheta (w sensie euklidesowym) , tj. musi być:
- .
Średnia harmoniczna
Na dodatnich liczb rzeczywistych , The metryczny (funkcja prostej):
można zdefiniować. Średnia harmoniczna jest odpowiednia średnia Fréchet.
Moc oznacza
Biorąc pod uwagę niezerową liczbę rzeczywistą , średnią potęgową można uzyskać jako średnią Frécheta, wprowadzając metrykę
f-znaczy
Biorąc pod uwagę odwracalną i ciągłą funkcję , f-średnią można zdefiniować jako średnią Frécheta uzyskaną za pomocą metryki:
Jest to czasami nazywane uogólnioną średnią f lub średnią quasi-arytmetyczną .
Średnie ważone
Ogólną definicję średniej Frécheta, która obejmuje możliwość ważenia obserwacji, można wykorzystać do uzyskania wersji ważonych dla wszystkich powyższych rodzajów średnich.