Funkcjonalne (matematyka) - Functional (mathematics)

Długość łuku funkcjonalne zakresu jego przestrzeni wektorowej krzywych naprawienia (podprzestrzeni ) i generuje rzeczywistą skalarnych. Jest to przykład nieliniowego funkcjonalne.${\ Displaystyle C ([0,1] \ mathbb {R} ^ {3})}$

Riemanna integralną jest liniowy funkcjonalny w przestrzeni wektorowej funkcji Riemanna- zabudowy od a do b, gdzie a, b ∈ .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

W matematyce , określenie funkcjonalne (jako rzeczownik) ma co najmniej dwa znaczenia.

• W nowoczesnym Algebra liniowego , odnosi się do odwzorowania liniowego z przestrzeni wektorowej w jego obszarze skalarnych, czyli do elementu podwójnego miejsca .${\ V} displaystyle$ ${\ Displaystyle v ^ {*}}$
• W analizy matematycznej , a bardziej ogólnie, a w przeszłości, że odnosi się do mapowania z przestrzeni w tych liczb rzeczywistych , a czasami do liczb zespolonych , w celu utworzenia struktury, jak na nazębnego . W zależności od autora, takie mapowanie mogą lub nie mogą być traktowane jako liniowy, albo należy zdefiniować na całej przestrzeni .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Artykuł ten dotyczy głównie z drugą koncepcją, która powstała na początku 18 wieku jako część rachunku wariacji . Pierwsza koncepcja, która jest bardziej nowoczesne i abstrakcyjne, jest szczegółowo omówione w oddzielnym artykule pod nazwą postaci liniowej .

Powszechnie, przestrzeń jest przestrzenią funkcji; W związku z tym funkcjonalne wykonuje funkcję jej argumentu wejściowego, to jest on czasem uważany za funkcję zależności (A funkcję wyższego rzędu ). Jego zastosowanie pochodzi z rachunku wariantów , gdzie wyszukuje funkcji, która minimalizuje dane funkcjonalne. Szczególnie ważne zastosowanie w fizyce jest poszukiwanie stanu systemu, który minimalizuje energię funkcjonalny . ${\ Displaystyle X}$

szczegóły funkcjonalne

Dwoistość

mapowanie

${\ Displaystyle x_ {0} \ mapsto F (x_ {0})}$

Jest to funkcja, gdzie x ₀ jest argumentem z funkcji f . W tym samym czasie, w funkcji odwzorowania dla wartości funkcji w punkcie

${\ Displaystyle f \ mapsto F (x_ {0})}$

Jest to funkcjonalna ; tutaj, x ₀ jest parametrem .

Pod warunkiem, że F jest funkcją liniową od miejsca wektora do podstawowej dziedzinie skalarnego wyżej mapy liniowe podwójny do siebie nawzajem i do analizy funkcjonalnej obie będą nazywane funkcjonałami liniowe .

Określona całka

Całki takie jak

${\ Displaystyle f \ mapsto I [f] = \ _ int {\ omega} H (F (x), M "(x) \ ldots) \; \ il ({\ mbox {d}} x)}$

tworzą specjalną klasę funkcjonałów. Map one funkcję do liczby rzeczywistej, pod warunkiem, że jest rzeczywista. Przykłady obejmują ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle H}$

• obszar pod wykresem dodatniej funkcji ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f \ mapsto \ _ int {x_ {0}} ^ x_ {{1}} f (x) \; \ operatorname {}} dx$

• L ^P normą o funkcji w zestawie${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle f \ mapsto \ lewo (\ _ int {e} | f | ^ {s} \; \ operatorname {d} x \ prawej) ^ {1 / t}}$

• długość łuku krzywej w 2-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

${\ Displaystyle f \ mapsto \ _ int {x_ {0}} ^ x_ {{1}} {\ sqrt {1+ | F '(x) | ^ {2}}} \; \ operatorname {d} x}$

Wektor skalarne produkt

Biorąc pod uwagę dowolny wektor w przestrzeni wektorowej The skalarne produkt z innym wektorze , oznaczony lub jest skalar. Zbiór wektorów takich, że jest zerowy jest podprzestrzenią wektor , zwany zerowy przestrzeń lub jądra . ${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ vec {T}}}$${\ Displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {T}}}$${\ Displaystyle \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {T}} \ rangle}$${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {T}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Miejscowość

Jeżeli jest to wartość funkcjonalna może być obliczana dla małych segmentach krzywej wejściowego, a następnie sumowane, aby znaleźć całkowitą wartość, funkcjonalny nazywa lokalny. Inaczej nazywany jest non-local. Na przykład:

${\ Displaystyle F (r) = \ _ int {x_ {0}} ^ x_ {{1}} r (x) \; \ operatorname {d} x}$

jest natomiast lokalny

${\ Displaystyle F (r) = {\ Frac {\ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} r (x) \; \ operatorname {d} x}, {\ int _ {x_ {0} } ^ x_ {{1}} (1 + [Y (x)] ^ {2}) \; \ operatorname {d} x}}}$

jest non-local. Następuje to zazwyczaj po całki występują oddzielnie w liczniku i mianowniku równania takich jak obliczenia środka ciężkości.

równanie funkcjonalny

Tradycyjny zwyczaj ma również zastosowanie, gdy mówi się o równaniu funkcjonalnej, czyli równanie między funkcjonałów: równanie F = G pomiędzy funkcjonałów można odczytać jako „równania do rozwiązania”, z czym sobie funkcje rozwiązania. W takich wzorów mogą być kilka zestawów niewiadomych zmiennych, jak wtedy, gdy mówi się, że dodatek funkcja f jest spełniającą równanie funkcyjne

${\ Displaystyle f (x + y) = m (x) + f (T).}$

pochodna funkcjonalna i integracja funkcjonalna

Funkcjonalne pochodne stosuje się w mechanice Lagrange'a . Są to pochodne funkcjonałów: czyli niosą informacje o zmianach funkcjonalnych, jak podczas zmiany funkcji Wejście w niewielkim stopniu.

Richard Feynman wykorzystywane całek funkcjonalne jako główny pomysł w jego suma nad historią sformułowania mechaniki kwantowej . Oznacza to wykorzystanie jej integralną przejęte jakiegoś miejsca funkcyjnego .

Zobacz też

• forma liniowa
• Optymalizacja (matematyka)
• Napinacz

Referencje

• Hazewinkel, Michiel , wyd. (2001) [1994], "funkcjonalna" , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• Rowland, Todd. "Functional" . MathWorld .
• Lang Serge (2002), "III Moduły §6 podwójnego miejsca i podwójnego modułu.." Algebra , Graduate Teksty matematyki , 211 (poprawiona trzecie wyd.), Nowy Jork. Springer-Verlag, str 142 i ndash 146 , ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1878556 , Zbl  +0984,00001