Prawo Greena - Green's law

Równanie falowe dla kanału otwartego

Punktem wyjścia są zlinearyzowane jednowymiarowe równania Saint-Venanta dla otwartego kanału o przekroju prostokątnym (pionowe ściany boczne). Równania te opisują ewolucję fali o wysokości swobodnej powierzchni i prędkości przepływu poziomego z współrzędną poziomą wzdłuż osi kanału i czasem: ${\ Displaystyle \ eta (x, t)}$${\ Displaystyle u (x, t),}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} i b \, {\ Frac {\ częściowe \ eta} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe (b \, h \, u)} {\ częściowe x}} = 0, \\ & {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + g \, {\ frac {\ części \ eta} {\ częściowe x}} = 0, \ end {aligned}}}$

gdzie jest grawitacja Ziemi (przyjmowana jako stała), jest średnią głębokością wody, jest szerokością kanału i oznacza pochodne cząstkowe w odniesieniu do przestrzeni i czasu. Powolne zmiany szerokości i głębokości wraz z odległością wzdłuż osi kanału są uwzględniane przez oznaczenie ich jako i gdzie jest mały parametr: Powyższe dwa równania można połączyć w jedno równanie falowe dla wzniesienia powierzchni: ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ częściowe / \ częściowe t}$${\ Displaystyle \ częściowe / \ częściowe x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle b (\ mu x)}$${\ Displaystyle h (\ mu x),}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu \ ll 1.}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ eta} {\ częściowe t ^ {2}}} - {\ Frac {g} {b}} \, {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x }} \ left (b \, h \, {\ frac {\ części \ eta} {\ częściowe x}} \ right) = 0,}$   iz prędkością wynikającą z  ${\ Displaystyle u = -g \ int {\ Frac {\ częściowe \ eta} {\ częściowe x}} \; \ mathrm {d} t.}$

( 1 )

W metodzie Liouville – Greena podejście polega na przekształceniu powyższego równania falowego o niejednorodnych współczynnikach w jednorodne (pomijając niewielkie resztki w zakresie ). ${\ displaystyle \ mu}$

Transformacja do fazy falowej jako zmienna niezależna

Następnym krokiem jest zastosowanie transformacji współrzędnych , wprowadzając czas podróży (lub fazę fali ) podany przez ${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ sqrt {g \, h}},}$   więc   ${\ Displaystyle \ tau = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ Frac {1} {\ sqrt {g \, h (\ mu s)}}} \; \ mathrm {d} s}$

i są związane przez szybkość. Wprowadzenie zmiennej wolnej i oznaczenie pochodnych liczby pierwszej i względem niej, np . -pochodne w równaniu falowym, równ. ( 1 ), stają się: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {gh}}.}$ ${\ displaystyle X = \ mu x}$${\ Displaystyle b (X)}$${\ Displaystyle h (X)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle b '= \ mathrm {d} b / \ mathrm {d} X,}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {\ częściowe \ eta} {\ częściowe x}} = \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ tau}} \ right) ^ {- 1} \, {\ frac {\ części \ eta} {\ części \ tau}} = {\ frac {1} {\ sqrt {g \, h}}} \, {\ frac { \ części \ eta} {\ części \ tau}} \ qquad {\ text {i}} \\ & {\ frac {\ części} {\ częściowy x}} \ left (b \, h \, {\ frac { \ częściowe \ eta} {\ częściowe x}} \ right) = b \, h \, {\ frac {\ częściowe ^ {2} \ eta} {\ częściowe x ^ {2}}} + \ mu \ left ( b '\, h + b \, h' \ right) \, {\ frac {\ part \ eta} {\ part x}} = {\ frac {b} {g}} \, {\ frac {\ part ^ {2} \ eta} {\ części \ tau ^ {2}}} + \ mu \, {\ frac {b '\, h + {\ tfrac {1} {2}} \, b \, h'} {\ sqrt {gh}}} \, {\ frac {\ części \ eta} {\ części \ tau}}. \ end {aligned}}}$

Teraz równanie falowe ( 1 ) przekształca się w:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ eta} {\ częściowy t ^ {2}}} - {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ eta} {\ częściowy \ tau ^ {2}} } - \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ left ({\ frac {b '} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ frac {h '} {h}} \ right) \, {\ frac {\ części \ eta} {\ części \ tau}} = 0.}$

( 2 )

Kolejnym krokiem jest przekształcenie równania w taki sposób, aby pozostały tylko odchylenia od jednorodności w drugim rzędzie aproksymacji , czyli proporcjonalne do ${\ displaystyle \ mu ^ {2}.}$

Dalsza transformacja w kierunku jednorodności

Jednorodne równanie fali (tj. Równanie ( 2 ), gdy jest równe zero) zawiera rozwiązania dla fal biegnących o postaci stałej, propagujących w kierunku ujemnym lub dodatnim . Dla przypadku niejednorodnego, biorąc pod uwagę fale rozchodzące się w kierunku dodatnim , Green proponuje przybliżone rozwiązanie: ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ eta = F (t \ pm \ tau)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ eta (\ tau, t) = \ Theta (X) \, F (t- \ tau).}$

( 3 )

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ eta} {\ częściowe t ^ {2}}} & = \ Theta \, {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2 } F} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}}, \\ {\ frac {\ części \ eta} {\ części \ tau}} & = \ Theta \, {\ frac {\ mathrm {d } F} {\ mathrm {d} \ tau}} + \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ Theta '\, F \ qquad {\ text {i}} \\ {\ frac {\ części ^ {2} \ eta} {\ części \ tau ^ {2}}} & = \ Theta \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \, \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ Theta '\, {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau }} + \ mu ^ {2} \, g \, h \, \ Theta '' \, F. \ end {aligned}}}$

Teraz lewa strona równania. ( 2 ) staje się:

${\ Displaystyle \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ lewo (2 \, {\ Frac {\ Theta '} {\ Theta}} + {\ Frac {b'} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ frac {h '} {h}} \ right) \, \ Theta \, {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau}} + \ mu ^ {2} \, g \, h \, \ left ({\ frac {\ Theta ''} {\ Theta '}} + {\ frac {b'} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ frac {h '} {h}} \ right) \, \ Theta' \, F.}$

Zatem zaproponowane rozwiązanie w równaniu. ( 3 ) spełnia równanie. ( 2 ), a więc również równ. ( 1 ) oprócz powyższych dwóch terminów proporcjonalnie do i , z Błąd w rozwiązaniu można wykonać z podanej kolejności ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu ^ {2}}$${\ displaystyle \ mu \ ll 1.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mu ^ {2})}$

${\ Displaystyle 2 \, {\ Frac {\ Theta '} {\ Theta}} + {\ Frac {b'} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ Frac {h ' } {h}} = 0.}$

To ma rozwiązanie:

${\ Displaystyle \ Theta (X) = \ alfa \, b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \, h ^ {- {\ tfrac {1} {4}}}.}$

Korzystanie z Eq. ( 3 ) i przekształcenie z do , przybliżonym rozwiązaniem dla wzniesienia powierzchni jest ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ eta (x, t)}$

${\ Displaystyle \ eta (x, t) = b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} (x) \; h ^ {- {\ tfrac {1} {4}}} (x) \ ; F \ left (t- \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {g \, h (s)}}} \; \ mathrm {d} s \ right ) + {\ mathcal {O}} (\ mu ^ {2}),}$

( 4 )

gdzie stała została ustawiona na jeden, bez utraty ogólności . Fale podróżujące w kierunku ujemnym mają znak minus w argumencie funkcji zamieniony na znak plus. Ponieważ teoria jest liniowa, rozwiązania można dodawać ze względu na zasadę superpozycji . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle F}$

Fale sinusoidalne i prawo Greena

Pod uwagę brane są fale zmieniające się w czasie sinusoidalnie z okresem . To jest ${\ displaystyle T,}$

${\ Displaystyle \ eta (x, t) = a (x) \, \ sin (\ omega \, t- \ phi (x)) = {\ tfrac {1} {2}} \, H (x) \ , \ sin (\ omega \, t- \ phi (x)),}$

gdzie jest amplituda , jest wysokością fali , jest częstotliwością kątową i jest fazą fali . W konsekwencji również w równaniu. ( 4 ) musi być fala sinusoidalna, na przykład ze stałą. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle H = 2a}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi / T}$${\ Displaystyle \ phi (x)}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F = \ beta \ sin (\ omega t- \ phi (x))}$${\ displaystyle \ beta}$

Stosując te formy i w równaniu. ( 4 ) daje: ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle H \, b ^ {\ tfrac {1} {2}} \, h ^ {\ tfrac {1} {4}} = \ beta,}$

co jest prawem Greena .

Prędkość przepływu

Pozioma prędkość przepływu w kierunku - wynika bezpośrednio z podstawienia rozwiązania dla wzniesienia powierzchni z równania. ( 4 ) do wyrażenia w równaniu. ( 1 ): ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ eta (x, t)}$${\ Displaystyle u (x, t)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u (x, t) & = g ^ {\ tfrac {1} {2}} \; b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} (x) \ ; h ^ {- {\ tfrac {3} {4}}} (x) \; F \ left (t- \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt { g \, h (s)}}} \; \ mathrm {d} s \ right) \\ & + \ mu \, {\ tfrac {1} {2}} \, g \, b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} (x) \; h ^ {- {\ tfrac {1} {4}}} (x) \; {\ frac {(b \, {\ sqrt {h}}) '} {b \, {\ sqrt {h}}}} \, \ Phi (x, t) + {\ frac {Q} {b (x) \, h (x)}} + {\ mathcal {O }} \ left (\ mu ^ {2} \ right), \\ & \ qquad {\ text {with}} \ qquad \ Phi (x, t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} F \ left (\ sigma - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {g \, h (s)}}} \; \ mathrm {d} s \ right ) \; \ mathrm {d} \ sigma \ end {aligned}}}$

i dodatkowe stałe rozładowanie . ${\ displaystyle Q}$

Zauważ, że - gdy szerokość i głębokość nie są stałe - termin proporcjonalny do implikuje (małą) różnicę faz między elewacją a prędkością . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle \ Phi (x, t)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mu)}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle u}$

Do fal sinusoidalnych z prędkością amplitudy ławicy prędkościami przepływu do prowadzącej celu jako ${\ displaystyle V,}$

${\ Displaystyle V \, b ^ {\ tfrac {1} {2}} \, h ^ {\ tfrac {3} {4}} = {\ tekst {stała}}.}$

Można było się tego spodziewać w przypadku poziomego łoża o amplitudzie fali. ${\ Displaystyle V = {\ sqrt {g \, h}} \, (a / h) = {\ sqrt {g / h}} \, a}$${\ displaystyle a}$