Współczynniki Grzegorza - Gregory coefficients

Gregory współczynników G _n , znany również jako wzajemne logarytmicznych liczbach , Bernoulliego ilości drugiego rodzaju lub numerów Cauchy'ego pierwszego rodzaju , jest racjonalne liczb, występujące w serii Maclaurin ekspansji logarytmie wzajemnego

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {z} {\ ln (1 + z)}} i = 1 {\ Frac {1} {2}} z {\ Frac {1} {12} }z^{2}+{\frac {1}{24}}z^{3}-{\frac {19}{720}}z^{4}+{\frac {3}{160}}z ^{5}-{\frac {863}{60480}}z^{6}+\cdots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}z^{n }\,,\qquad |z|<1\,.\end{wyrównany}}}$

Współczynniki Gregory'ego są naprzemienne G _n = (−1) ^{n −1} | G _n | i malejące w wartości bezwzględnej. Liczby te noszą imię Jamesa Gregory'ego, który wprowadził je w 1670 r. w kontekście całkowania liczbowego. Zostały one następnie ponownie odkryte przez wielu matematyków i często pojawiają się w pracach współczesnych autorów, którzy nie zawsze je rozpoznają.

Wartości liczbowe

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...	sekwencje OEIS
G n	+ 1/2	−1/12	+1/24	−19/720	+3/160	−863/60480	+275/24192	−33953/3628800	+8183/1036800	−3250433/479001600	+4671/788480	...	OEIS :  A002206 (liczniki), OEIS :  A002207 (mianowniki)

Obliczenia i reprezentacje

Najprostszym sposobem obliczenia współczynników Gregory'ego jest użycie formuły rekurencyjnej

${\ Displaystyle {\ Frac {G_ {1}} {n}} - {\ Frac {G_ {2}} {n-1}} + {\ Frac {G_ {3}} {n-2}} - \ cdots +(-1)^{n-1}{\frac {G_{n}}{1}}\,=\,{\frac {1}{n+1}}\,,\qquad n=2 ,3,4,\ldots }$

z G ₁ =1/2. Współczynniki Gregory'ego można również obliczyć jawnie za pomocą następującej różnicy

${\ Displaystyle G_ {n} = {\ Frac {1} {n!}} \ lewo [{\ Frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} {\ Frac {z} {\ ln ( 1+z)}}\right]_{z=0},}$

całka

${\ Displaystyle G_ {n} = {\ Frac {1} {n!}} \ int _ {0} ^ {1} x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) \ ,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx,}$

Wzór całkowy Schrödera

${\ Displaystyle G_ {n} = (-1) ^ {n-1} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {dx} {(1 + x) ^ {n} (\ ln ^ { 2}x+\pi ^{2})}},}$

lub formuła skończonego sumowania

${\ Displaystyle G_ {n} = {\ Frac {1} {n!}} \ suma _ {\ ell =1} ^ {n} {\ Frac {s (n \ ell)} {\ ell +1} },}$

gdzie s ( n , ℓ ) są podpisanymi liczbami Stirlinga pierwszego rodzaju .

Granice i zachowanie asymptotyczne

Współczynniki Gregory'ego spełniają granice

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {6n (n-1)}} < {\ duży |} G_ {n} {\ duży |} < {\ Frac {1} {6n}} \ qquad n> 2 ,}$

udzielone przez Johana Steffensena . Granice te były później poprawiane przez różnych autorów. Najbardziej znane im granice podał Blagouchine. W szczególności,

${\displaystyle {\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}\,-\,{\frac {\,2\,}{\,n\ ln ^{3}\!n\,}}\leqslant \,{\big |}G_{n}{\big |}\,\leqslant \,{\frac {\,1\,}{\,n \ln ^{2}\!n\,}}-{\frac {\,2\gamma \,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\,,\qquad \quad n\geqslant 5\,.}$

Asymptotycznie, przy dużym indeksie n , liczby te zachowują się jak

${\ Displaystyle {\ duży |} G_ {n} {\ duży |} \ SIM {\ Frac {1} {n \ ln ^ {2} n}} \ qquad n \ do \ infty.}$

Dokładniejszy opis G _n w ogóle n można znaleźć w pracach Van Veena, Davisa, Coffeya, Nemesa i Blagouchine'a.

Szereg ze współczynnikami Gregory'ego

Szeregi obejmujące współczynniki Gregory'ego mogą być często obliczane w formie zamkniętej. Podstawowe serie z tymi numerami obejmują

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ duży |} G_ {n} {\ duży |} = 1 \ \ [2 mm] \ suma _ {n = 1 }^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{wyrównany}}}$

gdzie γ = 0,5772156649... jest stałą Eulera . Wyniki te są bardzo stare, a ich historię można doszukiwać się w pracach Gregorio Fontany i Lorenzo Mascheroni . Bardziej skomplikowane szeregi ze współczynnikami Gregory'ego zostały obliczone przez różnych autorów. Kowalenko, Alabdulmohsin i kilku innych autorów obliczyło

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {l} \ Displaystyle \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ Frac {{\ duży |} G_ {n} {\ duży |}} {n-1 }}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi}{2}}-{\frac {\gamma}{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{ szyk}}}$

Alabdulmohsin również podaje te tożsamości

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i {\ duży |} G_ {1} {\ duży |} + {\ duży |} G_ {2} {\ duży |} - {\ duży |} G_ {4} { \big |}-{\big |}G_{5}{\big |}+{\big |}G_{7}{\big |}+{\big |}G_{8}{\big |}- {\big |}G_{10}{\big |}-{\big |}G_{11}{\big |}+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\ [2mm]&{\big |}G_{2}{\big |}+{\big |}G_{3}{\big |}-{\big |}G_{5}{\big |}-{ \big |}G_{6}{\big |}+{\big |}G_{8}{\big |}+{\big |}G_{9}{\big |}-{\big |}G_ {11}{\big |}-{\big |}G_{12}{\big |}+\cdots ={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[ 2mm]&{\big |}G_{1}{\big |}-{\big |}G_{3}{\big |}-{\big |}G_{4}{\big |}+{\ big |}G_{6}{\big |}+{\big |}G_{7}{\big |}-{\big |}G_{9}{\big |}-{\big |}G_{ 10}{\big |}+{\big |}G_{12}{\big |}+\cdots =1-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}} }$

Candelperger, Coppo i Young pokazali, że

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {{\ duży |} G_ {n} {\ duży |} \ cdot H_ {n}} {n}} = {\ Frac { \pi ^{2}}{6}}-1,}$

gdzie H _n to liczby harmoniczne . Blagouchine zapewnia następujące tożsamości

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {G_ {n}} {n}} = \ nazwa operatora {li} (2) - \ gamma \ \ [2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1} {8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\ suma _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+ {\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\ pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2} }={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_ {n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1} ^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1} ^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]& \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1 }{\frac {-\nazwa operatora {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty } {\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\nazwa operatora {li} (1+x)-\gamma -\ln x} {x }}\,dx,\end{wyrównany}}}$

gdzie li( z ) jest logarytmem całkowitym i jest współczynnikiem dwumianowym . Wiadomo jest również, że zeta funkcja The funkcją gamma , że funkcje polygamma , że stałe Stieltjes i wiele innych specjalnych i stałe może być wyrażona w kategoriach nieskończonych serii zawierających te numery. ${\ Displaystyle {\ tbinom {k} {m}}}$

Uogólnienia

Dla współczynników Gregory'ego możliwe są różne uogólnienia. Wiele z nich można uzyskać poprzez modyfikację równania generowania rodzica. Na przykład, Van Veen rozważ

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ ln (1 + z)} {z}} \ prawej) ^ {s} = s \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {n}}{n!}}K_{n}^{(s)}\,,\qquad |z|<1\,,}$

i stąd

${\ Displaystyle G_ {n} = - {\ Frac {K_ {n} ^ {(-1)}} {n!}}}$

Równoważne uogólnienia zaproponowali później Kowalenko i Rubinstein. W podobny sposób współczynniki Gregory'ego są powiązane z uogólnionymi liczbami Bernoulliego

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {t} {e ^ {T}-1}} \ prawej) ^ {s} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {t ^ { k}}{k!}}B_{k}^{(s)},\qquad |t|<2\pi \,,}$

zobacz, więc

${\ Displaystyle G_ {n} = - {\ Frac {B_ {n} ^ {(n-1)}} {(n-1) \ n!}}}$

Jordan definiuje wielomiany ψ _n ( s ) takie, że

${\ Displaystyle {\ Frac {z (1 + z) ^ {s}} {\ ln (1 + z)}} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} \ psi _ {n}(s)\,,\qquad |z|<1\,,}$

i nazwijmy je wielomianami Bernoulliego drugiego rodzaju . Z powyższego jasno wynika, że G _n = ψ _n (0) . Carlitz uogólnił wielomiany Jordana ψ _n ( s ) wprowadzając wielomiany β

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {z} {\ ln (1 + Z)}} \ prawej) ^ {s} \! \! \ cdot (1 + z) ^ {x} = \ suma _ {n =0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\beta _{n}^{(s)}(x)\,,\qquad |z|<1 \,,}$

i dlatego

${\ Displaystyle G_ {n} = {\ Frac {\ beta _ {n} ^ {(1)} (0)} {n!}}}$

Blagouchine wprowadził liczby G _n ( k ) takie, że

${\ Displaystyle G_ {n} (k) = {\ Frac {1} {n!}} \ suma _ {\ ell = 1} ^ {n} {\ Frac {s (n \ ell)} {\ ell +k}},}$

uzyskali ich funkcję generującą i zbadali ich asymptotyki w szerokim zakresie n . Oczywiście, G _n = G _n (1) . Liczby te są ściśle naprzemienne G _n ( k ) = (-1) ^{n -1} | G _n ( k ) | i zaangażowany w różne rozwinięcia funkcji zeta , stałych Eulera i funkcji poligammy . Inne uogólnienie tego samego rodzaju zaproponował również Komatsu

${\ Displaystyle c_ {n} ^ {(k)} = \ suma _ {\ ell = 0} ^ {n} {\ Frac {s (n, \ ell)} {(\ ell + 1) ^ {k} }},}$

tak, że G _n = c _n ⁽¹⁾ / n ! Liczby c _n ^{( k )} nazwane są przez autora liczbami poli-Cauchy'ego . Coffey definiuje wielomiany

${\ Displaystyle P_ {n + 1} (y) = {\ Frac {1} {n!}} \ int _ {0} ^ {y} x (1-x) (2-x) \ cdots (n- 1-x)\,dx}$

i dlatego | G _n | = P _{n + 1} (1) .

Zobacz też

• Wielomiany Stirlinga
• Wielomiany Bernoulliego drugiego rodzaju

Bibliografia