Twierdzenie Heinego-Cantora - Heine–Cantor theorem

W matematyce The twierdzenie Heinego-Cantor , nazwany Eduard Heine i Georg Cantor , stwierdzono, że jeśli f  : M → N jest funkcją ciągłą dwóch przestrzeni metryczne , a M jest zwarty , a f jest równomiernie ciągły . Ważnym Szczególnym przypadkiem jest to, że każda funkcja ciągła z ograniczonym przedziale domkniętym do liczb rzeczywistych jest jednostajnie ciągła.

Dowód

Załóżmy, że i są dwie przestrzenie metryczne z metrykami i odpowiednio. Załóżmy dalej, że jest ciągła, a że jest zwarty. Chcemy pokazać, że jest jednostajnie ciągła, czyli dla każdego istnieje takie, że dla wszystkich punktów w domenie , oznacza, że . ${\} M displaystyle$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle d_ {M}}$${\ Displaystyle d_ {N}}$${\ Displaystyle f: K \ N}$${\} M displaystyle$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ §> 0}$${\ Displaystyle x, y}$${\} M displaystyle$${\ Displaystyle d_ {} M (x, y) <\} delta$${\ Displaystyle d_ {A} (F (x), F (y)) <\} varepsilon$

Rozwiązać pewne pozytywne . Następnie przez ciągłość, dla dowolnego punktu w naszej domenie , istnieje pozytywny rzeczywistą liczbę taką, że gdy jest w od . ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle X}$${\} M displaystyle$${\ Displaystyle \ delta _ {x} 0>}$${\ Displaystyle d_ {A} (F (x), F (y)) <\ varepsilon / 2}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle \ delta _ {x}}$${\ Displaystyle X}$

Niech będzie otwarte -neighborhood of , czyli zestaw ${\ Displaystyle U_ {x}}$${\ Displaystyle \ delta _ {x} / 2}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle U_ {x} = \ left \ {r \ mid d_ {} M (x, y) <{\ Frac {1} {2}} \ delta _ {x} \ prawo \}}$

Ponieważ każdy punkt jest zawarty w jej postaci własnej , okazuje się, że kolekcja jest pokryciem otwartym . Ponieważ jest zwarta, to pokrywa ma skończoną subcover. Że subcover musi mieć formę ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U_ {x}}$${\ Displaystyle \ {U_ {x} \ mid x \ w M \}}$${\} M displaystyle$${\} M displaystyle$

${\ Displaystyle U_ {x_ {1}} U_ {x_ {2}} \ ldots, U_ {x_ {n}}}$

jakiegoś skończonego zbioru punktów . Każdy z tych zbiorów otwartych jest skojarzony promień . Przejdźmy teraz do zdefiniowania , czyli minimalnego promienia tych zbiorów otwartych. Ponieważ mamy skończoną liczbę dodatnią promieniach, liczba ta jest dobrze zdefiniowana i pozytywne. Możemy teraz pokazać, że to działa dla określenia jednolitej ciągłości. ${\ Displaystyle \ {x_ {1}, {2} x_ \ ldots, x_ {A} \} \ K} podzbiór$${\ Displaystyle \ delta _ {x_ {i}} / 2}$${\ Displaystyle \ Delta = \ _ min {1 \ i \ równoważnik równoważnik n} {\ Frac {1} {2}} \ delta _ {x_ {i}}}$${\ Displaystyle \ §}$${\ Displaystyle \ §}$

Załóżmy, że dla dowolnych dwóch w . Ponieważ zestawy tworzą otwartą (sub) pokrywy naszej przestrzeni , wiemy, że musi znajdować się w jednym z nich, powiedzmy . Następnie mamy, że . Trójkąt Nierówność następnie zakłada, że ${\ Displaystyle d_ {} M (x, y) <\} delta$${\ Displaystyle x, y}$${\} M displaystyle$${\ Displaystyle U_ {x_ {i}}}$${\} M displaystyle$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U_ {x_ {i}}}$${\ Displaystyle d_ {} M (x, x_ {i}) <{\ Frac {1} {2}} \ delta _ {x_ {i}}}$

${\ Displaystyle d_ {M} (x_ {i}, r) \ równoważnik d_ {M} (x_ {i} x) + d_ {M} (x, y) <{\ Frac {1} {2}} \ delta _ {x_ {i}} + \ § \ równoważnik \ delta _ {x_ {i}}}$

co oznacza, że i to zarówno co najwyżej z dala od . Z definicji oznacza to, że i to zarówno poniżej . Stosując następnie nierówność trójkąta otrzymuje się pożądany ${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle \ delta _ {x_ {i}}}$${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle \ delta _ {x_ {i}}}$${\ Displaystyle d_ {A} (f (x_ {i}), F (x))}$${\ Displaystyle d_ {A} (f (x_ {i}), F (y))}$${\ Displaystyle \ varepsilon / 2}$

${\ Displaystyle d_ {A} (F (x), F (y)) \ równoważnik d_ {A} (f (x_ {i}), F (x)) + d_ {A} (f (x_ {i} ), f (y)) <{\ Frac {1} {2}} \ varepsilon + {\ Frac {1} {2}} \ varepsilon = \ varepsilon}$

Alternatywnego dowodu w przypadku zamkniętego przedziału, zobacz artykuł o niestandardowym rachunku . ${\ Displaystyle K = [a, b]}$

Linki zewnętrzne

• „Twierdzenie Heinego-Cantora” . PlanetMath .
• „Dowód Twierdzenie Heinego-Cantora” . PlanetMath .