Kula wzgórza - Hill sphere
Część serii na |
Astrodynamika |
---|
Strefa Hilla o astronomicznej ciała jest regionem, w którym dominuje przyciąganie satelitów . Zewnętrzna powłoka tego obszaru stanowi powierzchnię o zerowej prędkości . Aby zostać zatrzymanym przez planetę , księżyc musi mieć orbitę leżącą w sferze wzgórza planety. Ten księżyc miałby z kolei własną sferę wzgórza. Każdy obiekt w tej odległości miałby tendencję do stawania się satelitą księżyca, a nie samej planety. Jednym prostym spojrzeniem na zasięg Układu Słonecznego jest sfera wzgórza Słońca w odniesieniu do lokalnych gwiazd i jądra galaktyki .
Mówiąc dokładniej, sfera wzgórza zbliża się do grawitacyjnej sfery oddziaływania mniejszego ciała w obliczu perturbacji masywniejszego ciała. Został zdefiniowany przez amerykańskiego astronoma George'a Williama Hilla na podstawie pracy francuskiego astronoma Édouarda Roche'a .
W przykładzie po prawej sfera Wzgórza Ziemi rozciąga się pomiędzy punktami Lagrange'a L 1 i L 2 , które leżą wzdłuż linii środków dwóch ciał (Ziemi i Słońca). Obszar oddziaływania drugiego ciała jest w tym kierunku najkrótszy, a więc działa jako czynnik ograniczający wielkość sfery wzgórza. Powyżej tej odległości trzeci obiekt na orbicie wokół drugiego (np. Księżyc) spędziłby przynajmniej część swojej orbity poza sferą Wzgórza i byłby stopniowo zaburzany przez siły pływowe ciała centralnego (np. Słońca), ostatecznie kończąc na orbicie tego ostatniego.
Wzór i przykłady
Jeżeli masa mniejszych ciała (np Ziemia) jest , i to okrąża cięższe ciało (np słońca) masy o wielkiej półosi i ekscentryczności z , następnie promień wzgórza sferze mniejszego ciała, obliczona w perycentrum , wynosi w przybliżeniu
Kiedy mimośród jest nieistotny (najkorzystniejszy przypadek stabilności orbity), staje się to
W przykładzie Ziemia-Słońce Ziemia (5,97×10 24 kg) krąży wokół Słońca (1,99×10 30 kg) w odległości 149,6 mln km, czyli jednej jednostki astronomicznej (AU). Sfera wzgórza dla Ziemi rozciąga się zatem na około 1,5 miliona km (0,01 j.a.). Orbita Księżyca, w odległości 0,384 mln km od Ziemi, znajduje się wygodnie w grawitacyjnej sferze wpływu Ziemi i dlatego nie jest zagrożona wciągnięciem go na niezależną orbitę wokół Słońca. Wszystkie stabilne satelity Ziemi (te w sferze Wzgórza Ziemi) muszą mieć okres orbitalny krótszy niż siedem miesięcy.
Poprzednią formułę (z pominięciem ekscentryczności) można powtórzyć w następujący sposób:
Wyraża to stosunek w kategoriach objętości kuli wzgórza w porównaniu z objętością orbity drugiego ciała wokół pierwszego; w szczególności stosunek mas jest trzykrotnością stosunku objętości tych dwóch sfer.
Pochodzenie
Wyrażenie na promień Hilla można znaleźć przez zrównanie sił grawitacyjnych i odśrodkowych działających na badaną cząstkę (o masie znacznie mniejszej niż ) krążącą wokół ciała wtórnego. Załóżmy, że odległość między masami i wynosi , oraz że badana cząstka krąży w pewnej odległości od wtórnej. Gdy badana cząstka znajduje się na linii łączącej korpus pierwotny i wtórny, równowaga sił wymaga tego
gdzie jest stałą grawitacyjną i jest ( keplerowską ) prędkością kątową wtórnego względem pierwotnego (zakładając, że ). Powyższe równanie można również zapisać jako
które poprzez rozwinięcie dwumianowe do porządku wiodącego w , można zapisać jako
Stąd relacja opisana powyżej
Jeśli orbita wtórnej wokół pierwotnej jest eliptyczna, promień Hilla jest maksymalny w apocentrum , gdzie jest największy, a minimalny w perycentrum orbity. Dlatego dla celów stabilności cząstek testowych (na przykład małych satelitów) należy wziąć pod uwagę promień wzgórza w odległości perycentrum. W porządku wiodącym w , promień wzgórza powyżej reprezentuje również odległość punktu Lagrange'a L 1 od drugorzędnego.
Szybki sposób na oszacowanie promienia kuli Hilla wynika z zamiany masy na gęstość w powyższym równaniu:
gdzie i są średnimi gęstościami ciał pierwotnych i wtórnych oraz są ich promieniami. Drugie przybliżenie jest uzasadnione faktem, że w większości przypadków w Układzie Słonecznym jest blisko jedności. (Największym wyjątkiem jest układ Ziemia-Księżyc, a przybliżenie to mieści się w granicach 20% dla większości satelitów Saturna.) Jest to również wygodne, ponieważ wielu astronomów planetarnych pracuje i pamięta odległości w jednostkach promieni planetarnych.
Prawdziwy region stabilności
Sfera Hilla jest tylko przybliżeniem, a inne siły (takie jak ciśnienie promieniowania lub efekt Yarkovsky'ego ) mogą w końcu wytrącić obiekt ze sfery. Ten trzeci obiekt również powinien mieć wystarczająco małą masę, aby nie wprowadzał żadnych dodatkowych komplikacji poprzez swoją własną grawitację. Szczegółowe obliczenia numeryczne pokazują, że orbity w sferze Hilla lub w jej obrębie nie są stabilne w dłuższej perspektywie; wydaje się, że stabilne orbity satelitów istnieją tylko w 1/2 do 1/3 promienia Hilla. Region stabilności dla orbit wstecznych znajdujących się w dużej odległości od pierwotnego jest większy niż region dla orbit postępowych znajdujących się w dużej odległości od pierwotnego. Uważano, że wyjaśnia to przewagę księżyców wstecznych wokół Jowisza; jednak Saturn ma bardziej równomierną mieszankę księżyców wstecznych i postępujących, więc przyczyny są bardziej skomplikowane.
Dalsze przykłady
Astronauta nie mógł krążyć wokół promu kosmicznego (o masie 104 ton ), którego orbita znajdowała się 300 km nad Ziemią, ponieważ jego sfera Hill na tej wysokości miała promień zaledwie 120 cm, znacznie mniejszy niż sam prom. Kula tej wielkości i masy byłaby gęstsza niż ołów. W rzeczywistości, na każdej niskiej orbicie okołoziemskiej , ciało kuliste musi być gęstsze niż ołów , aby zmieścić się we własnej kuli Wzgórza, w przeciwnym razie nie będzie w stanie utrzymać orbity. Jednak sferyczny satelita geostacjonarny musiałby mieć tylko więcej niż 6% gęstości wody, aby wspierać własne satelity.
W Układzie Słonecznym planetą o największym promieniu wzgórza jest Neptun o 116 milionach km, czyli 0,775 ja; jego duża odległość od Słońca w dużym stopniu kompensuje jego małą masę w stosunku do Jowisza (którego promień wzgórza wynosi 53 miliony km). Planetoida z pasa planetoid będzie miał Strefa Hilla, który może osiągnąć 220.000 km (dla 1 Ceres ), gwałtownie maleje wraz ze zmniejszaniem się masy. Sfera wzgórza 66391 Moshup , asteroidy przecinającej Merkurego, która ma księżyc (o nazwie Squannit), ma promień 22 km.
Typowy pozasłoneczny „ gorący Jowisz ”, HD 209458 b , ma promień sfery Hilla wynoszący 593 000 km, czyli około ośmiokrotność promienia fizycznego wynoszącego około 71 000 km. Nawet najmniejsza bliska planeta pozasłoneczna, CoRoT-7b , wciąż ma promień sfery Hilla (61 000 km), sześciokrotnie większy od promienia fizycznego (około 10 000 km). Dlatego te planety mogą mieć małe księżyce blisko siebie, choć nie mieszczące się w ich odpowiednich granicach Roche'a .
Układ Słoneczny
Poniższa tabela i wykres logarytmiczny pokazują promień sfer Hill niektórych ciał Układu Słonecznego obliczony według pierwszego wzoru podanego powyżej (w tym ekscentryczności orbity), przy użyciu wartości uzyskanych z efemeryd JPL DE405 oraz ze strony internetowej NASA Solar System Exploration.
|
Zobacz też
- Międzyplanetarna Sieć Transportowa
- n -problem z ciałem
- Sfera wpływów (astrodynamika)
- Sfera wpływów (czarna dziura)
- Roche Lobe