Operator gwiazdy Hodge'a - Hodge star operator

W matematyce The operator gwiazda Hodge lub Hodge gwiazda jest przekształcenie liniowe określone na zewnątrz algebry skończonej-wymiarowej zorientowanej przestrzeni wektorowej obdarzoną niezdegenerowane symetrycznego forma dwuliniowa . Zastosowanie operatora do elementu algebry daje w wyniku dualizm Hodge'a tego elementu. Ta mapa została wprowadzona przez WVD Hodge'a .

Na przykład w zorientowanej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej zorientowana płaszczyzna może być reprezentowana przez iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów bazowych, a jej dualizm Hodge'a jest wektorem normalnym danym przez ich iloczyn poprzeczny ; i odwrotnie, każdy wektor jest podwójny do zorientowanej płaszczyzny prostopadłej do niego, wyposażonej w odpowiedni dwuwektor. Uogólniając to na n- wymiarową przestrzeń wektorową, gwiazda Hodge'a jest odwzorowaniem jeden do jednego k -wektorów na ( n – k ) -wektorów; wymiary tych przestrzeni są współczynnikami dwumianowymi . ${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {k}} = {\ tbinom {n} {nk}}}$

Naturalność gwiazdy pomocą operator może odgrywać rolę w geometrii różniczkowej, po nałożeniu na cotangens wiązkę z kolektorem pseudo-Riemanna , a tym samym różnica k -forms . Pozwala to na zdefiniowanie współdyferencjału jako sprzężenia Hodge'a pochodnej zewnętrznej , prowadzącej do operatora Laplace'a-de Rhama . Uogólnia to przypadek trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, w której rozbieżność pola wektorowego może być zrealizowana jako współróżniczkowa przeciwieństwo operatora gradientu , a operator Laplace'a na funkcji jest rozbieżnością jej gradientu. Ważnym zastosowaniem jest rozkład Hodge'a form różniczkowych na zamkniętej rozmaitości riemannowskiej.

Formalna definicja k -wektorów

Niech V będzie n- wymiarową przestrzenią wektorową z niezdegenerowaną symetryczną postacią dwuliniową , nazywaną tu iloczynem skalarnym . To indukuje iloczyn skalarny na k -wektorach , dla , definiując go na rozkładalnych k -wektorach i równym wyznacznikowi Grama${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }$ ${\textstyle \alpha ,\beta \in \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\ Displaystyle \ alfa = \ alfa _ {1} \ klin \ cdots \ klin \ alfa _ {k}}$${\ Displaystyle \ beta = \ beta _ {1} \ klin \ cdots \ klin \ beta _ {k}}$

${\ Displaystyle \ langle \ alfa \ beta \ rangle = \ det \ lewo (\ lewo \ langle \ alfa _ {i} \ beta _ {j} \ prawo \ rangle _ {i, j = 1} ^ {k }\Prawidłowy)}$

rozszerzone do poprzez liniowość. ${\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$

Urządzenie n -wektor definiowany jest zorientowanej ortonormalnych oparciu o V jako: ${\ Displaystyle \ omega \ w {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! n} V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots,e_{n}\}}$

${\ Displaystyle \ omega \ : = \ e_ {1} \ klin \ cdots \ klin e_ {n}.}$

Operatora gwiazda Hodge jest operatorem liniowym na zewnątrz Algebra z V , mapowanie k -vectors do ( n - k ) -vectors na . Ma następującą właściwość, która całkowicie go definiuje: ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\ Displaystyle \ alfa \ klin ({\ gwiazda} \ beta) = \ langle \ alfa \ beta \ rangle \ \ omega}$dla każdej pary k -wektorów${\ Displaystyle \ alfa \ beta \ w {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V.}$

Podwójnie w przestrzeni z n -forms (naprzemiennie n -multilinear funkcji ON ), podwójny na to postać objętość , funkcja którego wartość od jest determinanta na matrycy zmontowane ze wektorów kolumny w -coordinates. ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! n} V ^ {*}}$${\ Displaystyle V ^ {n}}$${\ Displaystyle \ omega}$ ${\displaystyle \det}$${\ Displaystyle V_ {1} \ klin \ cdots \ klin V_ {n}}$${\displaystyle n\razy n}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

Stosując się do powyższego równania otrzymujemy podwójną definicję: ${\displaystyle \det}$

${\ Displaystyle \ det (\ alfa \ klin {\ gwiazda} \ beta) = \ langle \ alfa \ beta \ rangle.}$

lub równoważnie, biorąc , , i : ${\ Displaystyle \ alfa = \ alfa _ {1} \ klin \ cdots \ klin \ alfa _ {k}}$${\ Displaystyle \ beta = \ beta _ {1} \ klin \ cdots \ klin \ beta _ {k}}$${\ Displaystyle \ gwiazda \ beta = \ beta _ {1} ^ {\ gwiazda} \ klin \ cdots \ klin \ beta _ {nk} ^ {\ gwiazda}}$

${\ Displaystyle \ DET \ lewo (\ alfa _ {1} \ klin \ cdots \ klin \ alfa _ {k} \ klin \ beta _ {1} ^ {\ gwiazda} \ klin \ cdots \ klin \ beta _ {nk }^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}$

Oznacza to, że pisania ortonormalną bazę k -vectors jak na wszystkich podzbiorów w The Hodge podwójnego IS ( n - K )-wektor odpowiadający komplementarny zestaw : ${\ Displaystyle e_ {I} \ = \ e_ {i_ {1}} \ klin \ cdots \ klin e_ {i_ {k}}}$${\ Displaystyle I = \ {i_ {1}< \ cdots <i_ {k} \}}$${\displaystyle [n]=\{1,\ldots,n\}}$${\ Displaystyle {\ bar {ja}} = [n] \ setminus I = \ lewo \ {{\ bar {i}} _ {1}< \ cdots < {\ bar {i}} _ {nk} \ prawo \}}$

${\ Displaystyle {\ gwiazda} e_ {ja} = (-1) ^ {\ sigma (ja)} e_ {\ bar {ja}}}$

gdzie jest znak permutacji . ${\ Displaystyle (-1) ^ {\ sigma (I)}}$${\ Displaystyle \ sigma (I) = i_ {1} \ cdots i_ {k} {\ bar {i}} _ {1} \ cdots {\ bar {i}} _ {nk}}$

Ponieważ gwiazda Hodge'a przyjmuje bazę ortonormalną do bazy ortonormalnej, jest to izometria zewnętrznej algebry . ${\textstyle \duży klin V}$

Wyjaśnienie geometryczne

Gwiazda Hodge'a jest motywowana zależnością między podprzestrzenią W od V a jej ortogonalną podprzestrzenią (w odniesieniu do iloczynu skalarnego), gdzie każda przestrzeń jest obdarzona orientacją i liczbowym współczynnikiem skalowania. W szczególności niezerowy rozkładalny k -wektor odpowiada przez zanurzenie Plückera w podprzestrzeni o zorientowanej bazie , obdarzonym współczynnikiem skalowania równym k- wymiarowej objętości równoległościanu rozpiętej przez tę bazę (równą Gramianowi , wyznacznikowi macierz produktów wewnętrznych ). Gwiazdę Hodge'a działającą na rozkładalny wektor można zapisać jako rozkładalny ( n − k )-wektor: ${\ Displaystyle w_ {1} \ klin \ cdots \ klin w_ {k} \ w \ textstyle \ bigwedge ^ {\! k} V}$${\ Displaystyle W}$${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{k}}$${\ Displaystyle \ langle w_ {i}, w_ {j} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ gwiazda (w_ {1} \ klin \ cdots \ klin w_ {k}) \, = \, u_ {1} \ klin \ cdots \ klin u_ {nk}}$

gdzie tworzą zorientowaną podstawę przestrzeni ortogonalnej . Co więcej, ( n − k )-objętość -parallelepiped musi być równa k -volume -parallelepiped i musi tworzyć zorientowaną podstawę V . ${\displaystyle u_{1},\ldots,u_{nk}}$ ${\ Displaystyle U = W ^ {\ sprawca} \!}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{k},u_{1},\ldots,u_{nk}}$

Ogólny wektor k jest liniową kombinacją rozkładających się k -wektorów, a definicja gwiazdy Hodge'a została rozszerzona na ogólne k -wektory poprzez zdefiniowanie jej jako liniowej.

Przykłady

Dwa wymiary

W dwóch wymiarach ze znormalizowaną metryką euklidesową i orientacją podaną przez uporządkowanie ( x , y ) , gwiazda Hodge'a na k- formach jest dana wzorem

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ gwiazda} \ 1 i = dx \ klin dy \ \ {\ gwiazda} \ dx i = dy \ \ {\ gwiazda} \ dy & =-dx \ \ {\ gwiazda} (dx\wedge dy)&=1.\end{wyrównany}}}$

Na płaszczyźnie zespolonej uważanej za rzeczywistą przestrzeń wektorową ze standardową formą półtoraliniową jako metryką, gwiazda Hodge ma niezwykłą właściwość polegającą na tym, że jest niezmienna przy holomorficznych zmianach współrzędnych. Jeśli z = x + iy jest funkcją holomorficzną w = u + iv , to z równań Cauchy-Riemanna mamy, że ∂ x/∂ u = ∂ y/∂ v oraz ∂ y/∂ u = −∂ x/∂ v. W nowych współrzędnych

${\ Displaystyle \ alfa \ =\ p \ dx + q \ dy \ = \ \ lewo (p {\ Frac {\ częściowy x} {\ częściowy u}} + q {\ Frac {\ częściowy y} {\ częściowe u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\częściowy x}{\częściowy v}}+q{\frac {\częściowy y}{\częściowy v}}\right)\,dv \ =\ p_{1}du+q_{1}\,dv,}$

aby

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ gwiazda} \ alfa &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\lewo (p{\frac {\ częściowy x}{\częściowy v}}+q{\frac {\częściowy y}{\częściowy v}}\right)du+\left(p{\frac {\częściowy x}{\częściowy u}}+q{ \frac {\częściowy y}{\częściowy u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\częściowy x}{\częściowy u}}du+{\frac {\częściowy x}{\częściowy v}}dv\right)+p\left({\frac {\częściowy r}{\częściowy u}}du+{\frac {\częściowy r}{\częściowy v}}dv\prawy) \\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}$

udowodnienie zgłoszonej niezmienności.

Trzy wymiary

Typowym przykładem operatora gwiazdy Hodge'a jest przypadek n = 3 , w którym można go przyjąć jako zgodność między wektorami i dwuwektorami. W szczególności dla euklidesowego R ³ na podstawie form jedności często używanych w rachunku wektorowym stwierdza się, że ${\displaystyle dx,dy,dz}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ gwiazda} \ dx & = dy \ klin dz \ \ {\ gwiazda} \ dy & = dz \ klin dx \ \ {\ gwiazda} \ dz & = dx \ klin dy. \end{wyrównany}}}$

Gwiazda Hodge odnosi się do wyglądu zewnętrznego i produktu krzyżowego w trzech wymiarach:

${\displaystyle {\gwiazda}(\mathbf {u} \klin \mathbf {v} )=\mathbf {u} \razy \mathbf {v} \qquad {\gwiazda}(\mathbf {u} \razy \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$

W trzech wymiarach gwiazda Hodge zapewnia izomorfizm między wektorami osiowymi i dwuwektorami , więc każdy wektor osiowy a jest powiązany z dwuwektorem A i odwrotnie, czyli: . Gwiazdę Hodge'a można również interpretować jako formę geometrycznej zgodności między osią a nieskończenie małym obrotem wokół osi, z prędkością równą długości wektora osi. Iloczyn skalarny na przestrzeni wektorowej daje izomorfizm identyfikujący się z jego przestrzenią dualną , a przestrzeń wszystkich operatorów liniowych jest naturalnie izomorficzna z iloczynem tensorowym . W ten sposób mapowanie gwiazd przenosi każdy wektor do dwuwektora , który odpowiada operatorowi liniowemu . W szczególności jest to operator skośno-symetryczny , który odpowiada nieskończenie małemu obrotowi : to znaczy, makroskopowe obroty wokół osi są podane przez macierz wykładniczą . W stosunku do podstawy w , tensora odpowiada macierzy współrzędnych, 1 w rzędzie i kolumny, etc., a klin jest skośna symetrycznych macierzy itp To może interpretować operatora gwiazdy jako:${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ gwiazda} \ mathbf {a}, \ \ \ mathbf {a} = {\ gwiazda} \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V \ cong V ^ {*} \!}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle L: V \ do V}$ ${\ Displaystyle V ^ {*} \! \! \ otimes V \ cong V \ otimes V}$${\ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ gwiazda: V \ do \ bigwedge ^ {\! 2} \! V \ podzbiór V \ czasami V}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ gwiazda \ mathbf {v} \ w V \ otimes V}$${\ Displaystyle L_ {\ mathbf {v}}: V \ do V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v}}}$${\displaystyle \mathbb {v}}$ ${\ Displaystyle \ exp (tL_ {\ mathbf {v}})}$${\displaystyle dx,dy,dz}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\displaystyle dx\otimes dy}$${\displaystyle dx}$${\ Displaystyle dy}$${\ Displaystyle dx \ klin dy \, = \, dx \ otimes dy-dy \ otimes dx}$${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin {array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\ !\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\! \\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{tablica }}\!\!\!\Prawidłowy]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = a \ dx + b \ dy + c \ dz \ quad \ longrightarrow \ quad \ star {\ mathbf {v}} \ \ cong \ L_ {\ mathbf {v}} \ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$

W ramach tej korespondencji iloczyn poprzeczny wektorów odpowiada komutatorowi nawias Lie operatorów liniowych: . ${\ Displaystyle L_ {\ mathbf {u} \ razy \ mathbf {v} } = L_ {\ mathbf {u}} L_ {\ mathbf {v}}-L_ {\ mathbf {v}} L_ {\ mathbf {u } }}$

Cztery wymiary

W przypadku , gwiazda Hodge działa jako endomorfizm drugiej potęgi zewnętrznej (tzn. odwzorowuje 2-formy na 2-formy, ponieważ 4 − 2 = 2 ). Jeśli sygnatura tensora metrycznego jest w całości dodatnia, tj. na rozmaitości riemannowskiej , to gwiazda Hodge'a jest inwolucją . Jeśli podpis jest mieszany, tj. pseudo-Riemannowski , to aplikacja dwukrotnie zwróci argument aż do znaku – patrz § Duality poniżej. Ta szczególna właściwość endomorfizmu 2-form w czterech wymiarach sprawia, że auto-dualizm i anty-samo-dwoistość dwóch form jest naturalnymi obiektami geometrycznymi do badania. Oznacza to, że można opisać przestrzeń dwupostaci w czterech wymiarach na podstawie bazy, która „diagonizuje” operację gwiazdy Hodge'a wartościami własnymi (lub , w zależności od sygnatury). ${\displaystyle n=4}$${\ Displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle \ pm ja}$

Dla konkretności omówimy Hodge dual w czasoprzestrzeni Minkowskiego, gdzie z podpisem metrycznym i współrzędnymi . Forma objętości jest zorientowana jako . Dla jednoformularzy , ${\displaystyle n=4}$${\ Displaystyle (-+++)}$${\displaystyle (t,x,y,z)}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {0123} = 1}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ gwiazda dt & = -dx \ klin dy \ klin dz \ , \ \ \ gwiazda dx & =-dt \ klin dy \ klin dz \ \ \ \ gwiazda dy & = dt \ klin dx\wedge dz\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$

natomiast dla 2-formularzy ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ gwiazda (dt \ dx klina) i = dy \ dz klina \ , \ \ \ gwiazda (dt \ dy klina) & = - dz \ dx klina \ \ \ \ \ gwiazda (dt\klin dz)&=-dx\klin dy\,,\\\star (dx\klin dy)&=dt\klin dz\,,\\\star (dx\klin dz)&=-dt \wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$

Są one podsumowane w notacji indeksu jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ gwiazda (dx ^ {\ mu}) i = \ eta ^ {\ mu \ lambda} \ varepsilon _ {\ lambda \ nu \ rho \ sigma} {\ Frac {1} { 3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })& =\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\ klin dx^{\sigma }\,.\end{wyrównany}}}$

Hodge dual dla trzech i czterech form można łatwo wywnioskować z faktu, że w sygnaturze Lorentza dla form o nieparzystym i parzystym poziomie. Prostą zasadą do zapamiętania dla tych operacji Hodge'a jest to, że biorąc pod uwagę formę , jej dual Hodge'a można uzyskać, zapisując komponenty, które nie są zaangażowane w taką kolejność, że . Dodatkowy znak minus zostanie wprowadzony tylko wtedy, gdy zawiera . (Na (+ - - -) , jeden wykłada znakiem minus tylko wtedy, gdy wiąże się z nieparzystej liczby form przestrzennych związany , i ). ${\ Displaystyle (\ gwiazda) ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle (\ gwiazda) ^ {2} = -1}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle {\gwiazda}\alfa}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ alfa \ klin (\ gwiazda \ alfa) = dt \ klin dx \ klin dy \ klin dz}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle dt}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle dx}$${\ Displaystyle dy}$${\displaystyle dz}$

Zauważ, że kombinacje

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (dx ^ {\ mu} \ klin dx ^ {\ nu}) ^ {\ pm}: = {\ Frac {1} {2}} {\ duży (} dx ^ { \mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}\end{wyrównany}}}$

przyjmuje jako wartość własną dla Hodge dual, tj. ${\ Displaystyle \ pm ja}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ gwiazda (dx ^ {\ mu} \ klin dx ^ {\ nu}) ^ {\ pm} = \ pm ja (dx ^ {\ mu} \ klin dx ^ {\ nu })^{\pm }\,,\end{wyrównany}}}$

i dlatego zasługują na miano „samo-dwoistości” i „przeciw-samo-dwoistości” dwóch form. Zrozumienie geometrii lub kinematyki czasoprzestrzeni Minkowskiego w sektorach self-dual i anti-self-dual okazuje się być wnikliwe zarówno z perspektywy matematycznej, jak i fizycznej , nawiązując kontakt z użyciem języka dwóch spinorów we współczesnej fizyce, takiej jak spinor. -formalizm helicity lub teoria twistora .

Niezmienność konformalna

Gwiazda Hodge'a jest konformalnie niezmienna w n formach na 2n-wymiarowej przestrzeni wektorowej V, tj. jeśli jest metryką na i , to indukowane gwiazdy Hodge'a ${\displaystyle g}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ lambda > 0}$

${\ Displaystyle \ gwiazda _ {g} \ gwiazda _ {\ lambda g} \ okrężnica \ Lambda ^ {n} V \ do \ Lambda ^ {n} V}$

są takie same.

Przykład: pochodne w trzech wymiarach

Połączenie operatora i zewnętrznej pochodnej d generuje operatory klasyczne grad , curl i div na polach wektorowych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Działa to w następujący sposób: d przyjmuje formę 0 (funkcję) do formy 1, formę 1 do formy 2 i formę 2 do formy 3 (i przyjmuje formę 3 do zero). Dla formy 0 pierwszy przypadek wypisany w komponentach daje: ${\displaystyle \gwiazda}$ ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$

${\ Displaystyle df = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} \ dx + {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy y}} \ dy + {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy z}}\,dz.}$

Iloczyn skalarny identyfikuje 1-formy z polami wektorowymi jako , itd., więc staje się . ${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$${\displaystyle df}$${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\częściowy f}{\częściowy x}},{\frac {\częściowy f}{\częściowy y}},{\frac {\częściowy f }{\częściowy z}}\prawo)}$

W drugim przypadku pole wektorowe odpowiada postaci 1 , która ma pochodną zewnętrzną: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (A, B, C)}$${\ Displaystyle \ varphi = A \ dx + B \ dy + C \ dz}$

${\ Displaystyle d \ varphi = \ lewo ({\ Frac {\ częściowy C} {\ częściowy r}} - {\ Frac {\ częściowy B} {\ częściowy z}} \ prawej) dy \ klin dz + \ lewo ({ \frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{ \frac {\częściowy A}{\częściowy y}}\prawo)dx\wedge dy.}$

Nałożenie gwiazdy Hodge daje formę 1:

${\ Displaystyle \ gwiazda d \ varphi = \ lewo ({\ częściowe C \ nad \ częściowe Y} - {\ częściowe B \ nad \ częściowe z} \ po prawej) \ dx - \ lewo ({\ częściowe C \ nad \ częściowy x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz ,}$

które staje się polem wektorowym . ${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\częściowy C}{\częściowy y}}-{\frac {\częściowy B}{\częściowy z}},\,- {\frac {\częściowy C}{\częściowy x}}+{\frac {\częściowy A}{\częściowy z}},\,{\frac {\częściowy B}{\częściowy x}}-{\frac {\częściowy A}{\częściowy y}}\prawo)}$

W trzecim przypadku ponownie odpowiada . Ponownie zastosuj gwiazdę Hodge'a, zewnętrzną pochodną i gwiazdę Hodge'a: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (A, B, C)}$${\ Displaystyle \ varphi = A \ dx + B \ dy + C \ dz}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ gwiazda \ varphi & = A \ dy \ klin dz-B \ dx \ klin dz + C \ dx \ klin dy \ \ d {\ gwiazda \ varphi } & = \left({\frac {\częściowy A}{\częściowy x}}+{\frac {\częściowy B}{\częściowy y}}+{\frac {\częściowy C}{\częściowy z}}\right) dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\częściowy x}}+{\frac {\partial B}{\częściowy y}} +{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$

Jedną z zalet tego wyrażenia jest to, że tożsamość d ² = 0 , która jest prawdziwa we wszystkich przypadkach, ma jako szczególne przypadki dwie inne tożsamości: 1) curl grad f = 0 i 2) div curl F = 0 . W szczególności równania Maxwella przybierają szczególnie prostą i elegancką formę, gdy są wyrażone w postaci zewnętrznej pochodnej i gwiazdy Hodge'a. Wyrażenie (pomnożone przez odpowiednią potęgę -1) nazywa się współróżniczką ; jest on zdefiniowany w pełnej ogólności, dla dowolnego wymiaru, w dalszej części artykułu poniżej. ${\displaystyle \gwiazda d\gwiazda}$

Można również otrzymać laplacejskie Δ  f  = div grad  f w zakresie powyższych operacji:

${\ Displaystyle \ Delta f = \ gwiazda d {\ gwiazda df} = {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f} {\ częściowy x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f }{\częściowy y^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy z^{2}}}.}$

Laplace'a można również postrzegać jako szczególny przypadek bardziej ogólnego operatora Laplace'a-deRhama, gdzie jest współróżniczką dla form. Każda funkcja jest formą zerową, a więc sprowadza się to do zwykłego Laplace'a. Dla 1-formy powyżej, codifferential się i po pewnym wtyczki i chug , otrzymuje się działając na Laplace'a . ${\ Displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$${\ Displaystyle \ delta = (-1) ^ {k} \ gwiazda d \ gwiazda}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ delta f = 0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \delta =-\gwiazda d\gwiazda}$${\displaystyle \varphi}$

Dwoistość

Dwukrotne przyłożenie gwiazdy Hodge'a pozostawia k -wektor niezmieniony z wyjątkiem jego znaku: w n- wymiarowej przestrzeni V , mamy ${\ Displaystyle \ eta \ w {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} V}$

${\ Displaystyle {\ gwiazda} {\ gwiazda} \ eta = (-1) ^ {k (nk)} s \ eta,}$

gdzie s jest parzystością sygnatury iloczynu skalarnego na V , czyli znakiem wyznacznika macierzy iloczynu skalarnego względem dowolnej podstawy. Na przykład, jeśli n = 4, a sygnatura iloczynu skalarnego to (+ − − −) lub (− + + +), to s = −1 . Dla rozmaitości riemannowskich (w tym przestrzeni euklidesowych) zawsze mamy s = 1 .

Powyższa tożsamość implikuje, że odwrotność może być podana jako ${\displaystyle \gwiazda}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ gwiazda} ^ {-1}: ~ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V i \ do {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! nk} V \ \ \eta &\mapsto (-1)^{k(nk)}\!s{\star }\eta \end{aligned}}}$

Jeśli n jest nieparzyste, to k ( n − k ) jest parzyste dla dowolnego k , natomiast jeśli n jest parzyste, to k ( n − k ) ma parzystość k . W związku z tym:

${\ Displaystyle {\ gwiazda} ^ {-1} = {\ zacząć {przypadki} s {\ gwiazda} i n {\ tekst {jest dziwny}} \ \ (-1) ^ {k} s {\ gwiazda} i n { \text{ jest parzysty}}\end{cases}}}$

gdzie k jest stopniem operowanego elementu.

Na kolektorach

Dla n -wymiarowej zorientowanej rozmaitość pseudoriemannowska M , stosujemy konstrukcję powyżej do każdej przestrzeni cotangens i jej zewnętrznych kompetencji , a więc do różnicy k -forms Z globalnych sekcjach w wiązce . Metryka Riemanna indukuje iloczyn skalarny w każdym punkcie . Definiujemy Hodge Podwójny z k postać a , określając jako unikalnego ( n - k ) postać a spełniającej ${\ Displaystyle {\ tekst {T}} _ {p} ^ {*} M}$${\ Displaystyle \ klin ^ {k} {\ tekst {T}} _ {p} ^ {*} M}$ ${\ Displaystyle \ zeta \ w \ Omega ^ {k} (M) = \ Gamma \ lewo (\ klin ^ {k} {\ tekst {T}} ^ {*} \! M \ prawej)}$ ${\ Displaystyle \ klin ^ {k} \ operatorname {T} ^ {*} \! M \ do M}$${\ Displaystyle \ klin ^ {k} {\ tekst {T}} _ {p} ^ {*} M}$${\ Displaystyle p \ w M}$ ${\ Displaystyle \ zeta}$${\displaystyle {\gwiazda}\zeta}$

${\ Displaystyle \eta \ klin {\ gwiazda} \ zeta \ = \ \ langle \ eta \ zeta \ rangle \ \ omega}$

dla każdego k -form , gdzie jest funkcją o wartościach rzeczywistych on , a forma objętości jest indukowana przez metrykę Riemanna. Całkując to równanie przez , prawa strona staje się ( całkowalnym do kwadratu ) iloczynem skalarnym na k -formach , i otrzymujemy: ${\displaystyle \eta}$${\ Displaystyle \ langle \ eta \ zeta \ rangle }$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ int _ {M} \ eta \ klin {\ gwiazda} \ zeta \ = \ \ langle \! \ langle \ eta \ zeta \ rangle \! \ rangle.}$

Bardziej ogólnie, jeśli nie jest zorientowana, można zdefiniować gwiazdę Hodge'a w k-formie jako ( n – k )- pseudo różniczkową ; czyli forma różniczkowa z wartościami w kanonicznej wiązce liniowej . ${\ Displaystyle M}$

Obliczanie w notacji indeksowej

Obliczamy w kategoriach notacji indeksu tensorowego względem bazy (niekoniecznie ortonormalnej) w przestrzeni stycznej i jej bazy podwójnej w , mającej macierz metryczną i jej macierz odwrotną . Dual Hodge'a rozkładającej się formy k to: ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$${\ Displaystyle V = T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ {dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n} \}}$${\ Displaystyle V ^ {*} = T_ {p} ^ {*} M}$${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\częściowy }{\częściowy x_{i}}},{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{j}}} \w prawo\rangle \w prawo)}$${\ Displaystyle (g ^ {ij}) = (\ langle dx_ {i}, dx_ {j} \ rangle)}$

${\ Displaystyle \ gwiazda \ lewo (dx ^ {i_ {1}} \ klin \ kropki \ klin dx ^ {i_ {k}} \ po prawej) \ = \ {\ Frac {\ sqrt {| \ det [g_ {AB} }]|}}{(nk)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{ n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$

Tutaj jest symbol Levi-Civita z , i my bezwarunkowo przyjąć sumę ponad wszystkich wartości powtarzających się indeksów . Silnia uwzględnia podwójne liczenie i nie występuje, jeśli wskaźniki sumowania są ograniczone tak, że . Wartość bezwzględna wyznacznika jest konieczna, ponieważ może być ujemna, jak dla przestrzeni stycznych do rozmaitości lorentzowskich . ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {j_ {1} \ kropki j_ {n}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {1 \ kropki n} = 1}$${\displaystyle j_{1},\ldots,j_{n}}$${\displaystyle (nk)!}$${\displaystyle j_{k+1}<\kropki <j_{n}}$

Dowolną formę różniczkową można zapisać w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ alfa \ = \ {\ Frac {1} {k!}} \ alfa _ {i_ {1}, \ kropki, i_ {k}} dx ^ {i_ {1}} \ klin \ kropki \ klin dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{ 1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Silnia jest ponownie uwzględniana w celu uwzględnienia podwójnego liczenia, gdy dopuszczamy indeksy nierosnące. Chcielibyśmy zdefiniować dualność składnika tak, aby dual Hodge'a postaci był podany przez ${\displaystyle k!}$${\ Displaystyle \ alfa _ {i_ {1}, \ kropki, i_ {k}}}$

${\ Displaystyle \ gwiazda \ alfa = {\ Frac {1} {(nk)!}} (\ gwiazda \ alfa) _ {i_ {k + 1}, \ kropki, i_ {n}} dx ^ {i_ {k +1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$

Używając powyższego wyrażenia dla Hodge dual of , znajdujemy: ${\ Displaystyle dx ^ {i_ {1}} \ klin \ kropki \ klin dx ^ {i_ {k}}}$

${\ Displaystyle (\ gwiazda \ alfa) _ {i_ {k + 1}, \ kropki, i_ {n}} = {\ Frac {\ sqrt {| \ det [g_ {ab}] |}} {k!} }\alpha ^{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\,\varepsilon _{i_{1},\dots ,i_{n}}.}$

Chociaż można zastosować to wyrażenie do dowolnego tensora , wynik jest antysymetryczny, ponieważ skrócenie z całkowicie antysymetrycznym symbolem Levi-Civita anuluje wszystko oprócz całkowicie antysymetrycznej części tensora. Jest to zatem równoważne antysymetryzacji, po której następuje zastosowanie gwiazdy Hodge'a. ${\ Displaystyle \ alfa}$

Postać jednostkową objętości wyraża się wzorem : ${\ Displaystyle \ omega = \ gwiazda 1 \ w \ klin ^ {n} V ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ lewo | \ det [g_ {ij}] \ prawo |}} \; dx ^ {1} \ klin \ cdots \ klin dx ^ {n}.}$

Współdyferencjał

Najważniejszym zastosowaniem gwiazdy Hodge'a na rozmaitościach jest zdefiniowanie współróżnicowania na k -formach . Pozwolić ${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ delta = (-1) ^ {n (k-1) + 1} s \ {\ gwiazda} d {\ gwiazda} = (-1) ^ {k} \ {\ gwiazda} ^ {- 1}d{\gwiazda}}$

gdzie jest pochodną zewnętrzną lub różniczką, a dla rozmaitości riemannowskich. Następnie ${\displaystyle d}$${\displaystyle s=1}$

${\ Displaystyle d: \ Omega ^ {k} (M) \ do \ Omega ^ {k + 1} (M)}$

podczas

${\ Displaystyle \ delta: \ Omega ^ {k} (M) \ do \ Omega ^ {k-1} (M).}$

Współróżniczka nie jest funkcją pierwotną zewnętrznej algebry, w przeciwieństwie do pochodnej zewnętrznej.

Współróżniczka jest sprzężeniem pochodnej zewnętrznej w odniesieniu do iloczynu wewnętrznego całkowalnego do kwadratu:

${\ Displaystyle \ langle \! \ langle \ eta \ delta \ zeta \ rangle \! \ rangle \ = \ \ langle \! \ langle d \ eta \ zeta \ rangle \! \ rangle ,}$

w którym jest ( k + 1) -a-i K -a-. Tożsamość ta wynika z twierdzenia Stokesa dla form gładkich: ${\ Displaystyle \ zeta}$${\displaystyle \eta}$

${\ Displaystyle 0 \ = \ \ int _ {M} d (\ eta \ klin {\ gwiazda} \ zeta ) \ = \ \ int _ {M} \ lewo (d \ eta \ klin {\ gwiazda} \ zeta - \eta \wedge {\star }(-1)^{k+1}\,{\star }^{-1}d{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\ eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$

pod warunkiem, że M ma pustą granicę lub ma zerowe wartości graniczne. (Właściwe zdefiniowanie powyższego wymaga określenia topologicznej przestrzeni wektorowej, która jest zamknięta i zupełna na przestrzeni form gładkich. Przestrzeń Sobolewa jest stosowana konwencjonalnie; pozwala ona na zamianę zbieżnego ciągu form (as ) z połączonymi operacje różniczkowe i całkowe, tak i podobnie dla ciągów zbieżnych do .) ${\displaystyle \eta}$${\ Displaystyle \ gwiazda \ zeta}$${\ Displaystyle \ zeta _ {i} \ do \ zeta}$${\displaystyle i\do \infty}$${\ Displaystyle \ langle \! \ langle \ eta \ delta \ zeta _ {i} \ rangle \! \ rangle \ do \ langle \! \ langle \ eta \ delta \ zeta \ rangle \! \ rangle}$${\displaystyle \eta}$

Ponieważ dyferencjał spełnia , współdyferencjał ma odpowiadającą mu własność ${\ Displaystyle d ^ {2} = 0}$

${\ Displaystyle \ delta ^ {2} = s ^ {2} {\ gwiazda } d {\ gwiazda }{\ gwiazda } d {\ gwiazda } = (-1) ^ {k (nk)} s ^ {3} {\star }d^{2}{\star }=0.}$

Operator Laplace'a-deRhama jest podany przez

${\ Displaystyle \ Delta = (\ delta + d) ^ {2} = \ delta d + d \ delta}$

i leży u podstaw teorii Hodge'a . Jest symetryczny:

${\ Displaystyle \ langle \! \ langle \ Delta \ zeta \ eta \ rangle \! \ rangle = \ langle \! \ langle \ zeta \ Delta \ eta \ rangle \! \ rangle}$

i nieujemne:

${\ Displaystyle \ langle \! \ langle \ Delta \ eta \ eta \ rangle \! \ rangle \ geq 0.}$

Gwiazda Hodge wysyła formy harmoniczne do form harmonicznych. Jako konsekwencja teorii Hodge The cohomology de Rham jest naturalnie izomorficzny z przestrzenią harmonicznych k -forms, a więc gwiezdnych indukuje Hodge izomorfizmem grup kohomologii

${\ Displaystyle {\ gwiazda}: H_ {\ Delta} ^ {k} (M) \ do H_ {\ Delta} ^ {nk} (M)}$

co z kolei daje kanonicznych identyfikacji poprzez Poincaré dualnością o H ^k ( M ) z jej podwójnego miejsca .

Cytaty

Bibliografia