Finitarne - Finitary
W matematyce i logice , operacja jest finitary jeśli ma skończoną arity , czyli jeśli ma skończoną liczbę wartości wejściowych. Podobnie nieskończona operacja to operacja z nieskończoną liczbą wartości wejściowych.
W matematyce standardowej operacja jest z definicji skończona. Dlatego te terminy są zwykle używane tylko w kontekście logiki nieskończonej .
Kończący argument
Finitary argumentu to takie, które mogą być przełożone na skończonego zbioru symbolicznych tez wychodząc z skończonego zbioru axioms . Innymi słowy, jest to dowód (zawierający wszystkie przypuszczenia), który można zapisać na wystarczająco dużej kartce papieru.
Natomiast logika nieskończona bada logikę, która pozwala na nieskończenie długie twierdzenia i dowody . W takiej logice można na przykład uznać egzystencjalny kwantyfikator za wyprowadzony z nieskończonej dysjunkcji .
Historia
Logicy na początku XX wieku dążyli do rozwiązania problemu podstaw , na przykład: „Jaka jest prawdziwa podstawa matematyki?” Program miał mieć możliwość przepisania całej matematyki przy użyciu języka całkowicie syntaktycznego bez semantyki . Mówiąc słowami Davida Hilberta (odnosząc się do geometrii ), „nie ma znaczenia, czy nazwiemy te rzeczy krzesłami , stołami i kuflami, czy punktami , liniami i płaszczyznami ”.
Nacisk na skończoność bierze się z pomysłu, że ludzka myśl matematyczna opiera się na skończonej liczbie zasad, a wszystkie rozumowania kierują się zasadniczo jedną zasadą: modus ponens . Projekt polegał na naprawieniu skończonej liczby symboli (zasadniczo cyfr 1, 2, 3, ... liter alfabetu i niektórych symboli specjalnych, takich jak „+”, „⇒”, „(”, „)” itp. ), podają skończoną liczbę zdań wyrażonych w tych symbolach, które miały być traktowane jako „fundamenty” (aksjomaty), oraz pewne reguły wnioskowania, które modelowałyby sposób, w jaki ludzie wyciągają wnioski. Z tego, niezależnie od semantycznej interpretacji symboli, pozostałe twierdzenia powinny formalnie wynikać tylko z podanych reguł (które sprawiają, że matematyka bardziej przypomina grę z symbolami niż naukę ) bez konieczności polegania na pomysłowości. Nadzieja polegała na udowodnieniu, że z tych aksjomatów i reguł można wywnioskować wszystkie twierdzenia matematyczne. Ten cel jest znany jako logicyzm .