Odwrotne twierdzenie Pitagorasa - Inverse Pythagorean theorem

Porównanie odwrotnego twierdzenia Pitagorasa z twierdzeniem Pitagorasa przy użyciu najmniejszej dodatniej trójki odwrotnej Pitagorasa z tabeli poniżej

W geometrii odwrotne twierdzenie Pitagorasa wygląda następująco:

Niech A , B będą końcami przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC . Niech D będzie stopą prostopadłej opuszczonej z C , wierzchołka kąta prostego, do przeciwprostokątnej. Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {CD ^ {2}}} = {\ Frac {1} {AC ^ {2}}} + {\ Frac {1} {BC ^ {2}}}.}$

Twierdzenie jawi się jako propozycja 48 w książce 1 Euclid „s Elements .

Dowód

Pole trójkąta ABC można wyrazić za pomocą AC i BC lub AB i CD :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ tfrac {1} {2}} AC \ cdot BC & = {\ tfrac {1} {2}} AB \ cdot CD \ \ (AC \ cdot BC) ^ {2} &=(AB\cdot CD)^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {AB^{2}}{AC^{2}\cdot BC^ {2}}}\end{wyrównany}}}$

dane CD > 0, AC > 0 i BC > 0.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {1} {CD ^ {2}}} i = {\ Frac {BC ^ {2} + AC ^ {2}} {AC ^ {2} \ cdot BC ^{2}}}\\&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{ 2}\cdot BC^{2}}}\\\quad \dlatego \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}} }+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{wyrównany}}}$

jak wyżej.

Szczególny przypadek krzywej krzyżowej

Krzywa w kształcie krzyża lub poprzecznie krzywa jest wielomian stopnia czwartego się równaniem

${\ Displaystyle x ^ {2} y ^ {2} - b ^ {2} x ^ {2} - a ^ {2} y ^ {2} = 0}$

gdzie dwa parametry określające kształt krzywej, a i b to każdy CD .

Podstawiając x przez AC i y przez BC daje

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} AC ^ {2} BC ^ {2} - CD ^ {2} AC ^ {2} - CD ^ {2} BC ^ {2} i = 0 \ \ AC ^ {2} }BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\ \dlatego \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}} }\end{wyrównany}}}$

Trójki odwrotne Pitagorasa mogą być generowane przy użyciu parametrów całkowitych t i u w następujący sposób.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} AC i = (t ^ {2} + u ^ {2}) (t ^ {2} - u ^ {2}) \ \ BC i = 2tu (t ^ {2} + u ^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aligned}}}$

Podanie

Jeśli dwie identyczne lampy są umieszczone w A i B, twierdzenie i prawo odwrotności kwadratu implikują, że ilość światła otrzymanego w C jest taka sama, jak gdy pojedyncza lampa jest umieszczona w D.

Zobacz też

• Twierdzenie Pitagorasa  – Równanie określające długości boków trójkąta prostokątnego

Bibliografia

Ten artykuł dotyczący geometrii jest skrótem . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją .

• v
• T
• mi