Kwantyzacja Landaua - Landau quantization

W mechanice kwantowej , Landau kwantyzacji odnosi się do kwantyzacji orbitach cyklotronów naładowanych cząstek w jednorodnym polu magnetycznym. W rezultacie naładowane cząstki mogą zajmować tylko orbity o dyskretnych, równoodległych wartościach energii, zwanych poziomami Landaua. Poziomy te są zdegenerowane , a liczba elektronów na poziom jest wprost proporcjonalna do natężenia przyłożonego pola magnetycznego. Jego nazwa pochodzi od radzieckiego fizyka Lwa Landaua .

Kwantyzacja Landaua jest bezpośrednio odpowiedzialna za podatność elektronową metali, znaną jako diamagnetyzm Landaua . W warunkach silnych pól magnetycznych kwantyzacja Landaua prowadzi do oscylacji właściwości elektronowych materiałów w funkcji przyłożonego pola magnetycznego, znanych jako efekty De Haasa-Van Alphena i Shubnikova-de Haasa .

Kwantyzacja Landau jest kluczowym składnikiem wyjaśniającym całkowitoliczbowy kwantowy efekt Halla .

Pochodzenie

Schemat orbity cyklotronowej, która jest klasyczną trajektorią naładowanej cząstki w jednorodnym polu magnetycznym. Kwantyzacja Landau odnosi się do cząstki naładowanej kwantowo w jednorodnym polu magnetycznym.

Rozważmy układ nieoddziałujących cząstek o ładunku q i spinie S ograniczonym do obszaru A = L _x L _y w płaszczyźnie xy . Zastosuj jednolite pole magnetyczne wzdłuż osi z . W jednostkach CGS hamiltonian tego układu (tu pomijane są efekty spinu) to ${\ Displaystyle \ mathbf {B} = {\ zacząć {pmatrix} 0 \ \ 0 \ \ B \ koniec {pmatrix}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {1} {2 m}} | {\ kapelusz {\ mathbf {p}}}-q {\ kapelusz {\ mathbf {A}}} | ^ {2 }.}$

Tutaj jest operatorem pędu kanonicznego i jest wektorem potencjału elektromagnetycznego , który jest powiązany z polem magnetycznym przez ${\textstyle {\kapelusz {\mathbf {p} }}}$ ${\textstyle {\kapelusz {\mathbf {A} }}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {A}}}.\,}$

Istnieje pewna dowolność w wyborze potencjału wektora dla danego pola magnetycznego. Hamiltonian jest niezmiennikiem cechowania , co oznacza, że ​​dodanie gradientu pola skalarnego do  zmienia ogólną fazę funkcji falowej o wielkość odpowiadającą polu skalarnemu. Jednak na właściwości fizyczne nie ma wpływu konkretny dobór miernika.

W mierniku Landau

Dla uproszczenia obliczeń wybierz miernik Landau , który jest

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {A}}} = {\ zacząć {pmatrix} 0 \ \ Bx \ \ 0 \ koniec {pmatrix}}.}$

gdzie B =| B | a x̂ jest składnikiem x operatora pozycji.

W tym mierniku hamiltonian to

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {{\ kapelusz {p}} _ {x} ^ {2}} {2 m}} + {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({ \hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m} }.}$

Operator komutuje z tym hamiltonianem, ponieważ operator ŷ jest nieobecny przy wyborze miernika. W ten sposób operator może być zastąpiony przez jego wartość własną ħk _y . Ponieważ nie występuje w hamiltonianie, aw energii kinetycznej występuje tylko pęd z, ten ruch wzdłuż kierunku z jest ruchem swobodnym. ${\ Displaystyle {\ kapelusz {p}} _ {y}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {p}} _ {y}}$${\displaystyle {\kapelusz {z}}}$

Hamiltonian można również zapisać prościej, zauważając, że częstotliwość cyklotronu wynosi ω _c = qB/m , co daje

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {{\ kapelusz {p}} _ {x} ^ {2}} {2 m}} + {\ Frac {1} {2}} m \ omega _ {\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right) ^{2}+{\frac {{\kapelusz {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$

Jest to dokładnie hamiltonian dla kwantowego oscylatora harmonicznego , z wyjątkiem minimum potencjału przesuniętego w przestrzeni współrzędnych o x ₀ = ħk _y /mω _c .

Aby znaleźć energie, zauważ, że przełożenie potencjału oscylatora harmonicznego nie wpływa na energie. Energie tego układu są zatem identyczne z energiami standardowego kwantowego oscylatora harmonicznego ,

${\ Displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ lewo (n + {\ Frac {1} {2}} \ prawej) + {\ Frac {p_ {z} ^ {2} }{2m}},\quad n\geq 0~.}$

Energia nie zależy od liczby kwantowej k _y , więc nie będzie ograniczona liczba Degenerację (jeżeli cząstka jest umieszczony w nieograniczonej przestrzeni, w tym zwyrodnienie będzie odpowiadać ciągłej sekwencji ). Wartość of jest ciągła, jeśli cząsteczka jest nieograniczona w kierunku z i dyskretna, jeśli cząsteczka jest również ograniczona w kierunku z. Każdy zestaw funkcji falowych o tej samej wartości n nazywany jest poziomem Landaua . ${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$

Dla funkcji falowych przypomnijmy, że komutuje z hamiltonianem. Następnie funkcja falowa rozkłada się na iloczyn stanów własnych pędu w kierunku y i stanów własnych oscylatora harmonicznego przesuniętych o wartość x ₀ w kierunku x : ${\ Displaystyle {\ kapelusz {p}} _ {y}}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle}$

${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = e ^ {i (k_ {y} y + k_ {z} z)} \ phi _ {n} (x-x_ {0})}$

gdzie . Podsumowując, stan elektronu jest scharakteryzowany przez liczby kwantowe n , k _y i k _z . ${\ Displaystyle k_ {z} = p_ {z} / \ hbar}$

W mierniku symetrycznym

Wyprowadzenie potraktowano x i y jako nieco asymetryczne. Jednak przez symetrię układu nie ma wielkości fizycznej, która odróżnia te współrzędne. Ten sam wynik można było uzyskać przy odpowiedniej wymianie x i y .

Bardziej adekwatnym wyborem sprawdzianu jest sprawdzian symetryczny, który odnosi się do wyboru

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {A} }} = {\ Frac {1} {2}} \ mathbf {B} \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {R} }} = {\ Frac {1} {2}}{\begin{pmatrix}-Przez\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$

W kategoriach bezwymiarowych długości i energii hamiltonian można wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo [\ lewo (-i {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} - {\ Frac {y} 2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\częściowy y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right] }$

Prawidłowe jednostki można przywrócić, wprowadzając czynniki i${\displaystyle q,\hbar,\mathbf {B}}$${\ Displaystyle m}$

Rozważ operatorów

${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {x} {2}} + {\ Frac {\ częściowy} \partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}\right)\right]}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {x} {2}} - {\ Frac {\częściowy }{\częściowy x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}\right)\right]}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {x} {2}} + {\ Frac {\ częściowy} } \partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}\right)\right]}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {x} {2}} - {\ Frac {\częściowy }{\częściowy x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}\right)\right]}$

Operatory te stosują pewne relacje komutacyjne

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}] = [{\ kapelusz {b}}, {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet}] = 1 }$.

W odniesieniu do powyższych operatorów hamiltonian można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ lewo ({\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} + {\ Frac { 1}{2}}\prawo),}$

gdzie przywróciliśmy jednostki z powrotem.

Indeks poziomu Landaua jest wartością własną operatora . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {N}} = {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}}}$

Aplikacja zwiększa się o jedną jednostkę podczas konserwowania , natomiast aplikacja jednocześnie zwiększa się i zmniejsza o jedną jednostkę. Analogia do kwantowego oscylatora harmonicznego dostarcza rozwiązań ${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet}}$${\displaystyle m_{z}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle m_{z}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} | n, m_ {z} \ rangle = E_ {n} | n, m_ {z} \ rangle,}$

gdzie

${\ Displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ lewo (n + {\ Frac {1} {2}} \ prawej)}$

oraz

${\ Displaystyle | n, m_ {z} \ rangle = {\ Frac {({\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet}) ^ {m_ {z} + n}} {\ sqrt {(m_ {z} +n)!}}}{\frac {({\kapelusz {a}}^{\sztylet })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$

Można sprawdzić, czy powyższe stany odpowiadają wybraniu funkcji falowych proporcjonalnych do

${\ Displaystyle \ psi _ {n, m_ {z}} (x, y) = \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy w}} - {\ Frac {\ bar {w}} {4} }\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$

gdzie . ${\displaystyle w=x+iy}$

W szczególności najniższy poziom Landaua składa się z dowolnych funkcji analitycznych mnożących Gaussa, . ${\displaystyle n=0}$${\ Displaystyle \ psi (x, y) = f (w) e ^ {- | w | ^ {2}/4}}$

Degeneracja poziomów Landau

W mierniku Landau

Efekty poziomów Landaua można zaobserwować tylko wtedy, gdy średnia energia cieplna kT jest mniejsza niż separacja poziomów energii, kT ≪ ħω _c , co oznacza niskie temperatury i silne pola magnetyczne.

Każdy poziom Landaua jest zdegenerowany z powodu drugiej liczby kwantowej k _y , która może przyjmować wartości

${\ Displaystyle k_ {y} = {\ Frac {2 \ pi N} {L_ {y}}}}$,

gdzie N jest liczbą całkowitą. Dozwolone wartości N są dodatkowo ograniczone warunkiem, że środek siły oscylatora, x ₀ , musi fizycznie leżeć w układzie, 0 ≤ x ₀ < L _x . Daje to następujący zakres dla N ,

${\ Displaystyle 0 \ leq N < {\ Frac {m \ omega _ {\ rm {c}} L_ {x} L_ {y}} {2 \ pi \ hbar}}.}$

Dla cząstek o ładunku q = Ze , górną granicę N można po prostu zapisać jako stosunek strumieni ,

${\ Displaystyle {\ Frac {ZBL_ {x} L_ {y}} {(h / e)}} = Z {\ Frac {\ Phi} {\ Phi _ {0}}}}$

gdzie Φ ₀ = h/e jest podstawowym kwantem strumienia magnetycznego, a Φ = BA jest strumieniem przez układ (o polu A = L _x L _y ).

Zatem dla cząstek o spinie S , maksymalna liczba cząstek D na poziom Landaua wynosi

${\ Displaystyle D = Z (2S + 1) {\ Frac {\ Phi} {\ Phi _ {0}}} ~,}$

co dla elektronów (gdzie Z =1 i S =1/2) daje D = 2Φ/Φ ₀ , dwa dostępne stany dla każdego kwantu strumienia, który penetruje układ.

Powyższe daje jedynie ogólne pojęcie o efektach geometrii skończonych rozmiarów. Ściśle mówiąc, zastosowanie standardowego rozwiązania oscylatora harmonicznego jest ważne tylko dla układów nieograniczonych w kierunku x (nieskończone paski). Jeśli rozmiar L _x jest skończony, warunki brzegowe w tym kierunku powodują powstanie niestandardowych warunków kwantyzacji w polu magnetycznym, obejmujących (w zasadzie) oba rozwiązania równania Hermite'a. Wypełnianie tych poziomów wieloma elektronami jest nadal aktywnym obszarem badań.

Ogólnie poziomy Landaua obserwuje się w układach elektronicznych. Wraz ze wzrostem pola magnetycznego coraz więcej elektronów może zmieścić się na danym poziomie Landaua. Zajęcie najwyższego poziomu Landaua waha się od całkowicie pełnego do całkowicie pustego, co prowadzi do oscylacji w różnych właściwościach elektronicznych (patrz efekt De Haasa-Van Alphena i efekt Shubnikova-de Haasa ).

Jeśli uwzględnimy rozszczepienie Zeemana , każdy poziom Landau dzieli się na parę, jeden dla spinu elektronów, a drugi dla spinu elektronów. Wtedy zajęcie każdego spinu poziomu Landaua jest po prostu stosunkiem strumieni D = Φ/Φ ₀ . Zeeman łupania ma znaczący wpływ na poziom Landau dlatego ich waga energii są takie same, 2 μ _B B = ħω _c . Jednak energia Fermiego i energia stanu podstawowego pozostają mniej więcej takie same w systemie z wieloma wypełnionymi poziomami, ponieważ pary podzielonych poziomów energii znoszą się nawzajem po zsumowaniu.

Co więcej, powyższe wyprowadzenie w cechowaniu Landaua zakładało, że elektron jest ograniczony w kierunku z , co jest istotną sytuacją doświadczalną — znajdującą się na przykład w dwuwymiarowych gazach elektronowych. Jednak to założenie nie jest istotne dla wyników. Jeśli elektrony mogą swobodnie poruszać się w kierunku z , funkcja falowa uzyskuje dodatkowy wyraz multiplikatywny exp( ik _z z ); energia odpowiadająca temu ruchowi swobodnemu ( ħ k _z ) ² /( 2m ) jest dodawana do omawianego E. Termin ten następnie wypełnia rozdział energii różnych poziomów Landaua, zamazując efekt kwantyzacji. Niemniej jednak ruch w płaszczyźnie x - y , prostopadłej do pola magnetycznego, jest nadal skwantowany.

W mierniku symetrycznym

Każdy poziom Landaua ma zdegenerowane orbitale oznaczone liczbami kwantowymi w cechowaniu symetrycznym. Degeneracja na jednostkę powierzchni jest taka sama na każdym poziomie Landau. ${\displaystyle m_{z}}$

Z składnikiem mement kątowy

${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ teta}} = - \ hbar ({\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet} {\kapelusz {b}}-{\kapelusz {a}}^{\sztylet }{\kapelusz {a}})}$

Wykorzystując tę ​​własność wybraliśmy funkcje własne diagonalizujące oraz , Wartość własna jest oznaczona przez , gdzie jest jasne, że na poziomie Landaua. Jednak może być dowolnie duży, co jest konieczne do uzyskania nieskończonej degeneracji (lub skończonej degeneracji na jednostkę powierzchni) wykazywanej przez system. ${\ Displaystyle [{\ kapelusz {H}}, {\ kapelusz {L}} _ {z}] = 0}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {z}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {z}}$${\displaystyle -m_{z}\hbar}$${\ Displaystyle m_ {z} \ geq -n}$${\ Displaystyle n}$

Przypadek relatywistyczny

Poziomy Landaua w grafenie . Nośniki ładunku w grafenie zachowują się jak relatywistyczne bezmasowe cząstki Diraca .

Elektron podążający za równaniem Diraca w stałym polu magnetycznym można analitycznie rozwiązać. Energie są podane przez

${\ Displaystyle E_ {\ rm {rel}} = \ pm {\ sqrt {(mc ^ {2}) ^ {2} + (c \ hbar k_ {z}) ^ {2} + 2 \ nu \ hbar \ omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}$

gdzie c jest prędkością światła, znak zależy od składowej cząstka-antycząstka, a ν jest nieujemną liczbą całkowitą. Z powodu spinu wszystkie poziomy są zdegenerowane, z wyjątkiem stanu podstawowego przy ν =0.

Bezmasowy przypadek 2D można zasymulować w materiałach jednowarstwowych, takich jak grafen w pobliżu stożków Diraca , gdzie energie własne są podane przez

${\ Displaystyle E_ {\ rm {grafen}} = \ pm {\ sqrt {2 \ nu \ hbar eBv_ {\ rm {F}} ^ {2}}}}$

gdzie prędkość światła należy zastąpić prędkością Fermiego v _F materiału, a znak minus odpowiada dziurom elektronowym .

Podatność magnetyczna gazu Fermi

Gazu Fermiego (e Zespół niezakłócającej fermionami ) stanowi część podstawy do jego zrozumienia właściwości termodynamiczne metali. W 1930 Landau oszacował podatność magnetyczną gazu Fermiego, znaną jako podatność Landaua , która jest stała dla małych pól magnetycznych. Landau zauważył również, że podatność oscyluje z wysoką częstotliwością dla dużych pól magnetycznych, to zjawisko fizyczne znane jest jako efekt De Haasa-Van Alphena .

Krata dwuwymiarowa

Wiązania mocno widmo energii naładowanych cząstek w dwuwymiarowej siatki nieskończonej jest znany samopodobna i wstęga , jak pokazano na motyla Hofstadtera użytkownika . Dla całkowitoliczbowego stosunku kwantowego strumienia magnetycznego i strumienia magnetycznego przez komórkę sieciową, można odzyskać poziomy Landaua dla dużych liczb całkowitych.

Całkowity kwantowy efekt Halla

Zobacz też

• Efekt Barkhausena
• Funkcja falowa Laughlina
• Potencjał kulombowski między dwiema pętlami prądowymi osadzonymi w polu magnetycznym

Bibliografia

Dalsza lektura

• Landau, LD; i Lifschitz, EM; (1977). Mechanika kwantowa: teoria nierelatywistyczna. Kurs Fizyki Teoretycznej . Tom. 3 (3rd ed. Londyn: Pergamon Press). ISBN  0750635398 .