Gaz Fermiego - Fermi gas

Fizyka materii skondensowanej
Fazy  · Przejście fazowe  · QCP
Stany materii Stałe  · Ciecz  · gazu  · plazmowy  · Bose-Einsteina  · gaz Bose  · kondensat fermionów  · gazu Fermiego  · Fermiego ciecz  · Supersolid  · Nadciekłość  · ciecz luttingera  · Czas kryształu
Zjawiska fazowe Parametr zamówienia  · Przejście fazowe  · QCP
Fazy ​​elektroniczne Pasmowa teoria przewodnictwa  · plazmowe  · izolator  · Izolator Motta  · Semiconductor  · półmetalu  · Dyrygent  · Superconductor  · termoelektryczne  · piezoelektryczny  · ferroelektrycznej  · izolator topologiczny  · spin pauz półprzewodników
Zjawiska elektroniczne Efekt Halla Kwantowego  · Efekt Halla  Wirującego · Efekt Kondo
Fazy ​​magnetyczne Diamagnet  · Superdiamagnet Paramagnet  · Superparamagnet ferromagne- tyka  · Antiferromagnet Metamagnet  · szkło spinowe
Quasicząstki Fonon  · ekscytonu  · Plasmon Polariton  · Polaron  · Magnon
Miękka materia Bezpostaciowe ciało stałe  · Koloid  · Materiał granulowany  · Ciekły kryształ  · Polimer
Naukowcy Van der Waals  · Onnes  · von Laue  · Bragg  · Debye  · Bloch  · Onsager  · Mott  · Peierls  · Landau  · Luttinger  · Anderson  · Van Vleck  · Hubbard  · Shockley  · Bardeen  · Cooper  · Schrieffer  · Josephson  · Louis Néel  · Esaki  · Giaever  · Kohn  · Kadanoff  · Fisher  · Wilson  · von Klitzing  · Binnig  · Rohrer  · Bednorz  · Müller  · Laughlin  · Störmer  · Yang  · Tsui  · Abrikosov  · Ginzburg  · Leggett
Portal fizyczny  Kategoria
v T mi

Idealny gaz Fermiego to stan materii, który jest zespołem wielu nieoddziałujących ze sobą fermionów . Fermiony to cząstki, które podlegają statystyce Fermiego-Diraca , takie jak elektrony , protony i neutrony oraz, ogólnie rzecz biorąc, cząstki o spinie połówkowym . Statystyka ta określa rozkład energii fermionów w gazie Fermiego w stanie równowagi termicznej i charakteryzuje się ich gęstością liczbową , temperaturą oraz zbiorem dostępnych stanów energetycznych. Model nosi imię włoskiego fizyka Enrico Fermi .

Ten model fizyczny można dokładnie zastosować do wielu systemów z wieloma fermionami. Niektóre kluczowe przykłady to zachowanie nośników ładunku w metalu , nukleonów w jądrze atomowym , neutronów w gwieździe neutronowej i elektronów w białym karle .

Opis

Ilustracja stanów energetycznych: Wykres zajętości energii dla systemu z 7 poziomami energii, energia jest zdegenerowana razy (istnieją stany, które mają energię ) i ma zajętość określoną przez , z . Zgodnie z zasadą Pauliego , aż do fermionów może zajmować poziom energii układu, w którym znajduje się wirowanie fermionów.${\ Displaystyle E_ {i}}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle D_{i}}$${\ Displaystyle E_ {i}}$${\ Displaystyle N_ {i}}$${\ Displaystyle i = 1,2,3,4,5,6,7}$${\ Displaystyle (2j + 1) \ cdot D_ {i}}$${\ Displaystyle E_ {i}}$${\displaystyle j}$

Idealny gaz Fermiego lub wolny gaz Fermiego to model fizyczny zakładający zbiór nieoddziałujących fermionów w studni potencjału stałego . Fermiony są cząstkami elementarnymi lub złożonymi o spinie połówkowym , stąd wynikają statystyki Fermiego-Diraca . Równoważny model cząstek o spinie całkowitym nazywa się gazem Bosego (zespół nieoddziałujących bozonów ). Przy wystarczająco niskiej gęstości liczbowej cząstek i wysokiej temperaturze, zarówno gaz Fermi, jak i gaz Bosego zachowują się jak klasyczny gaz doskonały .

Zgodnie z zasadą wykluczenia Pauliego żaden stan kwantowy nie może być zajęty przez więcej niż jeden fermion o identycznym zestawie liczb kwantowych . Tak więc gaz Fermi, który nie wchodzi w interakcje, w przeciwieństwie do gazu Bose, skupia niewielką liczbę cząstek na energię. W ten sposób gaz Fermiego nie może skraplać się w kondensat Bosego-Einsteina , chociaż słabo oddziałujące gazy Fermiego mogą tworzyć parę Coopera i kondensat (znany również jako system skrzyżowania BCS- BEC). Całkowita energia gazu Fermiego przy zerze absolutnym jest większa niż suma stanów podstawowych pojedynczych cząstek , ponieważ zasada Pauliego implikuje rodzaj interakcji lub ciśnienia, które utrzymuje fermiony w separacji i ruchu. Z tego powodu ciśnienie gazu Fermiego jest niezerowe nawet w temperaturze zerowej, w przeciwieństwie do klasycznego gazu doskonałego. Na przykład, to tak zwane ciśnienie degeneracji stabilizuje gwiazdę neutronową (gaz Fermiego neutronów) lub gwiazdę białego karła (gaz Fermiego elektronów) przeciwko wewnętrznemu przyciąganiu grawitacji , które rzekomo załamałoby gwiazdę w czarną dziurę . Tylko wtedy, gdy gwiazda jest wystarczająco masywna, aby przezwyciężyć ciśnienie degeneracji, może zapaść się w osobliwość.

Możliwe jest zdefiniowanie temperatury Fermiego, poniżej której gaz można uznać za zdegenerowany (jego ciśnienie wynika prawie wyłącznie z zasady Pauliego). Temperatura ta zależy od masy fermionów i gęstości stanów energetycznych .

Główne założenie modelu swobodnych elektronów do opisu zdelokalizowanych elektronów w metalu można wyprowadzić z gazu Fermiego. Ponieważ interakcje są pomijane ze względu na efekt ekranowania , problem traktowania właściwości równowagi i dynamiki idealnego gazu Fermiego sprowadza się do badania zachowania pojedynczych niezależnych cząstek. W tych systemach temperatura Fermiego wynosi zwykle wiele tysięcy kelwinów , więc w zastosowaniach u ludzi gaz elektronowy można uznać za zdegenerowany. Maksymalna energia fermionów w temperaturze zerowej nazywana jest energią Fermiego . Powierzchnia energii Fermiego w przestrzeni odwrotnej jest znana jako powierzchnia Fermiego .

Prawie wolne modelu elektronową dostosowuje model gazu Fermiego do rozważenia strukturę kryształu z metali i półprzewodników , gdzie elektrony w sieci krystalicznej podstawionych elektronów Blocha z odpowiedniego kryształu pędu . W związku z tym układy okresowe są nadal stosunkowo łatwe do realizacji, a model stanowi punkt wyjścia dla bardziej zaawansowanych teorii zajmujących się interakcjami, np. wykorzystującej teorię perturbacji .

Jednolity gaz 1D

Jednowymiarowa nieskończona kwadratowa studnia o długości L jest modelem jednowymiarowego pudełka o energii potencjalnej:

${\ Displaystyle V (x) = {\ zacząć {przypadki} 0 & x_ {c} - {\ tfrac {L} {2}} < x < x_ {c} + {\ tfrac {L} {2}}, \\\infty ,&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

Jest to standardowy system modelowy w mechanice kwantowej, dla którego rozwiązanie dla pojedynczej cząstki jest dobrze znane. Ponieważ potencjał wewnątrz pudełka jest jednorodny, model ten jest określany jako jednowymiarowy gaz jednowymiarowy, mimo że rzeczywisty profil gęstości liczbowej gazu może mieć węzły i anty-węzły, gdy całkowita liczba cząstek jest niewielka.

Poziomy są oznaczone pojedynczą liczbą kwantową n, a energie są podane przez:

${\ Displaystyle E_ {n} = E_ {0}+ {\ Frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2 ml ^ {2}}} n ^ {2}. \,}$

gdzie jest energią punktu zerowego (którą można dowolnie wybrać jako formę mocowania cechowania ), masą pojedynczego fermionu i jest zredukowaną stałą Plancka . ${\displaystyle E_{0}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ hbar}$

W przypadku N fermionów o spinie ½ w pudełku, nie więcej niż dwie cząstki mogą mieć taką samą energię, tj. dwie cząstki mogą mieć energię , dwie inne cząstki mogą mieć energię i tak dalej. Dwie cząstki o tej samej energii mają spin ½ (spin w górę) lub −½ (spin w dół), co prowadzi do dwóch stanów dla każdego poziomu energii. W konfiguracji, dla której energia całkowita jest najniższa (stan podstawowy), wszystkie poziomy energii do n  =  N /2 są zajęte, a wszystkie wyższe poziomy są puste. ${\textstyle E_{1}}$${\textstyle E_{2}}$

Definiując odniesienie dla energii Fermiego jako , energia Fermiego jest zatem dana przez ${\displaystyle E_{0}}$

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F}} ^ {({\ tekst {1D}})} = E_ {n}-E_ {0}= {\ Frac {\ Hbar ^ {2} \ pi ^ {2} }{2mL^{2}}}\lewa(\lewa\lpodłoga {\frac {N}{2}}\prawa\rpodłoga \prawa)^{2},}$

gdzie jest funkcją podłogi oszacowaną na n  =  N /2. ${\displaystyle \lewo\lpodłoga {\frac {N}{2}}\prawo\rpodłoga}$

Granica termodynamiczna

W granicy termodynamicznej całkowita liczba cząstek N jest tak duża, że ​​liczbę kwantową n można traktować jako zmienną ciągłą. W tym przypadku ogólny profil gęstości liczbowej w pudełku jest rzeczywiście jednolity.

Liczba stanów kwantowych w zakresie to: ${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+\operator {d} \!n}$

${\ Displaystyle D_ {n} (n_ {1}) \ nazwa operatora {d} \! n = 2 \ nazwa operatora {d} \! n \,.}$

Bez utraty ogólności energia punktu zerowego jest wybierana jako zero, z następującym wynikiem:

${\ Displaystyle E_ {n} = {\ Frac {\ Hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2 ml ^ {2}}} n ^ {2} \ sugeruje \ operatorname {d} \! E = { \frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\nazwa operatora {d} \!n={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}\nazwa operatora {d} \!n\,.}$

Dlatego w zakresie:

${\ Displaystyle E_ {1} = {\ Frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2 ml ^ {2}}} n_ {1} ^ {2} <E < E_ {1} + \ nazwa operatora {d} \!E\,,}$

liczba stanów kwantowych to:

${\ Displaystyle D_ {n} (n_ {1}) \ nazwa operatora {d} \! n = 2 {\ frac {\ nazwa operatora {d} \! E} {\ nazwa operatora {d} \! E / \ nazwa operatora {d } \!n}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\nazwa operatora {d} \!E \equiv D(E_{1})\nazwa operatora {d} \!E\,.}$

Tutaj stopień degeneracji to:

${\ Displaystyle D (E) = {\ Frac {2} {\ Operator {d} \! E / \ Operator {d} \! n}} = {\ Frac {2 L} {\ Hbar \ pi}} {\ sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$

A gęstość stanów to:

${\ Displaystyle g (E) \ równoważnik {\ Frac {1} {L}} D (E) = {\ Frac {2} {\ Hbar \ pi}} {\ sqrt {\ Frac {m} {2 E}} }\,.}$

We współczesnej literaturze nazywa się to czasem także „gęstością stanów”. Jednakże różni się od przez współczynnik objętości systemu (który jest w tym przypadku 1D). ${\ Displaystyle D (E)}$${\ Displaystyle g (E)}$${\ Displaystyle D (E)}$${\ Displaystyle L}$

W oparciu o następujący wzór:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {E_ {F}} D (E) dE = N \ ,,}$

energia Fermiego w granicy termodynamicznej może być obliczona jako:

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F} } ^ {({\ tekst {1D}})} = {\ Frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2 ml ^ {2}}} \ lewo({\frac {N}{2}}\prawo)^{2}\,.}$

Jednolity gaz 3D

Model jądra atomowego przedstawiający je jako zwartą wiązkę dwóch typów nukleonów : protonów (czerwony) i neutronów (niebieski). W pierwszym przybliżeniu jądro można traktować jako złożone z nieoddziałujących ze sobą gazów protonowych i neutronowych.

Trójwymiarowa, izotropowa i nierelatywistyczna, jednolita obudowa gazu Fermiego jest znana jako sfera Fermiego .

Trójwymiarowa nieskończona studnia kwadratowa (tj. sześcienne pudełko o długości boku L ) ma energię potencjalną

${\ Displaystyle V (x, y, z) = {\ zacząć {przypadki} 0 i - {\ Frac {L} {2}} < x, y, z < {\ Frac {L} {2}}, \\\infty ,&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

Stany są teraz oznaczone trzema liczbami kwantowymi n _x , n _y i n _z . Energie pojedynczej cząstki to

${\ Displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = E_ {0}+ {\ Frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2 ml ^ {2}} }\lewo(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\prawo)\,}$,

gdzie n _x , n _y , n _z są dodatnimi liczbami całkowitymi. W tym przypadku wiele stanów ma tę samą energię (znaną jako zdegenerowane poziomy energii ), na przykład . ${\ Displaystyle E_ {211} = E_ {121} = E_ {112}}$

Granica termodynamiczna

Gdy pudełko zawiera N nieoddziałujących fermionów o spinie 1/2, interesujące jest obliczenie energii w granicy termodynamicznej, gdzie N jest tak duże, że liczby kwantowe n _x , n _y , n _z można traktować jako zmienne ciągłe.

W przypadku wektora , każdy stan kwantowy odpowiada punktowi w „n-przestrzeni” o energii ${\ Displaystyle \ mathbf {n} = (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z})}$

${\ Displaystyle E_ {\ mathbf {n}} = E_ {0}+ {\ Frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2 ml ^ {2}}} | \ mathbf {n} | ^ {2}\,}$

Z oznaczeniem kwadratu o zwykłej długości euklidesowej . Liczba stanów energii poniżej E _F  +   E ₀ jest równy liczbie stanów, które znajdują się w granicach sfery o promieniu w obszarze przestrzeni, w której n- n- _X , n _y , n _Z są dodatnie. W stanie podstawowym liczba ta jest równa liczbie fermionów w układzie: ${\ Displaystyle | \ mathbf {n} | ^ {2}}$${\ Displaystyle | \ mathbf {n} | = {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2}}}}$${\ Displaystyle | \ mathbf {n} _ {\ operatorname {F}} |}$

${\displaystyle N=2\razy {\frac {1}{8}}\razy {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F}}^{3}\,}$

Swobodne fermiony, które zajmują najniższe stany energetyczne, tworzą kulę we wzajemnej przestrzeni . Powierzchnia tej kuli to powierzchnia Fermiego .

Współczynnik dwa wyraża dwa stany spinowe, a współczynnik 1/8 wyraża ułamek sfery, która leży w obszarze, w którym wszystkie n są dodatnie.

${\ Displaystyle n_ {\ operatorname {F}} = \ lewo ({\ Frac {3N} {\ pi}} \ prawej) ^ {1/3}}$

Energia Fermiego jest podawana przez

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F} } = {\ Frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2 ml ^ {2}}} n_ {\ operatorname {F} } ^ {2} = {\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$

Co daje związek między energią Fermiego a liczbą cząstek na objętość (gdy L ² jest zastąpione przez V ^2/3 ):

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F}} = {\ Frac {\ Hbar ^ {2}} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {3 \ pi ^ {2} N} {V}} \ po prawej) ^{2/3}\,}$

Jest to również energia cząstki o najwyższej energii ( cząstce th), powyżej energii punktu zerowego . Cząstek p ma energię ${\ Displaystyle N}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle N'}$

${\ Displaystyle E_ {N'} = E_ {0}+ {\ Frac {\ Hbar ^ {2}} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {3 \ pi ^ {2} N '} {V}} \right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$

Całkowita energia sfery Fermiego z fermionami (które zajmują wszystkie stany energetyczne w sferze Fermiego) jest dana wzorem: ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle E_ {\ rm {T}} = NE_ {0}+ \ int _ {0} ^ {N} E_ {\ operatorname {F}} {\ duży |} _ {N ^ {\ prime}} \ ,\mathrm {d} N^{\prime }=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$

Dlatego średnia energia na cząstkę jest dana wzorem:

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {av} } = E_ {0}+ {\ Frac {3} {5}} E_ {\ operatorname {F} }}$

Gęstość stanów

Gęstość stanów (DOS) gazu Fermiego w 3 wymiarach

Dla jednorodnego 3D gazu Fermiego, z fermionami o spinie ½, liczbę cząstek w funkcji energii otrzymuje się zastępując energię Fermiego zmienną energią : ${\textstyle N(E)}$${\textstyle (E-E_{0})}$

${\ Displaystyle N (E) = {\ Frac {V} {3 \ pi ^ {2}}} \ lewo [{\ Frac {2 m} {\ Hbar ^ {2}}} (E-E_ {0}) \right]^{3/2}}$,

z którego można uzyskać gęstość stanów (liczbę stanów energetycznych na energię na objętość) . Można go obliczyć, różnicując liczbę cząstek ze względu na energię: ${\ Displaystyle g (E)}$

${\ Displaystyle g (e) = {\ Frac {1} {V}} {\ Frac {\ częściowy N (e)} {\ częściowy E}} = {\ Frac {1} {2 \ pi ^ {2} }}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}}$.

Ten wynik zapewnia alternatywny sposób obliczenia całkowitej energii sfery Fermiego fermionów (które zajmują wszystkie stany energetyczne w sferze Fermiego): ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E_ {T} i = \ int _ {0} ^ {N} E \ operatorname {d} N (E) = EN (E) {\ duży |} _ {0} ^ {N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F}) N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{ \frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right) N\end{wyrównany}}}$

Wielkości termodynamiczne

Ciśnienie degeneracji

Krzywe ciśnienia w funkcji temperatury klasycznych i kwantowych gazów doskonałych (gaz Fermiego, gaz Bosego ) w trzech wymiarach. Odpychanie Pauliego w fermionach (takich jak elektrony) daje im dodatkowe ciśnienie w stosunku do równoważnego gazu klasycznego, co najważniejsze w niskiej temperaturze.

Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki , tę energię wewnętrzną można wyrazić jako ciśnienie, czyli

${\ Displaystyle P = - {\ Frac {\ częściowy E_ {\ rm {T}}} {\ częściowy V}} = {\ Frac {2} {5}} {\ Frac {N} {V}} E_ { \mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}} \prawda)^{5/3},}$

gdzie to wyrażenie pozostaje ważne dla temperatur znacznie niższych niż temperatura Fermiego. To ciśnienie jest znane jako ciśnienie degeneracji . W tym sensie układy złożone z fermionów nazywane są również materią zdegenerowaną .

Gwiazdy standardowe unikają kolapsu, równoważąc ciśnienie termiczne ( plazmę i promieniowanie) z siłami grawitacyjnymi. Pod koniec życia gwiazdy, kiedy procesy termiczne są słabsze, niektóre gwiazdy mogą stać się białymi karłami, które są utrzymywane wbrew grawitacji tylko przez ciśnienie degeneracji elektronów . Używając gazu Fermiego jako modelu, można obliczyć granicę Chandrasekhara , tj. maksymalną masę jaką może uzyskać każda gwiazda (bez znacznego generowanego termicznie ciśnienia) przed zapadnięciem się w czarną dziurę lub gwiazdę neutronową. Ta ostatnia to gwiazda składająca się głównie z neutronów, w której kolapsowi zapobiega również ciśnienie degeneracji neutronów.

W przypadku metali ciśnienie degeneracji elektronów przyczynia się do ściśliwości lub modułu objętościowego materiału.

Potencjał chemiczny

Przy założeniu, że stężenie fermionami nie zmienia się wraz z temperaturą, to całkowita chemiczny potencjał | j (poziom Fermiego) o trójwymiarowej gazu idealnego Fermiego jest związane z temperaturą zerowej energii Fermiego E _F przez rozszerzenie Sommerfeld (zakładając ) ${\ Displaystyle k_ {\ rm {B}} T \ ll E_ {\ operatorname {F}}}$

${\ Displaystyle \ mu (T) = E_ {0}+ E_ {\ operatorname {F}} \ lewo [1-{\ Frac {\ pi ^ {2}} {12}} \ lewo ({\ Frac {K_ {\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac { k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right]}$,

gdzie T jest temperaturą .

Tak więc, wewnętrzny potencjał chemiczny , μ - E ₀ , jest w przybliżeniu równa energii Fermiego w temperaturach, które są znacznie niższe niż temperatury charakterystycznej Fermiego T _F . Cecha ta temperatura jest rzędu 10 ⁵ K dla metalu, a więc w temperaturze pokojowej (300 K), a energię Fermiego wewnętrzny potencjał chemiczny są zasadniczo równoważne.

Typowe wartości

Metale

W modelu swobodnych elektronów można uznać, że elektrony w metalu tworzą jednorodny gaz Fermiego. Gęstość liczbowa elektronów przewodzących w metalach waha się od około 10 ²⁸ do 10 ²⁹ elektronów na m ³ , co jest również typową gęstością atomów w zwykłej materii stałej. Ta gęstość liczbowa wytwarza energię Fermiego rzędu: ${\ Displaystyle N/V}$

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F}} = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2 m_ {e}}} \ lewo (3 \ pi ^ {2} \ 10 ^ {28 \ \ sim \ 29 }\ \mathrm {m} ^{-3}\right)^{2/3}\ok 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} }$,

gdzie m _e jest masą spoczynkową elektronu . Ten Fermiego odpowiada energii Fermiego do temperatury rzędu 10 ⁶ stopniach Kelvina, znacznie wyższej od temperatury słonecznym powierzchni. Każdy metal zagotuje się przed osiągnięciem tej temperatury pod ciśnieniem atmosferycznym. Tak więc praktycznie każda celu, metal może być uważany jako gaz Fermiego w temperaturze zera, w pierwszym przybliżeniu (normalne temperatury są niewielkie w porównaniu do T _F ).

Białe karły

Gwiazdy znane jako białe karły mają masę porównywalną z naszym Słońcem , ale mają około jedną setną jego promienia. Wysokie gęstości oznaczają, że elektrony nie są już związane z pojedynczymi jądrami i zamiast tego tworzą zdegenerowany gaz elektronowy. Gęstość liczbowa elektronów w białym karle jest rzędu 10 ³⁶ elektronów/m ³ . Oznacza to, że ich energia Fermiego to:

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F}} = {\ Frac {\ Hbar ^ {2}} {2m_ {e}}} \ lewo ({\ Frac {3 \ pi ^ {2} (10 ^ {36}) )}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\około 3\razy 10^{5}\ \mathrm {eV} =0,3\ \mathrm {MeV} }$

Jądro

Innym typowym przykładem są cząstki w jądrze atomu. Promień pierścienia jest w przybliżeniu:

${\ Displaystyle R = \ lewo (1,25 \ razy 10 ^ {-15} \ operatorname {m} \ prawej) \ razy A ^ {1/3}}$

gdzie A jest liczbą nukleonów .

Gęstość liczbowa nukleonów w jądrze wynosi zatem:

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {A}{{\ zacząć {matrycy} {\ Frac {4}{3}} \ koniec {macierz}} \ pi R ^ {3}}} \ około 1,2 \ razy 10 ^{44}\ \mathrm {m} ^{-3}}$

Gęstość tę należy podzielić przez dwa, ponieważ energia Fermiego dotyczy tylko fermionów tego samego typu. Obecność neutronów nie wpływa na energię Fermiego protonów w jądrze i odwrotnie.

Energia Fermiego jądra wynosi w przybliżeniu:

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F}} = {\ Frac {\ Hbar ^ {2}} {2 m_ {\ Rm {p}}}} \ lewo ({\ Frac {3 \ pi ^ {2}(6) \times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\około 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30 \ \mathrm {MeV} }$,

gdzie m _p jest masą protonu.

Promień pierścienia przyjmuje odchylenia wokół wartości wymienionych powyżej, to typowa wartość dla energii Fermiego jest zwykle podawana w 38 MeV .

Jednolity gaz arbitralnie wymiarowy

Gęstość stanów

Stosując całkę objętościową po wymiarach, gęstość stanów wynosi: ${\textstyle d}$

${\ Displaystyle g ^ {(d)} (E) = g_ {s} \ int {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {d} \ mathbf {k}} {(2 \ pi) ^ {d}} }\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left ({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{ \Gamma (d/2)}}}$

Energia Fermiego jest otrzymywana poprzez poszukiwanie gęstości liczbowej cząstek:

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {N} {V}} = \ int _ {E_ {0}} ^ {E_ {0}+ E_ {\ operatorname {F}} ^ {(d)}} g ^ {(d)}(E)\,\mathrm {d} E}$

Aby uzyskać:

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F}} ^ {(d)} = {\ Frac {2 \ pi \ hbar ^ {2}} {m}} \ lewo ({\ tfrac {1} {g_ {s} }}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}}+1\right){\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$

gdzie jest odpowiednią d -wymiarową objętością, jest wymiarem wewnętrznej przestrzeni Hilberta. W przypadku spinu ½ każda energia jest dwukrotnie zdegenerowana, więc w tym przypadku . ${\textstyle V}$${\textstyle g_{s}}$${\textstyle g_{s}=2}$

Szczególny wynik otrzymujemy dla , gdzie gęstość stanów staje się stała (nie zależy od energii): ${\displaystyle d=2}$

${\ Displaystyle g ^ {(2 \ operatorname {D} )} (E) = {\ Frac {g_ {s}} {2}} {\ Frac {m} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$.

Gaz Fermi w pułapce harmonicznych

Harmoniczny potencjał pułapka :

${\ Displaystyle V (x, y, z) = {\ Frac {1} {2}} m \ omega _ {x} ^ {2} x ^ {2} + {\ Frac {1} {2}} m \omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$

to system modelowy mający wiele zastosowań we współczesnej fizyce. Gęstość stanów (a dokładniej stopień degeneracji) dla danego gatunku spinowego wynosi:

${\ Displaystyle g (E) = {\ Frac {E ^ {2}} {2 (\ hbar \ omega _ {\ tekst {ho}}) ^ {3}}} \ ,,}$

gdzie jest częstotliwość drgań harmonicznych. ${\ Displaystyle \ omega _ {\ tekst {ho}} = {\ sqrt [{3}] {\ omega _ {x} \ omega _ {y} \ omega _ {z}}}}$

Energia Fermiego dla danego gatunku spinu wynosi:

${\ Displaystyle E_ {\ rm {F}} = (6N) ^ {1/3} \ hbar \ omega _ {\ tekst {ho}} \,.}$

Powiązane ilości Fermi

W odniesieniu do energii Fermiego kilka użytecznych wielkości często występuje również we współczesnej literaturze.

Temperatura Fermiego jest zdefiniowana jako , gdzie jest stałą Boltzmanna . Temperaturę Fermiego można traktować jako temperaturę, w której efekty termiczne są porównywalne z efektami kwantowymi związanymi ze statystyką Fermiego. Temperatura Fermiego dla metalu jest o kilka rzędów wielkości wyższa od temperatury pokojowej. Pozostałe ilości określone w niniejszym kontekście są Fermiego pęd , a prędkość Fermiego , które są pęd i prędkość grupy , odpowiednio, o Fermion na powierzchni Fermiego . Pęd Fermiego można również opisać jako , gdzie jest promieniem sfery Fermiego i nazywany jest wektorem falowym Fermiego . ${\ Displaystyle T_ {\ operatorname {F} } = {\ Frac {E_ {\ operatorname {F}}} {k_ {\ rm {B}}}}}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\ Displaystyle p_ {\ operatorname {F}} = {\ sqrt {2mE_ {\ operatorname {F}}}}}$ ${\ Displaystyle V_ {\ operatorname {F} } = {\ Frac {p_ {\ operatorname {F}}} {m}}}$${\ Displaystyle p_ {\ operatorname {f}} = \ hbar k_ {\ operatorname {f}}}$${\displaystyle k_{\mathrm {F}}}$

Należy zauważyć, że te wielkości nie są dobrze zdefiniowane w przypadkach, gdy powierzchnia Fermiego nie jest sferyczna.

Obróbka w skończonej temperaturze

Wielki zespół kanoniczny

Większość powyższych obliczeń jest dokładna w temperaturze zerowej, ale pozostają dobrymi przybliżeniami dla temperatur niższych niż temperatura Fermiego. Dla innych zmiennych termodynamicznych konieczne jest zapisanie potencjału termodynamicznego . Dla zespołu identycznych fermionów najlepszym sposobem na wyprowadzenie potencjału jest wielki zespół kanoniczny o ustalonej temperaturze, objętości i potencjale chemicznym µ . Powodem jest zasada wykluczenia Pauliego, ponieważ liczby obsadzeń każdego stanu kwantowego są podane przez 1 lub 0 (albo elektron zajmuje stan, albo nie), więc (wielką) funkcję podziału można zapisać jako ${\ Displaystyle {\ Mathcal {Z}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (T, V \ mu) = \ suma _ {\ {q \}} e ^ {- \ beta (E_ {q} - \ mu N_ {q})} = \prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q} \left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

gdzie , indeksuje zespoły wszystkich możliwych mikrostanów, które dają taką samą całkowitą energię i liczbę cząstek , jest energią pojedynczej cząstki stanu (liczy się dwukrotnie, jeśli energia stanu jest zdegenerowana) oraz , jego zajętość. Zatem wielki potencjał jest zapisany jako ${\ Displaystyle \ beta ^ {-1} = k_ {\ rm {B}} T}$${\displaystyle \{q\}}$${\textstyle E_{q}=\suma _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$${\textstyle N_{q}=\suma _{q}n_{q}}$${\textstyle \varepsilon _{q}}$${\textstyle q}$${\textstyle n_{q}=0,1}$

${\ Displaystyle \ Omega (T, V, \ mu) = - k_ {\ rm {B}} T \ ln \ lewo ({\ mathcal {Z}} \ prawej) = - k_ {\ rm {B}} T \sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right)}$.

Ten sam wynik można uzyskać w zespole kanonicznym i mikrokanonicznym , ponieważ wynik każdego zespołu musi dawać tę samą wartość na granicy termodynamicznej . Układ wielki kanoniczny tutaj jest zalecane, gdyż unika się stosowania kombinatoryki i silni . ${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$

Jak zbadaliśmy w poprzednich sekcjach, w granicy makroskopowej możemy użyć przybliżenia ciągłego (przybliżenie Thomasa-Fermiego ), aby przekształcić tę sumę w całkę:

${\ Displaystyle \ Omega (T, V, \ mu) = - k_ {\ rm {B}} T \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} D (\ varepsilon) \ ln (1 + e ^ { \beta (\mu -\varepsilon )})\,\mathrm {d} \varepsilon }$

gdzie D ( ε ) jest całkowitą gęstością stanów.

Związek z rozkładem Fermiego-Diraca

Wielki potencjał jest powiązany z liczbą cząstek w skończonej temperaturze w następujący sposób:

${\ Displaystyle N = - \ lewo ({\ Frac {\ częściowy \ Omega} {\ częściowy \ mu}} \ prawej) _ {T, V} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} D ( \varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\mathrm {d} \varepsilon }$

gdzie pochodna jest pobierana w ustalonej temperaturze i objętości i pojawia się

${\ Displaystyle {\ mathcal {f}} (x) = {\ Frac {1} {e ^ {x} + 1}}}$

znany również jako rozkład Fermi-Diraca .

Podobnie całkowita energia wewnętrzna wynosi

${\ Displaystyle U = \ Omega -T \ lewo ({\ Frac {\ częściowy \ Omega} {\ częściowy T}} \ prawej) _ {V, \ mu} - \ mu \ lewo ({\ Frac {\ częściowy \ Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,\mathrm {d} \varepsilon .}$

Dokładne rozwiązanie dla potęgowej gęstości stanów

Krzywe entropii vs temperatury klasycznych gazów doskonałych i kwantowych gazów doskonałych (gaz Fermiego, gaz Bosego ) w trzech wymiarach ( α = 1,5) ze stałą N , V .

Wiele układów będących przedmiotem zainteresowania ma całkowitą gęstość stanów w postaci prawa potęgowego:

${\ Displaystyle D (\ varepsilon ) = Vg (\ varepsilon ) = {\ Frac {Vg_ {0}} {\ Gamma (\ alfa)}} (\ varepsilon - \ varepsilon _ {0}) ^ {\ alfa -1 },\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$

dla niektórych wartości g ₀ , α , ε ₀ . Wyniki poprzednich rozdziałów uogólniają do wymiarów d , dając prawo potęgowe z:

• α = d /2 dla nierelatywistycznych cząstek w d- wymiarowym pudełku,
• α = d dla nierelatywistycznych cząstek w d -wymiarowym studni potencjału harmonicznego,
• α = d dla hiperrelatywistycznych cząstek w d- wymiarowym pudełku.

Dla takiej potęgowej gęstości stanów, całka wielkiego potencjału oblicza dokładnie:

${\ Displaystyle \ Omega (T, V, \ mu) = - Vg_ {0} (k_ {\ rm {B}} T) ^ {\ alfa +1} F_ {\ alfa} \ lewo ({\ Frac {\ mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\prawo),}$

gdzie jest pełna całka Fermiego-Diraca (związana z polilogarytmem ). Z tego wielkiego potencjału i jego pochodnych można odzyskać wszystkie interesujące wielkości termodynamiczne. ${\ Displaystyle F_ {\ alfa} (x)}$

Rozszerzenia do modelu

Relatywistyczny gaz Fermiego

Relacje promień-masa dla modelowego białego karła, relacja relatywistyczna vs nierelatywistyczna. Granica Chandrasekhara jest oznaczona jako M _Ch .

W artykule omówiono jedynie przypadek, w którym cząstki mają paraboliczną relację między energią i pędem, jak ma to miejsce w mechanice nierelatywistycznej. W przypadku cząstek o energiach bliskich ich masie spoczynkowej stosuje się równania szczególnej teorii względności . Gdzie energia pojedynczej cząstki jest dana wzorem:

${\ Displaystyle E = {\ sqrt {(szt.) ^ {2} + (MC ^ {2}) ^ {2}}}}$.

Dla tego systemu energia Fermiego jest dana przez:

${\ Displaystyle E_ {\ operatorname {F}} = {\ sqrt {(p_ {\ operatorname {F}} c) ^ {2} + (MC ^ {2}) ^ {2}}} - MC ^ {2 }\ok p_{\mathrm {F} }c}$,

gdzie równość obowiązuje tylko w ultrarelatywistycznej granicy , a ${\displaystyle \ok}$

${\ Displaystyle p_ {\ operatorname {F}} = \ hbar \ lewo ({\ Frac {1} {g_ {s}}} 6 \ pi ^ {2} {\ Frac {N} {V}} \ prawej) ^{1/3}}$.

Relatywistyczny model gazu Fermiego jest również używany do opisu dużych białych karłów, które znajdują się blisko granicy Chandresekhara. W przypadku ultrarelatywistycznym ciśnienie degeneracji jest proporcjonalne do . ${\ Displaystyle (N/V) ^ {4/3}}$

Płyn Fermiego

W 1956 roku Lev Landau opracował teorię cieczy Fermiego , w której omówił przypadek cieczy Fermiego, tj. układu z odpychającymi, niekoniecznie małymi, interakcjami między fermionami. Teoria pokazuje, że właściwości termodynamiczne idealnego gazu Fermiego i cieczy Fermiego nie różnią się tak bardzo. Można wykazać, że ciecz Fermiego jest równoważna gazowi Fermiego złożonemu ze zbiorowych wzbudzeń lub quasicząstek , z których każda ma inną masę efektywną i moment magnetyczny .

Zobacz też

• Gaz Bose
• Kondensat fermionowy
• Gaz w pudełku
• Galaretka
• Dwuwymiarowy gaz elektronowy

Bibliografia

Dalsza lektura

• Neil W. Ashcroft i N. David Mermin , Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).
• Charles Kittel , Wstęp do Fizyki Ciała Stałego , wyd. 1953 - 8 wyd. 2005, ISBN  0-471-41526-X