Arytmetyka wskaźnika poziomu symetrycznego - Symmetric level-index arithmetic

Poziom indeks ( LI ) reprezentacji liczb, a jego algorytmów do arytmetyczne operacje zostały wprowadzone przez Charles Clenshaw i Frank Olver 1984.

Symetryczną postać systemu LI i jego działania arytmetyczne przedstawili Clenshaw i Peter Turner w 1987 roku.

Michael Anuta, Daniel Lozier, Nicolas Schabanel i Turner opracowali algorytm arytmetyki symetrycznego wskaźnika poziomu ( SLI ) i jego równoległą implementację. Prowadzono intensywne prace nad opracowaniem algorytmów arytmetycznych SLI i rozszerzeniem ich na złożone i wektorowe operacje arytmetyczne.

Definicja

Ideą systemu indeksu poziomów jest reprezentowanie nieujemnej liczby rzeczywistej X jako

${\ Displaystyle X = e ^ {e ^ {e ^ {\ cdots ^ {e ^ {f}}}}}}$

gdzie i proces potęgowania odbywa się ℓ razy, z . ℓ i F są poziom i wskaźnik z X , odpowiednio. x = ℓ + f jest obrazem LI X . Na przykład, ${\displaystyle 0\leq f<1}$${\ Displaystyle \ ell \ geq 0}$

${\ Displaystyle X = 1234567 = e ^ {e ^ {e ^ {0,9711308}}}}$

więc jego obraz LI to

${\ Displaystyle x = \ ell + f = 3 + 0,9711308 = 3,9711308.}$

Symetryczna forma jest używana, aby dopuścić ujemne wykładniki, jeśli wielkość X jest mniejsza niż 1. Jeden bierze sgn (log( X )) lub sgn(| X | − | X | ⁻¹ ) i przechowuje je (po podstawieniu +1 dla 0 dla znaku odwrotności, ponieważ dla X  = 1 =  e ⁰ obraz LI to x  = 1.0 i jednoznacznie definiuje X =1 i możemy zrezygnować z trzeciego stanu i użyć tylko jednego bitu dla dwóch stanów -1 i +1 ) jako znak odwrotny r _X . Matematycznie jest to równoznaczne z wzięciem odwrotności (odwrotności mnożenia) małej liczby wielkości, a następnie znalezieniem obrazu SLI dla odwrotności. Użycie jednego bitu dla znaku odwrotności umożliwia reprezentację bardzo małych liczb.

Bit znaku mogą być również wykorzystywane w celu umożliwienia liczb ujemnych. Jeden bierze sgn (X) i zapisuje go (po podstawieniu znaku +1 za 0, ponieważ dla X  = 0 obraz LI to x  = 0.0 i jednoznacznie definiuje X  = 0 i możemy zrezygnować bez trzeciego stanu i użyć tylko jednego bit dla dwóch stanów −1 i +1) jako znak s _X . Matematycznie jest to równoznaczne z wzięciem odwrotności (odwrotności dodawania) liczby ujemnej, a następnie znalezieniem odwrotności obrazu SLI. Użycie jednego bitu jako znaku umożliwia reprezentację liczb ujemnych.

Funkcja odwzorowania nazywana jest uogólnioną funkcją logarytmiczną . Jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ psi (X) = {\ zacząć {przypadki} X i {\ tekst {jeśli}} 0 \ równoważnik X <1 \ \ 1 + \ psi (\ ln X) i {\ tekst {jeśli}} X \ geq 1\end{przypadki}}}$

i mapuje się na siebie monotonicznie, a więc jest odwracalny na tym przedziale. Odwrotność, uogólniona funkcja wykładnicza , jest zdefiniowana przez ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\ Displaystyle \ varphi (x) = {\ zacząć {przypadki} x i {\ tekst {jeśli}} 0 \ równoważnik x <1 \ \ e ^ {\ varphi (x-1)} i {\ tekst {jeśli}} x\geq 1\end{przypadki}}}$

Gęstość wartości X reprezentowana przez x nie ma nieciągłości, gdy przechodzimy od poziomu ℓ do ℓ  + 1 (bardzo pożądana właściwość), ponieważ:

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d \ Varphi (x)} {dx}} \ prawo | _ {x = 1} = \ lewo {\ Frac {d \ Varphi (e ^ {x})}} dx}}\right|_{x=0}.}$

Funkcja logarytmu uogólnionego jest ściśle powiązana z logarytmem iterowanym stosowanym w komputerowej analizie algorytmów.

Formalnie możemy zdefiniować reprezentację SLI dla dowolnego rzeczywistego X (nie 0 lub 1) jako

${\ Displaystyle X = s_ {X} \ varphi (x) ^ {r_ {X}}}$

gdzie s _X jest znakiem (inwersja addytywna lub nie) X, a r _X jest znakiem odwrotności (inwersja multiplikatywna lub nie), jak w następujących równaniach:

${\ Displaystyle s_ {X} = \ operatorname {sgn} (X), \ r_ {X} = \ operatorname {sgn} (| X | - | X | ^ {-1}), \, x = \ psi (\max(|X|,|X|^{-1}))=\psi (|X|^{r_{X}})}$

natomiast dla X = 0 lub 1 mamy:

${\displaystyle s_{0}=+1,r_{0}=+1,x=0,0,\,}$

${\displaystyle s_{1}=+1,r_{1}=+1,x=1.0.\,}$

Na przykład,

${\ Displaystyle X = - {\ dfrac {1} {1234567}} = - e ^ {-e ^ {e ^ {0,9711308}}}}$

a jego reprezentacja SLI to

${\ Displaystyle x = - \ varphi (3.9711308) ^ {-1}.}$

Zobacz też

• Tetracja
• zmiennoprzecinkowa (FP)
• Zbieżny punkt zmiennoprzecinkowy (TFP)
• Logarytmiczny system liczbowy (LNS)
• Poziom (ilość logarytmiczna)

Bibliografia

Dalsza lektura

• Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John ; Turner, Peter R. (1989). „Arytmetyka indeksu poziomu: Ankieta wprowadzająca”. Analiza numeryczna i przetwarzanie równoległe ( Materiały konferencyjne / Letnia Szkoła Analizy Numerycznej Lancaster 1987). Notatki z wykładu z matematyki (LNM). 1397 : 95-168. doi : 10.1007/BFb0085718 .
• Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (1989-23) [04.10.1988]. „Root Squaring Korzystanie z arytmetyki indeksu poziomu”. Obliczenia . Springer-Verlag . 43 (2): 171–185. ISSN  0010-485X .
• Zehendner, Eberhard (lato 2008). „Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme” (PDF) (skrypt wykładu) (w języku niemieckim). Friedrich-Schiller-Universität Jena . s. 21-22. Zarchiwizowane (PDF) od oryginału z dnia 2018-07-09 . Pobrano 2018-07-09 . [1]
• Hayes, Brian (wrzesień-październik 2009). „Wyższa arytmetyka” . Amerykański naukowiec . 97 (5): 364-368. doi : 10.1511/2009.80.364 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2018-07-09 . Pobrano 2018-07-09 . [2] . Przedrukowany także w: Hayes, Brian (2017). „Rozdział 8: Wyższa arytmetyka”. Niezawodny i inne medytacje matematyczne (1 wyd.). MIT Naciśnij . s. 113–126. Numer ISBN 978-0-26203686-3. ISBN  0-26203686-X .

Linki zewnętrzne

• sli-c-library (hostowane przez Google Code), "C++ Implementation of Symmetric Level-Index Arithmetic" .