Liczba zespolona - Complex number
W matematyce , A liczbę zespoloną jest ilość , która może być wyrażona w postaci + bi , gdzie i b są liczbami rzeczywistymi , a I jest symbolem , zwany jednostką urojoną , który spełnia równanie I 2 = -1 . Ponieważ żadna prawdziwa liczba spełnia to równanie, i był nazywany Liczby urojone przez Kartezjusza . Dla liczby zespolonej a + bi , a nazywa się część rzeczywista ibnazywa sięczęść urojona . Zbiór liczb zespolonych jest oznaczony jednym z symbolilub C . Pomimo historycznej nomenklatury „urojonej”, liczby zespolone są uważane w naukach matematycznych za tak samo „rzeczywiste” jak liczby rzeczywiste i mają fundamentalne znaczenie w wielu aspektach naukowego opisu świata przyrody.
Liczby zespolone umożliwiają rozwiązania wszystkich równań wielomianowych , nawet tych, które nie mają rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Dokładniej, fundamentalne twierdzenie algebry mówi, że każde równanie wielomianowe ze współczynnikami rzeczywistymi lub zespolonymi ma rozwiązanie, które jest liczbą zespoloną. Na przykład równanie nie ma rozwiązania rzeczywistego, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, ale ma dwa nierzeczywiste rozwiązania zespolone −1 + 3 i oraz −1 − 3 i .
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych można w naturalny sposób zdefiniować za pomocą reguły i 2 = -1 połączonej z prawami asocjacji , przemienności i rozdzielności . Każda niezerowa liczba zespolona ma odwrotność multiplikatywną . To sprawia, że liczby zespolone są polem , którego podpole mają liczby rzeczywiste. Liczby zespolone tworzą również rzeczywistą przestrzeń wektorową wymiaru drugiego, przy czym standardową bazą jest {1, i } .
Ta standardowa podstawa sprawia, że liczby zespolone są płaszczyzną kartezjańską , zwaną płaszczyzną zespoloną . Pozwala to na geometryczną interpretację liczb zespolonych i ich działań oraz odwrotnie wyrażanie w postaci liczb zespolonych niektórych właściwości geometrycznych i konstrukcji. Na przykład liczby rzeczywiste tworzą linię rzeczywistą, która jest utożsamiana z osią poziomą płaszczyzny zespolonej. Liczby zespolone o wartości bezwzględnej 1 tworzą koło jednostkowe . Dodanie liczby zespolonej jest translacją na płaszczyźnie zespolonej, a mnożenie przez liczbę zespoloną jest podobieństwem wyśrodkowanym na początku. Złożone sprzężenie to symetria odbicia względem osi rzeczywistej. Złożona wartość bezwzględna jest normą euklidesową .
Podsumowując, liczby zespolone tworzą bogatą strukturę, która jest jednocześnie ciałem algebraicznie domkniętym , algebrą przemienną nad liczbami rzeczywistymi i euklidesową przestrzenią wektorową drugiego wymiaru.
Definicja
Liczba zespolona to liczba w postaci a + bi , gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi , a i jest nieokreślonym spełniającym i 2 = −1 . Na przykład 2 + 3 i to liczba zespolona.
W ten sposób liczbę zespoloną definiuje się jako wielomian o współczynnikach rzeczywistych w pojedynczym nieokreślonym i , dla którego narzucona jest relacja i 2 + 1 = 0 . W oparciu o tę definicję liczby zespolone można dodawać i mnożyć, stosując dodawanie i mnożenie dla wielomianów. Relacja i 2 + 1 = 0 indukuje równości i 4 k = 1, i 4 k +1 = i , i 4 k +2 = −1 oraz i 4 k +3 = − i , które obowiązują dla wszystkich liczb całkowitych k ; pozwalają one na redukcję dowolnego wielomianu wynikającego z dodawania i mnożenia liczb zespolonych do wielomianu liniowego w i , ponownie w postaci a + bi o rzeczywistych współczynnikach a, b.
Liczba rzeczywista a nazywana jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej a + bi ; liczba rzeczywista b nazywana jest jej częścią urojoną . Dla podkreślenia, część urojona nie zawiera czynnika i ; to znaczy, że część urojona to b , a nie bi .
Formalnie liczby zespolone są zdefiniowane jako pierścień iloraz z wielomianu pierścienia w nieokreślony I przez idealny generowanego przez wielomian : i 2 + 1 (patrz poniżej ).
Notacja
Liczbę rzeczywistą a można traktować jako liczbę zespoloną a + 0 i , której część urojona wynosi 0. Liczba czysto urojona bi jest liczbą zespoloną 0 + bi , której część rzeczywista wynosi zero. Podobnie jak w przypadku wielomianów, często pisze się a dla a + 0 i oraz bi dla 0 + bi . Co więcej, gdy część urojona jest ujemna, to znaczy b = − |b| < 0 , często pisze się a − |b|i zamiast a + (− |b| ) i ; na przykład dla b = -4 , 3 - 4 i można zapisać zamiast 3 + (-4 ) i .
Ponieważ mnożenie nieoznaczonego i i rzeczywistego jest przemienne w wielomianach o rzeczywistych współczynnikach, wielomian a + bi można zapisać jako a + ib . Jest to często celowe w przypadku części urojonych oznaczanych wyrażeniami, na przykład gdy b jest radykałem.
Część rzeczywista liczby zespolonej Z jest oznaczona przez Re ( oo ) , lub ; części urojonej liczby zespolonej Z jest oznaczona przez IM ( oo ) , lub na przykład
Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest oznaczona przez ( tablica Bold ) lub C (pionowo pogrubione).
W niektórych dyscyplinach, szczególnie w elektromagnetyzmie i elektrotechnice , j jest używane zamiast i, ponieważ i jest często używane do reprezentowania prądu elektrycznego . W takich przypadkach liczby zespolone są zapisywane jako a + bj lub a + jb .
Wyobrażanie sobie
Liczbę zespoloną z można zatem utożsamiać z uporządkowaną parą liczb rzeczywistych, które z kolei mogą być interpretowane jako współrzędne punktu w przestrzeni dwuwymiarowej. Najbardziej bezpośrednią przestrzenią jest płaszczyzna euklidesowa z odpowiednimi współrzędnymi, którą następnie nazywamy płaszczyzną zespoloną lub diagramem Arganda , nazwanym na cześć Jeana-Roberta Arganda . Inną znaczącą przestrzenią, na którą można rzutować współrzędne, jest dwuwymiarowa powierzchnia kuli, która wówczas nazywana jest sferą Riemanna .
Złożona płaszczyzna kartezjańska
Definicja liczb zespolonych obejmujących dwie dowolne wartości rzeczywiste od razu sugeruje użycie współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie zespolonej. Oś pozioma ( rzeczywista ) jest zwykle używana do wyświetlania rzeczywistej części z rosnącymi wartościami po prawej stronie, a część urojona oznacza oś pionową ( urojoną ) z rosnącymi wartościami w górę.
Numer na wykresie może być postrzegany jako punkt skoordynowany lub jako wektor pozycji od początku do tego punktu. Wartości współrzędnych liczby zespolonej z można zatem wyrazić w postaci kartezjańskiej , prostokątnej lub algebraicznej .
Warto zauważyć, że operacje dodawania i mnożenia przybierają bardzo naturalny charakter geometryczny, gdy liczby zespolone są postrzegane jako wektory położenia: dodawanie odpowiada dodawaniu wektorów , podczas gdy mnożenie (patrz niżej ) odpowiada mnożeniu ich wielkości i dodawaniu kątów, które tworzą z oś rzeczywista. Patrząc w ten sposób, mnożenie liczby zespolonej przez i odpowiada obróceniu wektora pozycji w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o ćwierć obrotu ( 90° ) wokół początku — fakt, który można wyrazić algebraicznie w następujący sposób:
Płaszczyzna biegunowa zespolona
Moduł i argument
Alternatywną opcją dla współrzędnych w płaszczyźnie zespolonej jest układ współrzędnych biegunowych, który wykorzystuje odległość punktu z od początku ( O ) oraz kąt zawarty między dodatnią osią rzeczywistą a odcinkiem linii Oz w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Prowadzi to do postaci biegunowej liczb zespolonych.
Wartość bezwzględna (lub moduł lub wielkość ) liczby zespolonej z = x + yi wynosi
Jeśli z jest liczbą rzeczywistą (to znaczy, jeśli y = 0 ), to r = | x | . Oznacza to, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest równa jej wartości bezwzględnej jako liczbie zespolonej.
Według twierdzenia Pitagorasa wartość bezwzględna liczby zespolonej to odległość od początku punktu reprezentującego liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej .
Argument z Z (w wielu zastosowaniach określonych jako „faza” cp ) jest kąt promienia Oz z dodatnim osi rzeczywistej, a jest napisane jak arg oo . Podobnie jak w przypadku modułu, argument można znaleźć w postaci prostokątnej x + yi — przez zastosowanie odwrotnej tangensa do ilorazu części urojonych do rzeczywistych. Za pomocą tożsamości pół kąt, jedna gałąź arctan wystarcza do pokrycia zakres arg -function, (- Õ , π ] i unika bardziej subtelne analizy przypadków z osobna
Zwykle, jak podano powyżej, wybierana jest główna wartość w przedziale (− π , π ] . Jeśli wartość arg jest ujemna, wartości z przedziału (− π , π ] lub [0, 2 π ) można uzyskać przez dodanie 2 π W tym artykule wartość φ jest wyrażona w radianach i może wzrosnąć o dowolną całkowitą wielokrotność 2 π i nadal dawać ten sam kąt, widziany jako zależny od promieni dodatniej osi rzeczywistej i od początku do z . Stąd funkcja arg jest czasami uważana za wielowartościową .Kąt biegunowy dla liczby zespolonej 0 jest nieokreślony, ale arbitralny wybór kąta biegunowego 0 jest powszechny.
Wartość φ jest równa wynikowi atan2 :
Razem r i φ dają inny sposób przedstawiania liczb zespolonych, postać biegunową , jako kombinacja modułu i argumentu w pełni określającego położenie punktu na płaszczyźnie. Odzyskiwanie pierwotnych współrzędnych prostokątnych z postaci biegunowej odbywa się za pomocą formuły zwanej formą trygonometryczną
Korzystając ze wzoru Eulera, można to zapisać jako
Używając funkcji cis , jest to czasami skracane do
W zapisie kątowym , często używanym w elektronice do reprezentowania wskaznika z amplitudą r i fazą φ , zapisywany jest jako
Złożone wykresy
Podczas wizualizacji złożonych funkcji potrzebne są zarówno złożone dane wejściowe, jak i wyjściowe. Ponieważ każda liczba zespolona jest reprezentowana w dwóch wymiarach, wizualne wykreślenie funkcji złożonej wymagałoby postrzegania przestrzeni czterowymiarowej , co jest możliwe tylko w rzutach. Z tego powodu zaprojektowano inne sposoby wizualizacji złożonych funkcji.
W kolorowaniu domenowym wymiary wyjściowe są reprezentowane odpowiednio przez kolor i jasność. Każdy punkt na płaszczyźnie zespolonej jako domena jest ozdobiony , zazwyczaj kolorem reprezentuje argument liczby zespolonej, a jasność reprezentuje wielkość. Ciemne plamy oznaczają moduły w pobliżu zera, jaśniejsze plamy są dalej od początku, gradacja może być nieciągła, ale zakłada się, że jest monotonna. Kolory często różnią się stopniamiπ/3dla 0 do 2 π od czerwonego, żółtego, zielonego, cyjanowego, niebieskiego do magenta. Wykresy te nazywane są wykresami koła kolorów . Zapewnia to prosty sposób wizualizacji funkcji bez utraty informacji. Rysunek pokazuje zera dla ±1, (2 + i ) i bieguny przy ± √ -2 -2 i .
Powierzchnie Riemanna to kolejny sposób wizualizacji złożonych funkcji. Powierzchnie Riemanna można traktować jako deformacje płaszczyzny zespolonej; podczas gdy osie poziome reprezentują rzeczywiste i urojone dane wejściowe, pojedyncza oś pionowa reprezentuje tylko rzeczywiste lub urojone dane wyjściowe. Jednak powierzchnie Riemanna są zbudowane w taki sposób, że obracanie ich o 180 stopni pokazuje wyimaginowany wynik i na odwrót. W przeciwieństwie do kolorowania domen powierzchnie Riemanna mogą reprezentować funkcje wielowartościowe, takie jak √ z .
Historia
Rozwiązanie pierwiastkowe (bez funkcji trygonometrycznych ) ogólnego równania sześciennego zawiera pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych, gdy wszystkie trzy pierwiastki są liczbami rzeczywistymi, sytuacja, której nie można naprawić przez faktoryzację przy pomocy testu pierwiastków wymiernych, jeśli sześcienna jest nieredukowalna ( tzw irreducibilis casus ). Ta zagadka doprowadziła około 1545 roku włoskiego matematyka Gerolamo Cardano do wyobrażenia liczb zespolonych, choć jego rozumienie było szczątkowe.
Prace nad problemem wielomianów ogólnych doprowadziły ostatecznie do fundamentalnego twierdzenia algebry , z którego wynika, że w przypadku liczb zespolonych istnieje rozwiązanie każdego równania wielomianowego stopnia pierwszego lub wyższego. Liczby zespolone tworzą w ten sposób ciało algebraicznie domknięte , w którym każde równanie wielomianowe ma pierwiastek .
Wielu matematyków przyczyniło się do rozwoju liczb zespolonych. Zasady dodawania, odejmowania, mnożenia i wydobywania pierwiastka liczb zespolonych zostały opracowane przez włoskiego matematyka Rafaela Bombelli . Bardziej abstrakcyjny formalizm liczb zespolonych rozwinął irlandzki matematyk William Rowana Hamilton , który rozszerzył tę abstrakcję na teorię kwaternionów .
Najwcześniejsze wzmianki ulotne do pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych można chyba powiedzieć, występują w pracach greckiego matematyka Heron z Aleksandrii w 1 wieku naszej ery , gdzie w jego Stereometrica on uzna, najwyraźniej w wyniku błędu, wielkość niemożliwej ściętego z piramida przybyć na metę w swoich obliczeniach, chociaż nie były ujemne ilości pomyślany w matematyce hellenistycznych i Hero jedynie zastąpić go przez jego pozytywny
Impuls do badania liczb zespolonych jako tematu samego w sobie pojawił się po raz pierwszy w XVI wieku, kiedy włoscy matematycy odkryli rozwiązania algebraiczne dla pierwiastków wielomianów sześciennych i kwarcowych (zob. Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Szybko zdano sobie sprawę (choć okazało się to znacznie później), że formuły te, nawet jeśli interesowały nas tylko rozwiązania rzeczywiste, czasami wymagają manipulacji pierwiastkami kwadratowymi liczb ujemnych. Na przykład wzór Tartaglii na równanie sześcienne postaci x 3 = px + q daje rozwiązanie równania x 3 = x jako
Na pierwszy rzut oka wygląda to na bzdury. Jednak formalne obliczenia z liczbami zespolonymi pokazują, że równanie z 3 = i ma trzy rozwiązania: Podstawiając je kolejno do wzoru sześciennego Tartaglii i upraszczając, otrzymujemy 0, 1 i −1 jako rozwiązania x 3 − x = 0 . Oczywiście to konkretne równanie można rozwiązać na pierwszy rzut oka, ale pokazuje ono, że gdy do rozwiązywania równań sześciennych z pierwiastkami rzeczywistymi używa się ogólnych wzorów, to, jak później rygorystycznie wykazali matematycy, nie da się uniknąć użycia liczb zespolonych . Rafael Bombelli jako pierwszy odniósł się wyraźnie do tych pozornie paradoksalnych rozwiązań równań sześciennych i opracował reguły złożonej arytmetyki, próbując rozwiązać te problemy.
Termin „wyimaginowany” dla tych wielkości został ukuty przez René Descartesa w 1637 roku, który starał się podkreślić ich nierzeczywisty charakter
... czasami tylko urojona, to znaczy można sobie wyobrazić tyle, ile powiedziałem w każdym równaniu, ale czasami nie istnieje ilość, która pasuje do tego, co sobie wyobrażamy.
[ …] wyobrażać sobie. ]
Kolejnym źródłem nieporozumień było to, że równanie wydawało się kapryśnie niespójne z identycznością algebraiczną , która jest poprawna dla nieujemnych liczb rzeczywistych a i b , i która była również używana w obliczeniach na liczbach zespolonych z jednym z a , b dodatnimi i inne negatywne. Błędne użycie tej tożsamości (i tożsamości pokrewnej ) w przypadku, gdy zarówno a, jak i b są negatywne, nawet zepsuty Euler. Ta trudność doprowadziła w końcu do konwencji używania specjalnego symbolu i w celu ochrony przed tym błędem. Mimo to Euler uznał za naturalne wprowadzanie uczniów w liczby zespolone znacznie wcześniej niż obecnie. W swoim podstawowym podręczniku do algebry, Elements of Algebra , wprowadza te liczby niemal od razu, a następnie używa ich w naturalny sposób.
W XVIII wieku liczby zespolone zyskały szersze zastosowanie, ponieważ zauważono, że formalna manipulacja złożonymi wyrażeniami może być wykorzystana do uproszczenia obliczeń z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych. Na przykład w 1730 roku Abraham de Moivre zauważył, że skomplikowane tożsamości wiążące funkcje trygonometryczne liczby całkowitej wielokrotności kąta z potęgami funkcji trygonometrycznych tego kąta można po prostu ponownie wyrazić następującym dobrze znanym wzorem, który nosi jego imię: de Wzór Moivre'a :
1748 Leonhard Eulera udał, a ponadto uzyskuje się wzoru Eulera na skomplikowanej analizy :
formalnie manipulując złożonymi szeregami potęgowymi i zaobserwował, że ten wzór można wykorzystać do zredukowania dowolnej tożsamości trygonometrycznej do znacznie prostszych tożsamości wykładniczych.
Idea liczby zespolonej jako punktu na płaszczyźnie zespolonej ( powyżej ) została po raz pierwszy opisana przez duńsko - norweskiego matematyka Caspara Wessela w 1799 r., chociaż przewidziano ją już w 1685 r. w Atraktacie algebry Wallisa .
Wspomnienia Wessela pojawiły się w Proceedings of the Copenhagen Academy, ale przeszły w dużej mierze niezauważone. W 1806 r. Jean-Robert Argand niezależnie wydał broszurę o liczbach zespolonych i dostarczył rygorystycznego dowodu podstawowego twierdzenia algebry . Carl Friedrich Gauss wcześniej opublikował w 1797 r. zasadniczo topologiczny dowód twierdzenia, ale wyraził wówczas swoje wątpliwości co do „prawdziwej metafizyki pierwiastka kwadratowego z -1”. Dopiero w 1831 przezwyciężył te wątpliwości i opublikował swój traktat o liczbach zespolonych jako punktach na płaszczyźnie, w dużej mierze ustanawiając nowoczesną notację i terminologię.
Jeśli ktoś wcześniej rozważał ten temat z fałszywego punktu widzenia i dlatego znalazł tajemniczą ciemność, to w dużej mierze można to przypisać niezdarnej terminologii. Gdyby ktoś nie nazwał +1, -1, pozytywnymi, negatywnymi lub urojonymi (a nawet niemożliwymi) jednostkami, ale zamiast tego, powiedzmy, bezpośrednimi, odwrotnymi lub bocznymi jednostkami, to prawie nie byłoby mowy o takiej ciemności. — Gaus (1831)
Na początku XIX wieku inni matematycy niezależnie odkryli geometryczną reprezentację liczb zespolonych: Buée, Mourey , Warren , Français i jego brat Bellavitis .
Angielski matematyk GH Hardy zauważył, że Gauss był pierwszym matematykiem, który używał liczb zespolonych w „naprawdę pewny i naukowy sposób”, chociaż matematycy, tacy jak Norweg Niels Henrik Abel i Carl Gustav Jacobi Jacobi , z konieczności używali ich rutynowo, zanim Gauss opublikował swój traktat z 1831 roku.
Augustin Louis Cauchy i Bernhard Riemann razem doprowadzili fundamentalne idee analizy złożonej do wysokiego stanu ukończenia, poczynając od około 1825 r. w przypadku Cauchy'ego.
Powszechne terminy używane w teorii są głównie związane z założycielami. Arganda nazywa cos φ + i sin φ na czynnik kierunku , a na module ; Cauchy'ego (1821) o nazwie cos φ + I sin φ do formy zredukowanej (l'ekspresji réduite) i prawdopodobnie wprowadził określenie argumentu ; Gaussa stosowane I w wprowadził określenie liczby złożonej z + Bi i nazywa się 2 + b 2 normą . Współczynnik kierunku wyrażenia , często używany dla cos φ + i sin φ , pochodzi od Hankela (1867), a wartość bezwzględna dla modułu jest od Weierstrassa.
Późniejsi pisarze klasyczni zajmujący się ogólną teorią to między innymi Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass i wielu innych. Ważną pracę (w tym systematyzację) w złożonym rachunku wielowymiarowym rozpoczęto na początku XX wieku. Ważne wyniki osiągnął Wilhelm Wirtinger w 1927 roku.
Relacje i operacje
Równość
Liczby zespolone mają podobną definicję równości do liczb rzeczywistych; dwie liczby zespolone a 1 + b 1 i oraz a 2 + b 2 i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, to znaczy, gdy a 1 = a 2 i b 1 = b 2 . Niezerowe liczby zespolone zapisane w postaci biegunowej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą wartość, a ich argumenty różnią się całkowitą wielokrotnością 2 π .
Zamawianie
W przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, nie ma naturalnego uporządkowania liczb zespolonych. W szczególności nie ma na liczbach zespolonych uporządkowania liniowego zgodnego z dodawaniem i mnożeniem – liczby zespolone nie mogą mieć struktury ciała uporządkowanego. Dzieje się tak np. dlatego, że każda nietrywialna suma kwadratów w uporządkowanym polu to ≠ 0 , a i 2 + 1 2 = 0 jest nietrywialną sumą kwadratów. Tak więc liczby zespolone są naturalnie uważane za istniejące na płaszczyźnie dwuwymiarowej.
Sprzężony
Sprzężone liczby zespolonej Z = x + yi jest przez X - Yi . Jest oznaczony przez z lub z * . Ta jednoargumentowa operacja na liczbach zespolonych nie może być wyrażona przez zastosowanie tylko ich podstawowych operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.
Geometrycznie oo jest „odbicie” z Z o osi rzeczywistej. Dwukrotna koniugacja daje oryginalną liczbę zespoloną
co czyni tę operację inwolucją . Odbicie pozostawia zarówno część rzeczywistą, jak i wielkość z bez zmian, czyli
- oraz
Część urojona i argument liczby zespolonej z zmieniają swój znak podczas koniugacji
Aby uzyskać szczegółowe informacje na temat argumentów i wielkości, zobacz sekcję dotyczącą formy biegunowej .
Iloczyn liczby zespolonej z = x + yi i jej sprzężenia nazywany jest kwadratem bezwzględnym . Jest to zawsze nieujemna liczba rzeczywista i równa kwadratowi wielkości każdej z nich:
Ta właściwość może być wykorzystana do zamiany ułamka ze złożonym mianownikiem na równoważny ułamek z mianownikiem rzeczywistym poprzez rozszerzenie zarówno licznika, jak i mianownika ułamka o sprzężenie danego mianownika. Proces ten jest czasami nazywany „ racjonalizacją ” mianownika (chociaż mianownik w końcowym wyrażeniu może być niewymierną liczbą rzeczywistą), ponieważ przypomina metodę usuwania pierwiastków z prostych wyrażeń w mianowniku.
Rzeczywiste i urojone części liczby zespolonej z można wyodrębnić za pomocą koniugacji:
Co więcej, liczba zespolona jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa jej własnej koniugacie.
Koniugacja obejmuje podstawowe złożone operacje arytmetyczne:
Koniugacja jest również stosowana w geometrii odwrotnej , gałęzi geometrii badającej odbicia bardziej ogólne niż te dotyczące linii. W analizie sieciowej obwodów elektrycznych sprzężenie zespolone jest wykorzystywane do znajdowania impedancji zastępczej, gdy poszukuje się twierdzenia o maksymalnym transferze mocy .
Dodawanie i odejmowanie
Dwie liczby zespolone a i b najłatwiej dodać przez oddzielne dodanie ich części rzeczywistych i urojonych sum. To jest do powiedzenia:
Podobnie odejmowanie można wykonać jako
Wykorzystując wizualizację liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej, dodawanie ma następującą interpretację geometryczną: suma dwóch liczb zespolonych a i b , interpretowanych jako punkty na płaszczyźnie zespolonej, to punkt uzyskany przez zbudowanie równoległoboku z trzech wierzchołków O , oraz punkty strzałek oznaczone a i b (pod warunkiem, że nie znajdują się na linii). Równoważnie, nazywając tych punktów , B , odpowiednio i czwartym punktem równoległoboku X na trójkąty OAB i Xba są przystające . Wizualizację odejmowania można uzyskać, rozważając dodanie ujemnego odejmowania .
Mnożenie i kwadrat
Zasady rozdzielność , że właściwości przemienne (dodawania i mnożenia), a właściwość definiowania i 2 = -1 dotyczą liczb zespolonych. Wynika, że
W szczególności,
Wzajemność i podział
Używając koniugacji, odwrotność niezerowej liczby zespolonej z = x + yi zawsze można podzielić na
ponieważ wartość niezerowa oznacza, że x 2 + y 2 jest większe od zera.
Można to wykorzystać do wyrażenia dzielenia dowolnej liczby zespolonej w = u + vi przez niezerową liczbę zespoloną z jako
Mnożenie i dzielenie w postaci biegunowej
Wzory mnożenia, dzielenia i potęgowania są prostsze w postaci biegunowej niż odpowiadające im wzory we współrzędnych kartezjańskich. Biorąc pod uwagę dwie liczby zespolone z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) oraz z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) , ze względu na tożsamości trygonometryczne
możemy wyprowadzić
Innymi słowy, wartości bezwzględne są mnożone, a argumenty dodawane w celu uzyskania biegunowej postaci produktu. Na przykład pomnożenie przez i odpowiada ćwierćobrotowi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, co daje z powrotem i 2 = -1 . Rysunek po prawej ilustruje mnożenie
Ponieważ część rzeczywista i urojona liczby 5 + 5 i są równe, argumentem tej liczby jest 45 stopni, czyli π /4 (w radianach ). Z drugiej strony jest to również suma kątów na początku czerwonego i niebieskiego trójkąta to odpowiednio arctan (1/3) i arctan(1/2). Zatem formuła
trzyma. Ponieważ funkcja arctan może być bardzo wydajnie aproksymowana, formuły takie – znane jako formuły podobne do Machin – są używane do bardzo precyzyjnych przybliżeń π .
Podobnie podział jest podany przez
Pierwiastek kwadratowy
Pierwiastki kwadratowe a + bi (z b ≠ 0 ) to , gdzie
oraz
gdzie sgn jest funkcją signum . Można to zobaczyć, podnosząc do kwadratu, aby uzyskać a + bi . Tutaj nazywa się moduł z + bi , i pierwiastek kwadratowy znak wskazuje na pierwiastek kwadratowy z nieujemnej części rzeczywistej, zwany główny pierwiastek kwadratowy ; także gdzie z = a + bi .
Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza można zdefiniować dla każdej liczby zespolonej Z przez szereg potęgowy
który ma nieskończony promień zbieżności .
Wartość przy 1 funkcji wykładniczej jest liczbą Eulera
Jeśli z jest rzeczywiste, mamy kontynuację analityczną pozwalającą na rozszerzenie tej równości dla każdej wartości zespolonej z , a zatem zdefiniowanie złożonej potęgi o podstawie e jako
Równanie funkcjonalne
Funkcja wykładnicza spełnia równanie funkcyjne Można to udowodnić, porównując rozwinięcie szeregów potęgowych obu elementów lub stosując kontynuację analityczną od ograniczenia równania do rzeczywistych argumentów.
Wzór Eulera
Wzór Eulera mówi, że dla dowolnej liczby rzeczywistej y ,
Równanie funkcyjne implikuje zatem, że jeśli x i y są rzeczywiste, to mamy
co jest rozkładem funkcji wykładniczej na części rzeczywiste i urojone.
Logarytm zespolony
W rzeczywistym przypadku logarytm naturalny można zdefiniować jako odwrotność funkcji wykładniczej. Aby rozszerzyć to na złożoną dziedzinę, można zacząć od wzoru Eulera. Oznacza to, że jeśli liczba zespolona jest zapisana w postaci biegunowej
z potem z
jako logarytm zespolony mamy odpowiednią odwrotność:
Ponieważ jednak cosinus i sinus są funkcjami okresowymi, dodanie całkowitej wielokrotności 2 π do φ nie zmienia z . Na przykład, e iπ = e 3 iπ = −1 , więc zarówno iπ jak i 3 iπ są możliwymi wartościami dla logarytmu naturalnego -1 .
Dlatego, jeśli logarytm zespolony nie ma być zdefiniowany jako funkcja wielowartościowa
trzeba użyć gałęzi cut i ograniczyć domenę , co skutkuje funkcją bijektywną
Jeśli nie jest liczbą rzeczywistą niedodatnią (dodatnią lub nierzeczywistą), wynikową wartość główną logarytmu zespolonego otrzymujemy z − π < φ < π . Jest to funkcja analityczna poza ujemnymi liczbami rzeczywistymi, ale nie może być przedłużona do funkcji, która jest ciągła dla dowolnej ujemnej liczby rzeczywistej , gdzie główną wartością jest ln z = ln(− z ) + iπ .
Potęgowanie
Jeśli x > 0 jest rzeczywiste, a z zespolone, potęgowanie definiuje się jako
gdzie ln oznacza logarytm naturalny.
Rozszerzenie tego wzoru na wartości zespolone x , wydaje się naturalne , ale istnieją pewne trudności wynikające z faktu, że logarytm zespolony nie jest tak naprawdę funkcją, lecz funkcją wielowartościową .
Wynika z tego, że jeśli z jest jak powyżej i jeśli t jest inną liczbą zespoloną, to potęgowanie jest funkcją wielowartościową
Wykładniki całkowite i ułamkowe
Jeśli w poprzednim wzorze t jest liczbą całkowitą, to sinus i cosinus są niezależne od k . Tak więc, jeśli wykładnik n jest liczbą całkowitą, to z n jest dobrze zdefiniowane, a wzór potęgowania upraszcza się do wzoru de Moivre'a :
N n TH korzenie liczby zespolonej Z są przez
dla 0 ≤ k ≤ n − 1 . (Oto zwykły (dodatni) n- ty pierwiastek dodatniej liczby rzeczywistej r .) Ponieważ sinus i cosinus są okresowe, inne liczby całkowite k nie dają innych wartości.
Chociaż n- ty pierwiastek dodatniej liczby rzeczywistej r jest wybrany jako dodatnia liczba rzeczywista c spełniająca c n = r , nie ma naturalnego sposobu na rozróżnienie jednego konkretnego złożonego n- tego pierwiastka liczby zespolonej. W związku z tym brak p główny jest n -valued funkcja z Z . Oznacza to, że w przeciwieństwie do dodatnich liczb rzeczywistych, należy:
ponieważ lewa strona składa się z n wartości, a prawa strona to pojedyncza wartość.
Nieruchomości
Struktura pola
Zbiór liczb zespolonych jest polem . Krótko mówiąc, oznacza to, że obowiązują następujące fakty: po pierwsze, dowolne dwie liczby zespolone można dodać i pomnożyć, aby otrzymać kolejną liczbę zespoloną. Po drugie, dla dowolnej liczby zespolonej z jej odwrotność addytywna – z jest również liczbą zespoloną; i po trzecie, każda niezerowa liczba zespolona ma odwrotność liczby zespolonej. Ponadto operacje te spełniają szereg praw, na przykład prawo przemienności dodawania i mnożenia dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z 1 i z 2 :
Te dwa prawa i inne wymagania dotyczące pola można udowodnić za pomocą podanych wyżej wzorów, wykorzystując fakt, że same liczby rzeczywiste tworzą ciało.
W przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, nie jest ciałem uporządkowanym , to znaczy nie można zdefiniować relacji z 1 < z 2 zgodnej z dodawaniem i mnożeniem. W rzeczywistości w każdym uporządkowanym polu kwadrat dowolnego elementu jest z konieczności dodatni, więc i 2 = -1 wyklucza istnienie uporządkowania na
Gdy pole bazowe dla tematu matematycznego lub konstrukcji jest polem liczb zespolonych, nazwa tematu jest zwykle modyfikowana w celu odzwierciedlenia tego faktu. Na przykład: analiza złożona , macierz złożona , wielomian złożony i złożona algebra Liego .
Rozwiązania równań wielomianowych
Biorąc pod uwagę dowolne liczby zespolone (zwane współczynnikami ) a 0 , ..., a n , równanie
ma co najmniej jedno rozwiązanie złożone z , pod warunkiem, że co najmniej jeden z wyższych współczynników a 1 , ..., a n jest niezerowy. To oświadczenie zasadnicze twierdzenie algebry , o Carl Friedrich Gauss i Jean Le Rond d'Alembert . Z tego powodu nazywane jest ciałem algebraicznie domkniętym . Własność ta nie obowiązuje dla ciała liczb wymiernych (wielomian x 2 − 2 nie ma pierwiastka wymiernego, ponieważ √2 nie jest liczbą wymierną) ani liczb rzeczywistych (wielomian x 2 + a nie ma liczby rzeczywistej pierwiastek dla a > 0 , ponieważ kwadrat x jest dodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej x ).
Istnieją różne dowody tego twierdzenia przez którąkolwiek metod analitycznych, takich jak twierdzenia Liouville'a lub topologiczne te, takie jak liczby uzwojeń lub dowód łącząc teorię Galois i fakt, że każdy prawdziwy wielomianem nieparzystego stopnia ma co najmniej jedno prawdziwe korzenie.
Z tego powodu twierdzenia, które obowiązują dla dowolnego algebraicznie domkniętego ciała, mają zastosowanie do Na przykład każda niepusta złożona macierz kwadratowa ma co najmniej jedną (złożoną) wartość własną .
Charakterystyka algebraiczna
Pole ma następujące trzy właściwości:
- Po pierwsze, ma charakterystykę 0. Oznacza to, że 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 dla dowolnej liczby sum (z których wszystkie są równe jednemu).
- Po drugie, jego stopień transcendencja nad The field prime o to liczność kontinuum .
- Po trzecie, jest algebraicznie domknięty (patrz wyżej).
Można wykazać, że każde pole posiadające te właściwości są izomorficzne (w dziedzinie) i Na przykład algebraiczna zamknięcie pola na p liczbę -adic także spełnia te właściwości, aby te dwa pola są izomorficzne (w dziedzinach, ale nie jako pola topologiczne). Jest również izomorficzny z polem złożonej serii Puiseux . Jednak określenie izomorfizmu wymaga aksjomatu wyboru . Inną konsekwencją tej algebraicznej charakterystyki jest to, że zawiera wiele właściwych podpól, które są izomorficzne z .
Charakterystyka jako pole topologiczne
Powyższa charakterystyka opisuje tylko algebraiczne aspekty To znaczy właściwości bliskości i ciągłości , które mają znaczenie w dziedzinach takich jak analiza i topologia , nie są rozpatrywane. Poniższy opis postaci pola topologicznych (to jest pole, które jest wyposażone w topologii , który umożliwia pojęcie zbieżności) bierze się pod uwagę właściwości topologicznych. zawiera podzbiór P (czyli zbiór dodatnich liczb rzeczywistych) niezerowych elementów spełniających następujące trzy warunki:
- P jest domknięte przez dodawanie, mnożenie i branie odwrotności.
- Jeśli x i y są różnymi elementami P , to albo x − y albo y − x należy do P .
- Jeśli S jest dowolnym niepustym podzbiorem P , to S + P = x + P dla pewnego x in
Ponadto ma nietrywialny automorfizm inwolucyjny x ↦ x * (mianowicie sprzężenie zespolone), taki, że x x * jest w P dla dowolnej niezerowej x w
Każdemu polu F o tych właściwościach można nadać topologię, biorąc zbiory B ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P } jako podstawa , gdzie x obejmuje pole, a p obejmuje P . W tej topologii F jest izomorficzne jako pole topologiczne do
Jedyne połączone lokalnie zwarte pola topologiczne to i Daje to inną charakterystykę jako pole topologiczne, ponieważ można je odróżnić od tego, że niezerowe liczby zespolone są połączone , podczas gdy niezerowe liczby rzeczywiste nie są.
Formalna konstrukcja
Budowa w zamówionych parach
William Rowan Hamilton wprowadzono sposobem zdefiniowania zestawu liczb zespolonych jako zestaw z uporządkowanych par ( , b ) liczb rzeczywistych, w którym występują następujące zasady dodawania i mnożenia są nakładane:
W takim przypadku wyrażenie ( a , b ) jako a + bi jest już tylko kwestią notacji .
Konstrukcja jako pole ilorazowe
Chociaż ta niskopoziomowa konstrukcja dokładnie opisuje strukturę liczb zespolonych, następująca równoważna definicja ujawnia bardziej bezpośrednio algebraiczną naturę liczb zespolonych . Ta charakterystyka opiera się na pojęciu pól i wielomianów. Pole jest zbiorem wyposażonym w operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, które zachowują się tak, jak to jest znane, powiedzmy, z liczb wymiernych. Na przykład prawo rozdzielcze
musi zawierać dowolne trzy elementy x , y i z pola. Zbiór liczb rzeczywistych tworzy pole. Wielomian p ( X ) o rzeczywistych współczynnikach jest wyrazem postaci
gdzie a 0 , ..., a n są liczbami rzeczywistymi. Zwykłe dodawanie i mnożenie wielomianów nadaje zestawowi wszystkich takich wielomianów strukturę pierścieniową . Pierścień ten nazywa się pierścieniem wielomianowym nad liczbami rzeczywistymi.
Zbiór liczb zespolonych jest zdefiniowana jako pierścień iloraz Pole przedłużenie zawiera dwa pierwiastki z -1 , a mianowicie (The cosets z) X i - X , odpowiednio. (Kozety) 1 i X tworzą bazę [ X ]/( X 2 + 1) jako rzeczywistą przestrzeń wektorową , co oznacza, że każdy element pola rozszerzenia można jednoznacznie zapisać jako kombinację liniową w tych dwóch elementach. Równoważnie elementy pola rozszerzenia można zapisać jako uporządkowane pary ( a , b ) liczb rzeczywistych. Pierścień jest iloraz pola, ponieważ X 2 + 1 jest nierozkładalny na tak idealne generuje jest maksymalna .
Wzory na dodawanie i mnożenie w pierścieniu modulo relacja X 2 = −1 odpowiadają wzorom na dodawanie i mnożenie liczb zespolonych określonych jako pary uporządkowane. Zatem dwie definicje pola są izomorficzne (jako pola).
Przyjmując, że jest algebraicznie zamknięta, ponieważ jest to algebraiczne rozszerzenie z tego podejścia, jest zatem algebraiczne zamknięcie z
Macierzowa reprezentacja liczb zespolonych
Liczby zespolone a + bi mogą być również reprezentowane przez macierze 2 × 2 , które mają postać:
Tutaj wpisy a i b są liczbami rzeczywistymi. Ponieważ suma i iloczyn dwóch takich macierzy ma ponownie tę postać, macierze te tworzą podpierścień macierzy pierścienia 2 × 2 .
Z prostego obliczenia wynika, że mapa:
jest izomorfizmem pierścienia od ciała liczb zespolonych do pierścienia tych macierzy. Ten izomorfizm wiąże kwadrat wartości bezwzględnej liczby zespolonej z wyznacznikiem odpowiedniej macierzy, a sprzężenie liczby zespolonej z transpozycją macierzy.
Geometryczny opis mnożenia liczb zespolonych można również wyrazić w postaci macierzy rotacji , wykorzystując tę zgodność między liczbami zespolonymi a takimi macierzami. Działanie macierzy na wektor ( x , y ) odpowiada pomnożeniu x + iy przez a + ib . W szczególności, jeśli wyznacznikiem jest 1 , istnieje liczba rzeczywista t taka, że macierz ma postać:
W tym przypadku działanie macierzy na wektory i mnożenie przez liczbę zespoloną są jednocześnie obrotem kąta t .
Kompleksowa analiza
Badanie funkcji zmiennej złożonej jest znane jako analiza złożona i ma ogromne zastosowanie praktyczne w matematyce stosowanej, a także w innych gałęziach matematyki. Często najbardziej naturalne dowody na twierdzenia w analizie rzeczywistej lub w teorii liczb parzystych wykorzystują techniki analizy zespolonej (patrz na przykład twierdzenie o liczbach pierwszych). W przeciwieństwie do funkcji rzeczywistych, które są zwykle przedstawiane jako wykresy dwuwymiarowe, funkcje złożone mają wykresy czterowymiarowe i mogą być użytecznie zilustrowane przez kodowanie kolorami wykresu trójwymiarowego, aby zasugerować cztery wymiary, lub przez animowanie dynamicznej transformacji funkcji złożonej złożona płaszczyzna.
Pojęcia szeregów zbieżnych i funkcji ciągłych w analizie (rzeczywistej) mają naturalne analogie w analizie zespolonej. Mówi się, że sekwencja liczb zespolonych zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy to robią jego części rzeczywiste i urojone. Jest to równoważne definicji granic (ε, δ) , gdzie bezwzględna wartość liczb rzeczywistych jest zastępowana wartością liczb zespolonych. Z bardziej abstrakcyjnego punktu widzenia , obdarzony metryką
jest pełną przestrzenią metryczną , która zawiera w szczególności nierówność trójkąta
dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z 1 i z 2 .
Podobnie jak w analizie rzeczywistej, to pojęcie zbieżności jest używane do konstruowania szeregu funkcji elementarnych : funkcja wykładnicza exp z , również zapisywana e z , jest zdefiniowana jako szereg nieskończony
Szeregi definiujące rzeczywiste funkcje trygonometryczne sinus i cosinus oraz funkcje hiperboliczne sinh i cosh również przenoszą się bez zmian do złożonych argumentów. W przypadku innych funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych, takich jak tangens , sprawy są nieco bardziej skomplikowane, ponieważ szeregi definiujące nie są zbieżne dla wszystkich wartości złożonych. Dlatego należy je zdefiniować albo w kategoriach sinusa, cosinusa i wykładniczego, albo równoważnie, stosując metodę kontynuacji analitycznej .
Wzór Eulera stwierdza:
dla dowolnej liczby rzeczywistej φ , w szczególności
- , który jest tożsamością Eulera .
W przeciwieństwie do sytuacji liczb rzeczywistych istnieje nieskończoność złożonych rozwiązań z równania
dla dowolnej liczby zespolonej w ≠ 0 . Można wykazać, że dowolne takie rozwiązanie z – zwane logarytmem zespolonym z w – spełnia
gdzie arg jest argumentem zdefiniowanym powyżej , a w (rzeczywistym) logarytmie naturalnym . Ponieważ arg jest funkcją wielowartościową , unikalną tylko do wielokrotności 2 π , log również jest wielowartościowy. Nadrzędną wartością log jest często traktowana przez ograniczenie części urojonej w przedziale (- Õ , π ] .
Potęga zespolona z ω jest zdefiniowana jako
i jest wielowartościowy, z wyjątkiem sytuacji, gdy ω jest liczbą całkowitą. Dla ω = 1 / n , dla pewnej liczby naturalnej n , to odzyskuje niejednoznaczność n- tego pierwiastka, o którym była mowa powyżej.
Liczby zespolone, w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, na ogół nie spełniają niezmodyfikowanych tożsamości potęgowych i logarytmicznych, zwłaszcza gdy traktuje się je naiwnie jako funkcje jednowartościowe; zobacz awarię tożsamości mocy i logarytmów . Na przykład nie spełniają
Obie strony równania są wielowartościowe zgodnie z podaną tutaj definicją złożonego potęgowania, a wartości po lewej stronie są podzbiorem wartości po prawej stronie.
Funkcje holomorficzne
Funkcja f : → nazywana jest holomorficzną, jeśli spełnia równania Cauchy-Riemanna . Na przykład dowolna mapa -liniowa → może być zapisana w postaci
ze złożonymi współczynnikami a i b . Ta mapa jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0 . Druga suma jest realnie różniczkowalna, ale nie spełnia równań Cauchy-Riemanna .
Analiza złożona pokazuje pewne cechy, które nie są widoczne w rzeczywistej analizie. Na przykład, dowolne dwa holomorficznymi funkcji f i g , które zgadzają się na dowolnie małe otwarte podzestawu z siłą rzeczy dopasowują się wszędzie. Funkcje meromorficzne , funkcje , które można lokalnie zapisać jako f ( z )/( z − z 0 ) n z funkcją holomorficzną f , nadal mają niektóre cechy funkcji holomorficznych. Inne funkcje mają podstawowe osobliwości , takie jak sin(1/ z ) przy z = 0 .
Aplikacje
Liczby zespolone mają zastosowanie w wielu dziedzinach naukowych, w tym w przetwarzaniu sygnałów , teorii sterowania , elektromagnetyzmie , dynamice płynów , mechanice kwantowej , kartografii i analizie drgań . Niektóre z tych aplikacji zostały opisane poniżej.
Geometria
Kształty
Trzy niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie określają kształt trójkąta . Lokalizując punkty na płaszczyźnie zespolonej, ten kształt trójkąta można wyrazić za pomocą zespolonej arytmetyki jako
Kształt trójkąta pozostanie taki sam, gdy płaszczyzna złożona zostanie przekształcona przez translację lub dylatację (przez przekształcenie afiniczne ), odpowiadające intuicyjnemu pojęciu kształtu i opisujące podobieństwo . Tak więc każdy trójkąt należy do klasy podobieństwa trójkątów o tym samym kształcie.
Geometria fraktalna
Zestaw Mandelbrota jest popularnym przykładem fraktala utworzonego na płaszczyźnie zespolonej. Jest definiowany przez wykreślenie każdej lokalizacji, w której iteracja sekwencji nie rozbiega się, gdy jest iterowana w nieskończoność. Podobnie, zbiory Julii mają te same zasady, z wyjątkiem sytuacji, w których pozostaje stała.
Trójkąty
Każdy trójkąt ma unikalną elipsę Steinera – elipsę wewnątrz trójkąta i styczną do punktów środkowych trzech boków trójkąta. Ogniska trójkąta jest Steiner inellipse można znaleźć w następujący sposób, zgodnie z twierdzeniem marden w : Oznaczenia wierzchołki trójkąta w złożonej płaszczyźnie, a = x A + y A I , b = x B + Y B I i c = x C + y C i . Napisz równanie sześcienne , weź jego pochodną i przyrównaj (kwadratową) pochodną do zera. Twierdzenie Mardena mówi, że rozwiązaniami tego równania są liczby zespolone oznaczające położenie dwóch ognisk elipsy Steinera.
Teoria liczb algebraicznych
Jak wspomniano powyżej, każde niestałe równanie wielomianowe (w zespolonych współczynnikach) ma rozwiązanie w . A fortiori , to samo jest prawdą, jeśli równanie ma współczynniki wymierne. Pierwiastki takich równań nazywamy liczbami algebraicznymi – są one głównym przedmiotem badań w algebraicznej teorii liczb . W porównaniu z , domknięcie algebraiczne , które zawiera również wszystkie liczby algebraiczne, ma tę zaletę, że jest łatwo zrozumiałe w kategoriach geometrycznych. W ten sposób metody algebraiczne mogą być wykorzystywane do badania zagadnień geometrycznych i odwrotnie. Za pomocą metod algebraicznych, a dokładniej stosując maszynerię teorii pola do pola liczbowego zawierającego pierwiastki jedności , można wykazać, że nie jest możliwe skonstruowanie regularnego nonagonu przy użyciu jedynie kompasu i linijki – problem czysto geometryczny.
Innym przykładem są liczby całkowite Gaussa ; czyli liczby postaci x + iy , gdzie x i y są liczbami całkowitymi, które mogą służyć do klasyfikowania sum kwadratów .
Analityczna teoria liczb
Analityczna teoria liczb zajmuje się liczbami, często liczbami całkowitymi lub wymiernymi, wykorzystując fakt, że można je traktować jako liczby zespolone, w których można stosować metody analityczne. Odbywa się to poprzez kodowanie informacji z teorii liczb w funkcjach o wartościach zespolonych. Na przykład funkcja zeta Riemanna ζ( s ) jest związana z rozkładem liczb pierwszych .
Niewłaściwe całki
W dziedzinach stosowanych, liczby zespolone są często używane do obliczania pewnych całek niewłaściwych o wartościach rzeczywistych za pomocą funkcji o wartościach zespolonych. Istnieje kilka metod, aby to zrobić; zobacz metody całkowania warstwic .
Równania dynamiczne
W równaniach różniczkowych , powszechne jest najpierw znaleźć wszystkie złożone korzenie r z charakterystycznego równania z liniowego równania różniczkowego systemie lub równanie i próba rozwiązania układu pod względem funkcji bazowych postaci f ( t ) = e pokojowej . Podobnie w równaniach różnicowych stosuje się złożone pierwiastki r równania charakterystycznego układu równań różnicowych, aby spróbować rozwiązać układ w kategoriach funkcji bazowych postaci f ( t ) = r t .
Algebra liniowa
Rozkład własnych jest użytecznym narzędziem do obliczania potęg macierzy i wykładników macierzy . Często jednak wymaga użycia liczb zespolonych, nawet jeśli macierz jest rzeczywista (np. macierz rotacji ).
Liczby zespolone często uogólniają pojęcia pierwotnie wymyślone w liczbach rzeczywistych. Na przykład sprzężony transpozycja uogólnia transpozę, macierze hermitowskie uogólniają macierze symetryczne , a macierze unitarne uogólniają macierze ortogonalne .
W matematyce stosowanej
Teoria kontroli
W teorii sterowania systemy są często przekształcane z domeny czasu do domeny częstotliwości przy użyciu transformacji Laplace'a . System jest Zera i bieguny są następnie analizowane w płaszczyźnie zespolonej . Locus korzeń , Nyquista wykres i Nichols działka techniki wszystkie skorzystać na płaszczyźnie zespolonej.
W metodzie miejsca pierwiastkowego ważne jest, czy zera i bieguny znajdują się w lewej czy prawej połówce płaszczyzny, to znaczy mają część rzeczywistą większą lub mniejszą od zera. Jeśli liniowy, niezmienny w czasie (LTI) system ma bieguny, które są
- w prawej półpłaszczyźnie będzie niestabilny ,
- wszystko w lewej półpłaszczyźnie, będzie stabilne ,
- na wyobrażonej osi będzie miał marginalną stabilność .
Jeśli system ma zera w prawej połowie płaszczyzny, jest to system nieminimalnej fazy .
Analiza sygnału
Liczby zespolone są używane w analizie sygnałów i innych polach dla wygodnego opisu sygnałów zmieniających się okresowo. Dla danych funkcji rzeczywistych reprezentujących rzeczywiste wielkości fizyczne, często w postaci sinusów i cosinusów, rozważane są odpowiadające im funkcje złożone, których części rzeczywiste są wielkościami pierwotnymi. Dla fali sinusoidalnej o danej częstotliwości wartość bezwzględna | z | odpowiadającego z to amplituda, a argument arg z to faza .
Jeśli analiza Fouriera jest wykorzystywana do zapisania danego sygnału o wartościach rzeczywistych jako sumy funkcji okresowych, te funkcje okresowe są często zapisywane jako funkcje o wartościach zespolonych postaci
oraz
gdzie ω reprezentuje częstotliwość kątową, a liczba zespolona A koduje fazę i amplitudę, jak wyjaśniono powyżej.
To zastosowanie jest również rozszerzone na cyfrowe przetwarzanie sygnału i cyfrowe przetwarzanie obrazu , które wykorzystują cyfrowe wersje analizy Fouriera (i analizy falkowej ) do przesyłania, kompresji , przywracania i innego przetwarzania cyfrowych sygnałów audio , nieruchomych obrazów i sygnałów wideo .
Innym przykładem, odnoszącym się do dwóch bocznych pasm modulacji amplitudy radia AM, jest:
W fizyce
Elektromagnetyzm i elektrotechnika
W elektrotechnice , transformaty Fouriera jest używana do analizy zmieniających się napięć i prądów . Obróbka rezystorów , kondensatorów i cewek indukcyjnych może być następnie ujednolicona poprzez wprowadzenie urojonych, zależnych od częstotliwości rezystancji dla dwóch ostatnich i połączenie wszystkich trzech w jedną liczbę zespoloną zwaną impedancją . Takie podejście nazywa się rachunkiem wskazowym .
W elektrotechnice jednostka urojona jest oznaczona przez j , aby uniknąć pomyłki z I , który jest ogólnie używany do oznaczenia prądu elektrycznego lub, w szczególności, i , który jest ogólnie używany do oznaczenia chwilowego prądu elektrycznego.
Ponieważ napięcie w obwodzie prądu przemiennego oscyluje, można je przedstawić jako
Aby uzyskać mierzalną ilość, bierze się rzeczywistą część:
Sygnał o wartościach zespolonych V ( t ) nazywany jest analityczną reprezentacją mierzalnego sygnału o wartościach rzeczywistych v ( t ) .
Dynamika płynów
W dynamice płynów do opisu przepływu potencjalnego w dwóch wymiarach wykorzystuje się złożone funkcje .
Mechanika kwantowa
Pole liczb zespolonych jest nierozerwalnie związane z matematycznymi sformułowaniami mechaniki kwantowej , gdzie złożone przestrzenie Hilberta stanowią kontekst dla jednego takiego sformułowania, które jest wygodne i być może najbardziej standardowe. Oryginalne wzory podstawowe mechaniki kwantowej – równanie Schrödingera i mechanika macierzowa Heisenberga – wykorzystują liczby zespolone.
Względność
W szczególnej i ogólnej teorii względności niektóre formuły metryki czasoprzestrzeni stają się prostsze, jeśli składnik czasowy kontinuum czasoprzestrzeni jest wyimaginowany. (To podejście nie jest już standardem w klasycznej teorii względności, ale jest stosowane w zasadniczy sposób w kwantowej teorii pola ). Liczby zespolone są niezbędne dla spinorów , które są uogólnieniem tensorów używanych w teorii względności.
Proces rozszerzania pola liczb rzeczywistych do jest znany jako konstrukcja Cayleya-Dicksona . Można go przenieść dalej do wyższych wymiarów, otrzymując kwaterniony i oktonony, które (jako rzeczywista przestrzeń wektorowa) mają odpowiednio wymiar 4 i 8. W tym kontekście liczby zespolone nazwano binarionami .
Tak jak przy zastosowaniu konstrukcji do liczb rzeczywistych traci się właściwość porządkowania , tak z każdym rozszerzeniem zanikają właściwości znane z liczb rzeczywistych i zespolonych. W kwaterniony tracą przemienność, czyli x · Y ≠ Y · x niektórych quaternions x , y i mnożenie octonions , dodatkowo nie jest przemienne, nie będzie asocjacyjny: ( x · y ) · z ≠ x · ( y · z ) dla niektórych oktonów x , y , z .
Rzeczywiste, liczby zespolone, kwaterniony i oktoniony są algebrami dzielenia unormowanego nad . Według twierdzenia Hurwitza są jedynymi; z sedenions , następnym krokiem w konstrukcji Cayley-Dickson, nie ma tej struktury.
Konstrukcja Cayley-Dickson jest ściśle związana z regularnym reprezentacji z myślą o jak - algebry (an przestrzeni -vector z mnożenia), w odniesieniu do podstawy (1 I ) . Oznacza to, że: -liniowa mapa
dla pewnej ustalonej liczby zespolonej w może być reprezentowana przez macierz 2 × 2 (po wybraniu bazy). W odniesieniu do bazy (1, i ) ta macierz to
to jest ten, o którym mowa w sekcji o macierzowej reprezentacji liczb zespolonych powyżej. Chociaż jest to liniowe przedstawienie stanowi w 2 x 2 rzeczywistych matrycy, nie jest jedynym. Dowolna matryca
ma tę właściwość, że jego kwadrat jest ujemną macierzą jednostkową: J 2 = − I . Następnie
jest również izomorficzny z polem i daje alternatywną strukturę złożoną na Jest to uogólnione pojęciem liniowo złożonej struktury .
Liczby hiperkompleksowe również uogólniają i Na przykład to pojęcie zawiera liczby zespolone , które są elementami pierścienia (w przeciwieństwie do liczb zespolonych). W tym pierścieniu równanie a 2 = 1 ma cztery rozwiązania.
Pole jest uzupełnieniem pola liczb wymiernych w odniesieniu do zwykłej metryki wartości bezwzględnej . Inne wybory metryk dotyczących prowadzić do pól o p liczb -adic (dla dowolnej liczby pierwszej p ), które są w ten sposób analogiczny do . Nie ma innych nietrywialnych sposobów uzupełniania niż i według twierdzenia Ostrowskiego . Algebraicznej zamknięcia z wciąż posiada normę, ale (w przeciwieństwie ) nie są kompletne w stosunku do niego. Zakończenie z okazuje się algebraicznie zamknięte. Przez analogię pole to nazywa się liczbami zespolonymi p- adycznymi.
Pola i ich skończone rozszerzenia pól, w tym nazywane są polami lokalnymi .
Zobacz też
- Powierzchnia algebraiczna
- Ruch po okręgu z wykorzystaniem liczb zespolonych
- Złożony system bazowy
- Złożona geometria
- Numer dwuzespołowy
- Liczba całkowita Eisensteina
- Tożsamość Eulera
- Algebra geometryczna (która obejmuje płaszczyznę zespoloną jako dwuwymiarową podprzestrzeń spinorową )
- Liczba zespolona jednostki
Uwagi
Bibliografia
Prace cytowane
- Ahlfors, Lars (1979). Kompleksowa analiza (wyd. 3). McGraw-Hill. Numer ISBN 978-0-07-000657-7.
- Apostol, Tom (1981). Analiza matematyczna . Addisona-Wesleya.
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Liczba zespolona" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
Dalsza lektura
- Penrose, Roger (2005). Droga do rzeczywistości: kompletny przewodnik po prawach wszechświata . Alfred A. Knopf. Numer ISBN 978-0-679-45443-4.
- Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: Prawdziwa i urojona historia algebry . Joseph Henry Press. Numer ISBN 978-0-309-09657-7.
- Needham, Tristan (1997). Wizualna analiza złożona . Prasa Clarendona. Numer ISBN 978-0-19-853447-1.
Matematyczny
- Ahlfors, Lars (1979). Kompleksowa analiza (wyd. 3). McGraw-Hill. Numer ISBN 978-0-07-000657-7.
- Conway, John B. (1986). Funkcje jednej zmiennej zespolonej I . Skoczek. Numer ISBN 978-0-387-90328-6.
- Joshi, Kapil D. (1989). Podstawy matematyki dyskretnej . Nowy Jork: John Wiley i Synowie . Numer ISBN 978-0-470-21152-6.
- Pedoe Dan (1988). Geometria: kompleksowy kurs . Dover. Numer ISBN 978-0-486-65812-4.
- Prasa, WH; Teukolski SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Sekcja 5.5 Arytmetyka zespolona” . Przepisy numeryczne: sztuka obliczeń naukowych (3rd ed.). Nowy Jork: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-88068-8.
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Liczba zespolona" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
Historyczny
- Bourbaki, Mikołaj (1998). „Podstawy matematyki § logika: teoria mnogości”. Elementy historii matematyki . Skoczek.
- Burton, David M. (1995). Historia matematyki (3rd ed.). Nowy Jork: McGraw-Hill . Numer ISBN 978-0-07-009465-9.
- Katz, Victor J. (2004). Historia matematyki, wersja skrócona . Addisona-Wesleya . Numer ISBN 978-0-321-1693-2.
- Nahin, Paul J. (1998). Wyimaginowana opowieść: historia . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. Numer ISBN 978-0-691-02795-1. — Łagodne wprowadzenie do historii liczb zespolonych i początków analizy zespolonej.
- Ebbinghaus, HD; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Liczby (wyd. w twardej oprawie). Skoczek. Numer ISBN 978-0-387-97497-2. — Zaawansowane spojrzenie na historyczny rozwój pojęcia liczby.