Noetherowska przestrzeń topologiczna - Noetherian topological space

W matematyce noetherowska przestrzeń topologiczna , nazwana na cześć Emmy Noether , jest przestrzenią topologiczną, w której zamknięte podzbiory spełniają warunek łańcucha malejącego . Równoważnie moglibyśmy powiedzieć, że otwarte podzbiory spełniają warunek łańcucha rosnącego , ponieważ są dopełnieniami podzbiorów zamkniętych. Noetherowska własność przestrzeni topologicznej może być również postrzegana jako silny warunek zwartości , a mianowicie, że każdy otwarty podzbiór takiej przestrzeni jest zwarty i faktycznie jest to równoważne pozornie silniejszemu stwierdzeniu, że każdy podzbiór jest zwarty.

Definicja

Przestrzeń topologiczna nazywa się Noetherian, jeśli spełnia warunek zstępującego łańcucha dla zamkniętych podzbiorów : dla dowolnego ciągu${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle Y_ {1} \ supseteq Y_ {2} \ supseteq \ cdots }$

zamkniętych podzbiory o nie jest liczbą całkowitą , tak że ${\ Displaystyle Y_ {i}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle Y_ {m} = Y_ {m + 1} = \ cdots.}$

Nieruchomości

• Przestrzeń topologiczna jest Noetherian wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podprzestrzeń o to kompaktowy (czyli jest dziedzicznie compact), a wtedy i tylko wtedy, gdy każdy otwarty podzbiór jest zwarty.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• Każda podprzestrzeń przestrzeni noetherowskiej jest noetherowska.
• Ciągły obraz przestrzeni Noetherian jest Noetherian.
• Skończona suma podprzestrzeni noetherskich przestrzeni topologicznej jest noetherowska.
• Każda przestrzeń noetherowska Hausdorffa jest skończona z topologią dyskretną .

Dowód: Każdy podzbiór X jest zwarty w przestrzeni Hausdorffa, a więc zamknięty. Tak więc X ma topologię dyskretną i będąc zwartym, musi być skończony.

• Każda noetherowska przestrzeń X ma skończoną liczbę nieredukowalnych składowych . Jeśli nieredukowalnymi składnikami są , to , a żaden ze składników nie jest zawarty w połączeniu innych składników.${\ Displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}}$${\ Displaystyle X = X_ {1} \ filiżanka \ cdots \ filiżanka X_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {i}}$

Z geometrii algebraicznej

Wiele przykładów Noetherian przestrzeni topologicznych pochodzić z geometrii algebraicznej , gdzie dla Zariski topologii irreducible zestaw posiada intuicyjny właściwość, że każda zamknięta właściwy podzbiór ma mniejszy wymiar. Ponieważ wymiar może „przeskoczyć” tylko skończoną liczbę razy, a zbiory algebraiczne składają się ze skończonych sum zbiorów nieredukowalnych, łańcuchy malejące zbiorów domkniętych Zariskiego muszą ostatecznie być stałe.

Bardziej algebraicznym sposobem zobaczenia tego jest to, że powiązane ideały definiujące zbiory algebraiczne muszą spełniać warunek łańcucha rosnącego . Wynika to z tego, że pierścienie geometrii algebraicznej, w klasycznym sensie, są pierścieniami noetheryjskimi . Ta klasa przykładów wyjaśnia zatem również nazwę.

Jeśli R jest przemienne pierścień noetherowski, a spec ( R ), przy czym pierwsza widma od R , jest Noetherian przestrzeń topologiczne. Bardziej ogólnie, schemat Noetherian jest noetherską przestrzenią topologiczną. Odwrotność nie zachodzi, ponieważ Spec( R ) jednowymiarowej domeny wartościowania R składa się dokładnie z dwóch punktów i dlatego jest noetherowskie, ale istnieją przykłady takich pierścieni, które nie są noetherskie.

Przykład

Przestrzeń (afinicznej -kosmiczna ponad pole ) zgodnie z topologią Zariski jest przykładem Noetherian przestrzeni topologicznych. Dzięki własnościom ideału podzbioru , wiemy, że jeśli ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots}$

jest malejącym łańcuchem podzbiorów zamkniętych w Zariski, to

${\ Displaystyle I (Y_ {1}) \ podseteq I (Y _ {2}) \ podseteq I (Y _ {3}) \ podseteq \ cdots}$

jest rosnącym łańcuchem ideałów Ponieważ jest pierścieniem Noetherian, istnieje liczba całkowita taka, że ${\displaystyle k[x_{1},\ldots,x_{n}].}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle I (Y_ {m}) = I (Y_ {m + 1}) = I (Y_ {m + 2}) = \ cdots.}$

Ponieważ jest zamknięciem Y dla wszystkich Y , dla wszystkich Stąd ${\ Displaystyle V (I (Y))}$${\ Displaystyle V (I (Y_ {i})) = Y_ {i}}$${\displaystyle ja.}$

${\ Displaystyle Y_ {m} = Y_ {m + 1} = Y_ {m + 2} = \ cdots}$ jako wymagane.

Uwagi

Bibliografia

• Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Teksty podyplomowe z matematyki , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, numer MR  0463157

Ten artykuł zawiera materiał z Noetherian topologicznej przestrzeni PlanetMath , który jest licencjonowany na podstawie licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License .