System nieholonomiczny - Nonholonomic system

System nieholonomiczny w fizyce i matematyce to system fizyczny, którego stan zależy od ścieżki, którą obrałeś , aby go osiągnąć. Taki system jest opisany przez zbiór parametrów podlegających ograniczeniom różniczkowym , tak że gdy system ewoluuje wzdłuż ścieżki w swojej przestrzeni parametrów (parametry zmieniające się w sposób ciągły wartościami), ale ostatecznie powraca do pierwotnego zestawu wartości parametrów na początku ścieżka, sam system mógł nie powrócić do swojego pierwotnego stanu.

Detale

Mówiąc dokładniej, system nieholonomiczny, zwany także systemem anholonomicznym , to taki, w którym istnieje ciągły zamknięty obwód parametrów rządzących, za pomocą którego system może zostać przekształcony z dowolnego stanu do dowolnego innego stanu. Ponieważ ostateczny stan układu zależy od pośrednich wartości jego trajektorii w przestrzeni parametrów, system nie może być reprezentowany przez konserwatywną funkcję potencjału, jak na przykład prawo odwrotnych kwadratów siły grawitacji. Ten ostatni jest przykładem systemu holonomicznego: całki po ścieżce w systemie zależą tylko od stanów początkowych i końcowych układu (pozycji w potencjale), całkowicie niezależnie od trajektorii przejścia między tymi stanami. Dlatego mówi się , że system jest integrowalny , podczas gdy system nieholonomiczny jest niecałkowalny . Gdy całka ścieżki jest obliczana w systemie nieholonomicznym, wartość reprezentuje odchylenie w pewnym zakresie dopuszczalnych wartości, a to odchylenie jest określane jako anholonomia wytwarzana przez konkretną rozważaną ścieżkę. Termin ten został wprowadzony przez Heinricha Hertza w 1894 roku.

Ogólny charakter systemów anholonomicznych polega na niejawnie zależnych parametrach. Jeśli ukryta zależność może zostać usunięta, na przykład poprzez zwiększenie wymiaru przestrzeni, a tym samym dodanie co najmniej jednego dodatkowego parametru, system nie jest naprawdę nieholonomiczny, ale jest po prostu niekompletnie modelowany przez przestrzeń o niższych wymiarach. W przeciwieństwie do tego, jeśli system z natury nie może być reprezentowany przez niezależne współrzędne (parametry), to jest to naprawdę system anholonomiczny. Niektórzy autorzy robią wiele z tego, tworząc rozróżnienie między tak zwanymi stanami wewnętrznymi i zewnętrznymi systemu, ale w rzeczywistości wszystkie parametry są niezbędne do scharakteryzowania systemu, niezależnie od tego, czy są reprezentatywne dla procesów „wewnętrznych”, czy „zewnętrznych”. rozróżnienie jest w rzeczywistości sztuczne. Istnieje jednak bardzo realna i niemożliwa do pogodzenia różnica między systemami fizycznymi, które przestrzegają zasad ochrony, a tymi, które ich nie przestrzegają. W przypadku transportu równoległego na kuli, rozróżnienie jest jasne: rozmaitość riemannowska ma metrykę zasadniczo odmienną od metryki przestrzeni euklidesowej . W przypadku transportu równoległego na kuli ukryta zależność jest nieodłączna od metryki nieeuklidesowej. Powierzchnia kuli jest przestrzenią dwuwymiarową. Podnosząc wymiar, możemy wyraźniej zobaczyć naturę metryki, ale nadal jest to zasadniczo dwuwymiarowa przestrzeń z parametrami nieodwracalnie splecionymi w zależności przez metrykę Riemannową .

Z kolei ploter XY można traktować jako przykład systemu holonomicznego , w którym stan elementów mechanicznych systemu będzie miał jedną ustaloną konfigurację dla dowolnej pozycji pisaka plotera. Jeśli pióro przesunie się między pozycjami 0,0 i 3,3, koła zębate mechanizmu będą miały te same pozycje końcowe, niezależnie od tego, czy przemieszczenie nastąpi przez mechanizm, najpierw zwiększając o 3 jednostki na osi X, a następnie o 3 jednostki na osi Y , zwiększając najpierw pozycję osi Y lub wykonując dowolną inną sekwencję zmian pozycji, która skutkuje ostatecznym położeniem 3,3. Ponieważ ostateczny stan maszyny jest taki sam, niezależnie od ścieżki, jaką pokonuje pisak plotera, aby dostać się do nowej pozycji, można powiedzieć, że wynik końcowy nie jest zależny od ścieżki . Jeśli zastąpimy ploter żółwia , proces przesuwania pisaka od 0,0 do 3,3 może skutkować ustawieniem kół zębatych mechanizmu robota w różnych pozycjach w zależności od ścieżki poruszania się między tymi dwoma położeniami. Zobacz ten bardzo podobny przykład suwnicy bramowej, aby uzyskać matematyczne wyjaśnienie, dlaczego taki system jest holonomiczny.

Historia

NM Ferrers jako pierwszy zasugerował rozszerzenie równań ruchu o ograniczenia nieholonomiczne w 1871 roku. Wprowadził on wyrażenia na prędkości kartezjańskie w kategoriach prędkości uogólnionych. W 1877 roku E. Routh napisał równania z mnożnikami Lagrange'a. W trzecim wydaniu swojej książki o liniowych nieholonomicznych wiązaniach ciał sztywnych wprowadził formę z mnożnikami, która obecnie nazywa się równaniami Lagrange'a drugiego rodzaju z mnożnikami. Terminy układ holonomiczny i nieholonomiczny zostały wprowadzone przez Heinricha Hertza w 1894 r. W 1897 r. SA Chaplygin po raz pierwszy zasugerował utworzenie równań ruchu bez mnożników Lagrange'a. Pod pewnymi ograniczeniami liniowymi wprowadził po lewej stronie równań ruchu grupę dodatkowych wyrażeń typu operatora Lagrange'a. Pozostałe dodatkowe terminy charakteryzują nieholonomiczność systemu i stają się zerowe, gdy dane ograniczenia są całkowalne. W 1901 roku PVVoronets uogólnił prace Chaplygina na przypadki niecyklicznych współrzędnych holonomicznych i niestacjonarnych ograniczeń.

Ograniczenia

Rozważmy układ cząstek z pozycjami dla danego układu odniesienia. W mechanice klasycznej każde ograniczenie, którego nie można wyrazić jako ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$${\ Displaystyle ja \ in \ {1, \ ldots, N \}}$

${\ Displaystyle f (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ mathbf {r} _ {3}, \ ldots, t) = 0,}$

jest ograniczeniem nieholonomicznym . Innymi słowy, nieholonomiczne ograniczenie jest nierozłączne i ma formę Pfaffa :

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {s, i} \, dq_ {i} + a_ {s, t} \, dt = 0 ~~~~ (s = 1, 2, \ ldots, k)}$

${\ displaystyle n}$ to liczba współrzędnych.

${\ displaystyle k}$ jest liczbą równań więzów.

${\ displaystyle q_ {i}}$ są współrzędnymi.

${\ displaystyle a_ {s, i}}$ są współczynnikami.

Aby powyższa forma była nieholonomiczna, wymagane jest również, aby lewa strona nie była ani całkowitą różnicą, ani nie mogła być przekształcona w jedną, być może przez czynnik całkujący .

Tylko dla przemieszczeń wirtualnych różniczkowa forma ograniczenia to

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {s, i} \ delta q_ {i} = 0 ~~~~ (s = 1,2, \ ldots, k).}$

Nie jest konieczne, aby wszystkie ograniczenia nieholonomiczne przybierały tę formę, w rzeczywistości może to obejmować wyższe pochodne lub nierówności. Klasycznym przykładem ograniczenia nierówności jest cząstka umieszczona na powierzchni kuli, która jednak może z niej spaść:

${\ Displaystyle r ^ {2} -a ^ {2} \ geq 0.}$

${\ displaystyle r}$ jest odległością cząstki od środka kuli.

${\ displaystyle a}$ jest promieniem kuli.

Przykłady

Toczące się koło

Koło (czasami wizualizowane jako monocykl lub tocząca się moneta) to system nieholonomiczny.

Wyjaśnienie laika

Weź pod uwagę koło roweru zaparkowanego w określonym miejscu (na ziemi). Początkowo zawór do pompowania znajduje się w określonej pozycji na kole. Jeśli rower jest objeżdżany, a następnie zaparkowany dokładnie w tym samym miejscu, zawór prawie na pewno nie będzie w tej samej pozycji co poprzednio. Jego nowa pozycja zależy od obranej ścieżki. Gdyby koło było holonomiczne, to trzpień zaworu zawsze znajdowałby się w tym samym położeniu, o ile koło było zawsze toczone z powrotem w to samo miejsce na Ziemi. Oczywiście tak nie jest, więc system jest nieholonomiczny.

Wyjaśnienie matematyczne

Osoba jadąca na zmotoryzowanym monocyklu. Zaznaczono przestrzeń konfiguracyjną monocykla i promień koła. Na ziemi leżały czerwone i niebieskie linie. ${\ displaystyle r}$

Możliwe jest modelowanie koła matematycznie za pomocą układu równań więzów, a następnie udowodnienie, że ten układ jest nieholonomiczny.

Najpierw definiujemy przestrzeń konfiguracyjną. Koło może zmienić swój stan na trzy sposoby: mając inny obrót wokół osi, inny kąt skrętu i będąc w innym miejscu. Można powiedzieć, że jest to obrót wokół osi, to kąt skrętu w stosunku do -osi, oraz określenie położenia przestrzennego. Zatem przestrzeń konfiguracyjna to: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} = {\ begin {bmatrix} x & y & \ theta & \ phi \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}}$

Musimy teraz powiązać te zmienne ze sobą. Zauważamy, że gdy koło zmienia swój obrót, zmienia swoje położenie. Musi być obecna zmiana obrotu i położenia implikująca prędkości, próbujemy powiązać prędkość kątową i kąt skrętu z prędkościami liniowymi, biorąc proste pochodne czasowe odpowiednich terminów:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ początek {tablica} {c} {\ kropka {x}} \\ {\ kropka {y}} \ koniec {tablica}} \ prawo) = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} r {\ dot {\ phi}} \ cos \ theta \\ r {\ dot {\ phi}} \ sin \ theta \ end {tablica}} \ right)}$

Prędkość w tym kierunku jest równa prędkości kątowej pomnożonej przez promień i cosinus kąta skrętu kierownicy, a prędkość jest podobna. Teraz wykonujemy pewne operacje algebraiczne, aby przekształcić równanie do postaci Pfaffiana, aby można było sprawdzić, czy jest holonomiczne, zaczynając od: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ left ({\ początek {tablica} {c} {\ kropka {x}} - r {\ kropka {\ phi}} \ cos \ theta \\ {\ kropka {y}} - r {\ kropka {\ phi}} \ sin \ theta \ end {tablica}} \ right) = {\ overrightarrow {0}}}$

Następnie oddzielmy zmienne od ich współczynników (lewa strona równania, wyprowadzona z góry). Zdajemy sobie również sprawę, że możemy pomnożyć wszystkie wyrazy przez, więc otrzymamy tylko różniczki (prawa strona równania): ${\ displaystyle {\ text {d}} t}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ początek {tablica} {c} 1 i 0 i 0 i -r \ cos \ theta \\ 0 i 1 i 0 & -r \ sin \ theta \ koniec {tablica}} \ po prawej) \ lewo ({\ początek {tablica} { c} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {\ theta}} \\ {\ dot {\ phi}} \ end {array}} \ right) = {\ overrightarrow {0}} = \ left ({\ begin {array} {c} 1 & 0 & 0 & -r \ cos \ theta \\ 0 & 1 & 0 & -r \ sin \ theta \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin { tablica} {c} {\ text {d}} x \\ {\ text {d}} y \\ {\ text {d}} \ theta \\ {\ text {d}} \ phi \ end {array} }\dobrze)}$

Prawa strona równania jest teraz w formie Pfaffia :

${\ Displaystyle \ sum _ {s = 1} ^ {n} A_ {rs} du_ {s} = 0; \; r = 1,2}$

Teraz używamy uniwersalnego testu dla ograniczeń holonomicznych . Gdyby ten system był holonomiczny, musielibyśmy wykonać do ośmiu testów. Możemy jednak użyć intuicji matematycznej, aby zrobić wszystko, co w naszej mocy, aby udowodnić, że system jest nieholonomiczny w pierwszym teście. Biorąc pod uwagę równanie testu:

${\ Displaystyle A _ {\ gamma} {\ bigg (} {\ Frac {\ częściowe A _ {\ beta}} {\ częściowe u _ {\ alfa}}} - {\ frac {\ częściowe A _ {\ alfa}} {\ częściowe u _ {\ beta}}} {\ bigg)} + A _ {\ beta} {\ bigg (} {\ frac {\ częściowe A _ {\ alpha}} {\ częściowe u _ {\ gamma}}} - {\ frac {\ Partial A _ {\ gamma}} {\ Part u _ {\ alpha}}} {\ bigg)} + A _ {\ alpha} {\ bigg (} {\ frac {\ Partial A _ {\ gamma}} {\ Part u _ {\ beta}}} - {\ frac {\ Partial A _ {\ beta}} {\ Part u _ {\ gamma}}} {\ bigg)} = 0}$

widzimy, że gdyby którykolwiek z warunków , lub był równy zero, to ta część równania testowego byłaby trywialna do rozwiązania i byłaby równa zeru. Dlatego często najlepszą praktyką jest, aby pierwsze równanie testowe zawierało jak najwięcej niezerowych składników, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo, że ich suma nie będzie równa zeru. Dlatego wybieramy: ${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$${\ displaystyle A _ {\ beta}}$${\ displaystyle A _ {\ gamma}}$

${\ displaystyle A _ {\ alpha} = 1}$

${\ displaystyle A _ {\ beta} = 0}$

${\ Displaystyle A _ {\ gamma} = - r \ cos \ theta}$

${\ displaystyle u _ {\ alpha} = dx}$

${\ displaystyle u _ {\ beta} = d \ theta}$

${\ displaystyle u _ {\ gamma} = d \ phi}$

W naszym równaniu testowym podstawiamy:

${\ Displaystyle (-r \ cos \ theta) {\ bigg (} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} (0) - {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe \ theta}} (1) {\ bigg)} + (0) {\ bigg (} {\ frac {\ części} {\ części \ phi}} (1) - {\ frac {\ części} {\ części x}} (- r \ cos \ theta) {\ bigg)} + (1) {\ bigg (} {\ frac {\ części} {\ części \ theta}} (- r \ cos \ theta) - {\ frac {\ części} {\ części \ phi}} (0) {\ bigg)} = 0}$

i uprość:

${\ displaystyle r \ sin \ theta = 0}$

Możemy łatwo zauważyć, że ten system, jak opisano, jest nieholonomiczny, ponieważ nie zawsze jest równy zeru. ${\ displaystyle \ sin \ theta}$

Dodatkowe wnioski

Skończyliśmy nasz dowód na to, że system jest nieholonomiczny, ale nasze równanie testowe dało nam wgląd w to, czy system, jeśli będzie dalej ograniczony, może być holonomiczny. Wielokrotnie równania testowe zwracają wynik taki, jak sugerujący, że system nigdy nie mógłby zostać ograniczony do holonomii bez radykalnej zmiany systemu, ale w naszym wyniku możemy zobaczyć, że może być równe zeru na dwa różne sposoby: ${\ displaystyle -1 = 0}$${\ displaystyle r \ sin \ theta}$

• ${\ displaystyle r}$ , promień koła, może wynosić zero. Nie jest to pomocne, ponieważ system w praktyce straciłby wszystkie stopnie swobody.
• ${\ displaystyle \ sin \ theta}$ może wynosić zero, ustawiając wartość równą zero. Oznacza to, że gdyby koło nie mogło się obracać i musiało poruszać się tylko w linii prostej przez cały czas, byłby to system holonomiczny. ${\ displaystyle \ theta}$

Jest jednak jedna rzecz, której jeszcze nie rozważaliśmy, że aby znaleźć wszystkie takie modyfikacje dla systemu, należy wykonać wszystkie osiem równań testowych (cztery z każdego równania ograniczenia) i zebrać wszystkie niepowodzenia, aby zebrać wszystkie wymagania, aby system był holonomiczny. , Jeśli to możliwe. W tym układzie z siedmiu dodatkowych równań testowych pojawia się dodatkowy przypadek:

${\ Displaystyle -r \ cos \ theta = 0}$

Nie sprawia to jednak większych trudności, ponieważ dodawanie równań i dzielenie przez wyniki daje: ${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ sin \ theta - \ cos \ theta = 0}$

co przy prostej manipulacji algebraicznej staje się:

${\ displaystyle \ tan \ theta = 1}$

który ma rozwiązanie (z ). ${\ Displaystyle \ theta = {\ Frac {\ pi} {4}} + n \ pi; \; n \ in \ mathbb {Z} \;}$${\ Displaystyle \ theta = \ arctan (1)}$

Odnieś się do wyjaśnienia laika powyżej, gdzie jest powiedziane: „[Nowa pozycja trzpienia zaworu] zależy od obranej ścieżki. Gdyby koło było holonomiczne, trzpień zaworu zawsze znajdowałby się w tym samym położeniu, o ile koło było zawsze cofał się do tego samego miejsca na Ziemi. Oczywiście jednak tak nie jest, więc system jest nieholonomiczny ”. Jednak łatwo sobie wyobrazić, że gdyby koło toczyło się tylko w idealnie prostej linii iz powrotem, trzpień zaworu znalazłby się w tym samym położeniu! W rzeczywistości poruszanie się równolegle do danego kąta / nie jest w rzeczywistości konieczne, ponieważ orientacja samego układu współrzędnych jest dowolna. System może stać się holonomiczny, jeśli koło porusza się tylko po linii prostej pod dowolnym ustalonym kątem względem danego odniesienia. W ten sposób nie tylko udowodniliśmy, że oryginalny system jest nieholonomiczny, ale także byliśmy w stanie znaleźć ograniczenie, które można dodać do systemu, aby uczynić go holonomicznym. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 4}$

Jest jednak coś wyjątkowego matematycznie w ograniczeniu systemu, aby uczynić go holonomicznym, jak w siatce kartezjańskiej. Łącząc oba równania i eliminując , rzeczywiście widzimy, że jedna z tych dwóch współrzędnych jest całkowicie zbędna. Wiemy już, że kąt skrętu jest stały, co oznacza, że ​​system holonomiczny musi mieć tutaj tylko przestrzeń konfiguracyjną wynoszącą . Jak omówiono tutaj , system, który można modelować za pomocą ograniczenia Pfaffiana, musi być holonomiczny, jeśli przestrzeń konfiguracyjna składa się z dwóch lub mniej zmiennych. Modyfikując nasz oryginalny system tak, aby miał tylko dwa stopnie swobody, a tym samym wymagając opisu tylko dwóch zmiennych, i zakładając, że można go opisać w formie Pfaffia (co w tym przykładzie już wiemy, że jest prawdą), mamy pewność, że jest holonomiczny. ${\ Displaystyle \ theta = \ arctan (1)}$${\ Displaystyle \ theta = \ arctan (r / x)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} = {\ begin {bmatrix} x & \ phi \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}}$

Tocząca się kula

Ten przykład jest rozwinięciem problemu „toczącego się koła” rozważanego powyżej.

Rozważmy trójwymiarowych współrzędnych kartezjańskich prostopadła rama, na przykład, blat na wysokości punktu zaznaczonym na początku, a x i y osie określonymi liniami ołówek. Weź kulę o promieniu jednostki, na przykład piłeczkę do ping-ponga, i zaznacz jeden punkt B na niebiesko. Odpowiednio do tego punktu jest średnica kuli, a płaszczyzna prostopadła do tej średnicy umieszczoną w części środkowej C kuli wyznacza koło wielkie nazwie równik związane z punktu B . Na tym równiku wybierz inny punkt R i zaznacz go na czerwono. Ustaw kulę na  płaszczyźnie z = 0 tak, aby punkt B pokrywał się z początkiem, C znajdował się na x  = 0, y  = 0, z  = 1, a R w x  = 1, y  = 0, oraz z  = 1, czyli R rozciąga się w kierunku dodatniej osi x . To jest początkowa lub referencyjna orientacja kuli.

Kula może być teraz toczona po dowolnej ciągłej zamkniętej ścieżce w  płaszczyźnie z = 0, niekoniecznie po prostu połączonej ścieżce, w taki sposób, że nie ślizga się ani nie skręca, tak że C powraca do x  = 0, y  = 0, z  = 1. Ogólnie punkt B nie pokrywa się już z początkiem, a punkt R nie rozciąga się już wzdłuż dodatniej osi x . W rzeczywistości, wybierając odpowiednią ścieżkę, kula może zostać ponownie zorientowana z orientacji początkowej na dowolną możliwą orientację kuli, w której C znajduje się przy x  = 0, y  = 0, z  = 1. System jest zatem nieholonomiczny. Anholonomia może być reprezentowana przez podwójnie unikalny kwaternion ( q i - q ), który po zastosowaniu do punktów reprezentujących sferę przenosi punkty B i R do ich nowych pozycji.

Wahadło Foucaulta

Dodatkowym przykładem systemu nieholonomicznego jest wahadło Foucaulta . W układzie współrzędnych lokalnych wahadło kołysze się w płaszczyźnie pionowej o określonej orientacji względem geograficznej północy na początku ścieżki. Ukryta trajektoria systemu to linia szerokości geograficznej na Ziemi, na której znajduje się wahadło. Chociaż wahadło jest nieruchome w układzie ziemskim, porusza się ono w układzie odnoszącym się do Słońca i obraca się synchronicznie z prędkością obrotową Ziemi, tak że jedynym pozornym ruchem płaszczyzny wahadła jest ruch obrotowy Ziemia. Ta ostatnia ramka jest uważana za inercyjną ramkę odniesienia, chociaż w bardziej subtelny sposób jest również nieinercjalna. Powszechnie wiadomo, że rama Ziemi nie jest bezwładna, co można dostrzec dzięki pozornej obecności sił odśrodkowych i sił Coriolisa .

Ruch wzdłuż linii szerokości geograficznej jest parametryzowany upływem czasu, a płaszczyzna oscylacji wahadła Foucault wydaje się obracać wokół lokalnej osi pionowej w miarę upływu czasu. Kąt obrotu tej płaszczyzny w czasie t w stosunku do początkowej orientacji jest anholonomią układu. Anholonomia wywołana pełnym obwodem szerokości geograficznej jest proporcjonalna do kąta bryłowego wyznaczanego przez ten okrąg szerokości geograficznej. Ścieżka nie musi być ograniczona do okręgów o szerokości geograficznej. Na przykład wahadło może być zamontowane w samolocie. Anholonomia jest nadal proporcjonalna do kąta bryłowego wyznaczanego przez ścieżkę, która może być teraz dość nieregularna. Wahadło Foucaulta jest fizycznym przykładem transportu równoległego .

Liniowe światło spolaryzowane w światłowodzie

Weź kawałek światłowodu, powiedzmy trzy metry i ułóż go w absolutnie prostej linii. Kiedy wiązka o polaryzacji pionowej jest wprowadzana na jednym końcu, wyłania się z drugiego końca, nadal spolaryzowana w kierunku pionowym. Zaznacz górę włókna paskiem odpowiadającym orientacji polaryzacji pionowej.

Teraz zwiń włókno ciasno wokół cylindra o średnicy dziesięciu centymetrów. Ścieżka włókna opisuje teraz spiralę, która podobnie jak okrąg ma stałą krzywiznę . Helisa ma również interesującą właściwość stałego skręcania . W rezultacie rezultatem jest stopniowy obrót włókna wokół osi włókna, gdy linia środkowa włókna przesuwa się wzdłuż helisy. Odpowiednio pasek również skręca się wokół osi spirali.

Kiedy liniowo spolaryzowane światło jest ponownie wprowadzane na jednym końcu, z orientacją polaryzacji wyrównaną z paskiem, generalnie pojawi się jako liniowo spolaryzowane światło wyrównane nie z paskiem, ale pod pewnym stałym kątem do paska, w zależności od długość włókna oraz skok i promień helisy. Ten system jest również nieholonomiczny, ponieważ możemy łatwo zwinąć włókno w drugą spiralę i wyrównać końce, przywracając światło do punktu wyjścia. Dlatego anholonomia jest reprezentowana przez odchylenie kąta polaryzacji w każdym obwodzie światłowodu. Jasne jest, że dzięki odpowiedniej regulacji parametrów można wytworzyć dowolny możliwy stan kątowy.

Robotyka

W robotyce zagadnienia nieholonomiczne były szczególnie badane w zakresie planowania ruchu i linearyzacji ze sprzężeniem zwrotnym dla robotów mobilnych .

Zobacz też

• Ograniczenie holonomiczne
• Dynamika rowerów i motocykli
• Problem spadającego kota
• Top Goryachev – Chaplygin
• Problem z parkowaniem równoległym
• Ograniczenie Pfaffian
• Równanie Udwadii – Kalaby
• Integrator grup kłamstw

Bibliografia