Przestrzeń jądrowa - Nuclear space

W matematyce , obowiązuje jądrowe są topologiczne przestrzenie wektorowe , które mogą być oglądane jako uogólnienie skończonych wymiarowych przestrzeniach euklidesowych i wielu zakładowego ich pożądanych właściwości. Przestrzenie jądrowe są jednak zupełnie inne niż przestrzenie Hilberta , kolejne uogólnienie skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych. Wprowadził je Alexander Grothendieck .

Topologię przestrzeni jądrowych można zdefiniować za pomocą rodziny półnorm, których kulki jednostkowe gwałtownie zmniejszają się. Przestrzenie wektorowe, których elementy są „gładkie”, w pewnym sensie są zazwyczaj przestrzeniami jądrowymi; typowym przykładem przestrzeni jądrowej jest zbiór gładkich funkcji na zwartej rozmaitości . Wszystkie skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe są jądrowe. Nie ma przestrzeni Banacha, które są nuklearne, poza skończonymi wymiarami. W praktyce często zachodzi pewna odwrotność: jeśli „naturalnie występująca” topologiczna przestrzeń wektorowa nie jest przestrzenią Banacha, to istnieje duża szansa, że ​​jest jądrowa.

Pierwotna motywacja: twierdzenie o jądrze Schwartza

Znaczna część teorii przestrzeni jądrowych została opracowana przez Alexandra Grothendiecka podczas badania twierdzenia o jądrze Schwartza i opublikowana w ( Grothendieck 1955 ). Opiszemy teraz tę motywację.

Dla dowolnych podzbiorów otwartych i odwzorowania kanonicznego jest izomorfizmem TVS (gdzie ma topologię jednostajnej zbieżności na podzbiorach ograniczonych ), a ponadto obie te przestrzenie są kanonicznie izomorficzne z TVS (gdzie ponieważ jest jądrowe, ten iloczyn tensorowy jest jednocześnie iloczyn tensora iniektywnego i iloczyn tensora rzutowego ). Krótko mówiąc, twierdzenie o jądrze Schwartza stwierdza, że: ${\ Displaystyle \ Omega _ {1} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {2} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ Prime} \ po lewej (\ Omega _ {1} \ razy \ Omega _ {2} \ po prawej) \ do L_ {b} \ po lewej (C_ {c} ^ { \infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$${\ Displaystyle L_ {b} \ lewo (C_ {c} ^ {\ infty} \ lewo (\ Omega _ {2} \ prawej); {\ mathcal {D}} ^ {\ Prime} \ lewo (\ Omega _ {1}\prawo)\prawo)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ lewo (\ Omega _ {1} \ prawo) {\ widehat {\ czasami}} {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ lewo ( \Omega _{2}\prawo)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ Prime} \ lewo (\ Omega _ {1} \ prawej)}$

gdzie wszystkie te izomorfizmy TVS są kanoniczne.

Ten wynik jest fałszywy jeśli jeden zastępuje przestrzeń z (co jest refleksyjna przestrzeń to nawet izomorficzne do własnej silnej podwójnej przestrzeni) i zastępuje z podwójnym tej przestrzeni. Dlaczego tak dobry wynik ma miejsce dla przestrzeni rozkładów i funkcji testowych, ale nie dla przestrzeni Hilberta (która jest powszechnie uważana za jedną z „najładniejszych” TVS)? To pytanie doprowadziło Grothendiecka do odkrycia przestrzeni jądrowych, map jądrowych i produktu tensora iniektywnego . ${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Motywacje z geometrii

Kolejny zestaw motywujących przykładów pochodzi bezpośrednio z ^{dodatku do} geometrii i teorii rozmaitości gładkich . Mając rozmaitości gładkie i lokalnie wypukłą przestrzeń topologiczną Hausdorffa, mamy następujące izomorfizmy przestrzeni jądrowych ${\ Displaystyle M, N}$

• ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M) \ czasami C ^ {\ infty} (N) \ cong C ^ {\ infty} (M \ razy N)}$
• ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M) \ otimes F \ cong \ {f: M \ do F: f {\ tekst {jest gładki}} \}}$

Używając standardowych iloczynów tensorowych jako przestrzeni wektorowej, funkcja${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle \ sin (x + y): \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R}}$

nie może być wyrażona jako funkcja dla Daje to przykład pokazujący, że istnieje ścisłe uwzględnienie zbiorów${\displaystyle f\times g}$${\ Displaystyle f, g \ w C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}).}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ czasami C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ podzbiór C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {2}) .}$

Definicja

W tej sekcji wymieniono niektóre z bardziej powszechnych definicji przestrzeni jądrowej. Wszystkie poniższe definicje są równoważne. Zauważ, że niektórzy autorzy stosują bardziej restrykcyjną definicję przestrzeni jądrowej, dodając warunek, że przestrzeń powinna być również przestrzenią Frécheta . (Oznacza to, że przestrzeń jest kompletna, a topologia jest określona przez policzalną rodzinę seminorm.)

Poniższa definicja została użyta przez Grothendiecka do zdefiniowania przestrzeni jądrowych.

Definicja 0 : Niech będzie lokalnie wypukłą topologiczną przestrzenią wektorową. Wtedy jest jądrowy, jeśli dla dowolnej przestrzeni lokalnie wypukłej osadzenie kanonicznej przestrzeni wektorowej jest osadzeniem TVS, których obraz jest gęsty w przeciwdziedzinie (gdzie domena jest rzutowym iloczynem tensorowym, a przeciwdomena jest przestrzenią wszystkich oddzielnie ciągłych form dwuliniowych na obdarzonych Topologia zbieżności na equicontinuous podzbiory ). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ pi } Y \ do {\ mathcal {B}} _ {\ epsilon} \ lewo (X_ {\ sigma} ^ {\ prime}, Y_ {\ sigma} ^ {\ prime} \Prawidłowy)}$${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ pi} Y}$${\ Displaystyle X_ {\ sigma} ^ {\ prime} \ razy Y_ {\ sigma} ^ {\ prime}}$

Zaczynamy od przypomnienia sobie jakiegoś tła. Lokalnie wypukła przestrzeń liniowo-topologiczna ma topologię, który jest zdefiniowany przez jakiś rodziny seminorms . Dla każdej półnorma jednostkowa kula jest zamkniętym wypukłym symetrycznym sąsiedztwem początku i odwrotnie każde zamknięte wypukłe symetryczne sąsiedztwo o wartości 0 jest jednostkową kulą pewnej półnorma. (W przypadku złożonych przestrzeni wektorowej, warunek „symetryczny” powinien zostać zastąpiony przez „ zrównoważone ”). Jeśli jest seminorm na czym oznacza przestrzeń Banacha podane przez wypełnienie z pomocniczego unormowanej przestrzeni za pomocą seminorm Istnieje naturalna map (niekoniecznie injective) . ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X_ {p}}$${\displaystyle s.}$${\ Displaystyle X \ do X_ {p}}$

Jeśli jest inną półnormą, większą niż (punktowo jako funkcja na ), to istnieje naturalna mapa od do taka, że ​​pierwsza mapa ma czynniki jako Te mapy są zawsze ciągłe. Przestrzeń jest nuklearna, gdy spełniony jest silniejszy warunek, a mianowicie, że te mapy są operatorami nuklearnymi . Warunek bycia operatorem jądrowym jest subtelny, a więcej szczegółów można znaleźć w odpowiednim artykule. ${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {q}}$${\ Displaystyle X_ {p}}$${\ Displaystyle X \ do X_ {q} \ do X_ {p}.}$${\ Displaystyle X}$

Definicja 1 : Przestrzeń jądrowa jest lokalnie wypukłą wektorową przestrzenią topologiczną, tak że dla każdej półnorma możemy znaleźć większą półnormę, tak że odwzorowanie naturalne jest jądrowe . ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ do X_ {p}}$

Nieformalnie oznacza to, że za każdym razem, gdy otrzymamy kulkę jednostek jakiejś półnorma, możemy znaleźć w niej „dużo mniejszą” kulkę innej półnorma lub że każde sąsiedztwo 0 zawiera „znacznie mniejsze” sąsiedztwo. Nie jest konieczne sprawdzanie tego warunku dla wszystkich półnorm ; to wystarczy, aby sprawdzić to za zestaw seminorms generujących topologię, innymi słowy, zestaw seminorms które są Płyta przyłączeniowa dla topologii. ${\displaystyle p}$

Zamiast używać dowolnych przestrzeni Banacha i operatorów nuklearnych, możemy podać definicję w kategoriach przestrzeni Hilberta i operatorów klas śladowych , które są łatwiejsze do zrozumienia. (W przestrzeniach Hilberta operatory jądrowe są często nazywane operatorami klasy śladowej.) Powiemy, że seminorma jest seminormą Hilberta, jeśli jest przestrzenią Hilberta, lub równoważnie, jeśli pochodzi z półokreślonej półokreślonej formy półokreślonej ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle X_ {p}}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle X.}$

Definicja 2 : Przestrzeń jądrowa jest topologiczną przestrzenią wektorową z topologią zdefiniowaną przez rodzinę seminorm Hilberta, tak że dla każdej seminormy Hilberta możemy znaleźć większą seminormę Hilberta tak, że odwzorowanie naturalne od do jest klasą śladową . ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q}}$${\ Displaystyle X_ {p}}$

Niektórzy autorzy wolą używać operatorów Hilberta-Schmidta zamiast operatorów klasy śledzenia. Nie ma to większego znaczenia, ponieważ każdy operator klasy śledzenia jest Hilbertem-Schmidtem, a iloczyn dwóch operatorów Hilberta-Schmidta jest klasy śledzenia.

Definicja 3 : Przestrzeń jądrowa jest topologiczną przestrzenią wektorową z topologią zdefiniowaną przez rodzinę seminorm Hilberta, tak że dla każdej seminormy Hilberta możemy znaleźć większą seminormę Hilberta tak, że odwzorowanie naturalne od do to Hilbert-Schmidt. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q}}$${\ Displaystyle X_ {p}}$

Jeśli chcemy użyć pojęcia operatora jądrowego z dowolnej, lokalnie wypukłej topologicznej przestrzeni wektorowej do przestrzeni Banacha, możemy podać krótsze definicje w następujący sposób:

Definicja 4 : Przestrzeń jądrowa jest lokalnie wypukłą wektorową przestrzenią topologiczną, taką, że dla każdej półnorma naturalna mapa jest jądrowa . ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle X \ do X_ {p}}$

Definicja 5 : Przestrzeń jądrowa jest lokalnie wypukłą wektorową przestrzenią topologiczną tak, że każda ciągła liniowa mapa do przestrzeni Banacha jest jądrowa.

Grothendieck użył definicji podobnej do następującej:

Definicja 6 : a przestrzeń jądrowa jest lokalnie wypukła topologiczna wektor przestrzeni takie, że dla dowolnej lokalnie wypukłej przestrzeni topologicznej wektora mapa naturalny z rzutowych do injective produktu tensor i jest izomorfizmem. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

W rzeczywistości wystarczy to sprawdzić tylko dla przestrzeni Banacha lub nawet dla pojedynczej przestrzeni Banacha szeregu absolutnie zbieżnego. ${\displaystyle B}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

Charakterystyki

Niech będzie przestrzenią lokalnie wypukłą Hausdorffa. Wtedy następujące są równoważne: ${\ Displaystyle X}$

1. ${\ Displaystyle X}$ jest jądrowy;
2. dla każdej przestrzeni lokalnie wypukłej osadzanie kanonicznej przestrzeni wektorowej jest osadzaniem TVS, których obraz jest gęsty w kodzieminie;${\displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ pi } Y \ do {\ mathcal {B}} _ {\ epsilon} \ lewo (X_ {\ sigma} ^ {\ prime}, Y_ {\ sigma} ^ {\ prime} \Prawidłowy)}$
3. dla dowolnej przestrzeni Banacha osadzanie kanonicznej przestrzeni wektorowej jest surjektywnym izomorfizmem TVS;${\displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X {\ widehat {\ czasami}} _ {\ pi} Y \ do X {\ widehat {\ czasami}} _ {\ epsilon} Y}$
4. dla każdej lokalnie wypukłej przestrzeni Hausdorffa osadzanie kanonicznej przestrzeni wektorowej jest suriektywnym izomorfizmem TVS;${\displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X {\ widehat {\ czasami}} _ {\ pi} Y \ do X {\ widehat {\ czasami}} _ {\ epsilon} Y}$
5. osadzenie kanoniczne in jest surjektywnym izomorfizmem TVS;${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N}, X]}$${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N},X)}$
6. mapa kanoniczna jest surjektywnym izomorfizmem TVS.${\ Displaystyle \ dobrze ^ {1} {\ widehat {\ czasami}} _ {\ pi} X \ do \ ^ {1} {\ widehat {\ czasami}} _ {\ epsilon} X}$
7. dla każdej półnormy możemy znaleźć większą półnormę, tak aby odwzorowanie naturalne było jądrowe ;${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ do X_ {p}}$
8. dla każdej półnormy możemy znaleźć większą półnormę, tak że wstrzyknięcie kanoniczne jest jądrowe;${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {p} ^ {\ Prime} \ do X_ {q} ^ {\ Prime}}$
9. topologia jest zdefiniowana przez rodzinę seminorm Hilberta, tak że dla każdej seminormy Hilberta możemy znaleźć większą seminormę Hilberta tak, że odwzorowanie naturalne jest klasą śladową ;${\ Displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ do X_ {p}}$
10. ${\ Displaystyle X}$ma topologię zdefiniowaną przez rodzinę seminorm Hilberta, tak że dla każdej seminormy Hilberta możemy znaleźć większą seminormę Hilberta tak, że naturalną mapą jest Hilbert-Schmidt;${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ do X_ {p}}$
11. dla każdej półnormy naturalną mapą jest jądro .${\displaystyle p}$${\ Displaystyle X \ do X_ {p}}$
12. każda ciągła liniowa mapa do przestrzeni Banacha jest jądrowa;
13. każda ciągła norma na jest przedjądrowa;${\ Displaystyle X}$
14. każdy równociągły podzbiór jest przedjądrowy;${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$
15. każda liniowa mapa z przestrzeni Banacha, która przekształca kulę jednostkową w układ równociągły, jest jądrowa;${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$
16. zakończenie jest przestrzenią jądrową;${\ Displaystyle X}$

Jeśli jest przestrzenią Frécheta, to poniższe są równoważne: ${\ Displaystyle X}$

1. ${\ Displaystyle X}$ jest jądrowy;
2. każda sumowalna sekwencja w jest absolutnie sumowalna;${\ Displaystyle X}$
3. silny dual of jest nuklearny;${\ Displaystyle X}$

Wystarczające warunki

• Lokalnie wypukła przestrzeń Hausdorffa jest nuklearna wtedy i tylko wtedy, gdy jej dopełnienie jest nuklearne.
• Każda podprzestrzeń przestrzeni jądrowej jest jądrowa.
• Każda przestrzeń ilorazowa Hausdorffa przestrzeni jądrowej jest jądrowa.
• Granica indukcyjna policzalnego ciągu przestrzeni jądrowych jest jądrowa.
• Lokalnie wypukła suma bezpośrednia przeliczalnego ciągu przestrzeni jądrowych jest jądrowa.
• Silnym dualem nuklearnej przestrzeni Frécheta jest nuklearna.
  • Ogólnie rzecz biorąc, silna dualna przestrzeń nuklearna może nie być nuklearna.
• Przestrzeń Frécheta, której silny dual jest nuklearny, sama jest nuklearna.
• Granica rodziny przestrzeni nuklearnych jest nuklearna.
• Produkt rodziny przestrzeni nuklearnych jest nuklearny.
• Dopełnienie przestrzeni nuklearnej jest nuklearne (a w rzeczywistości przestrzeń jest nuklearna wtedy i tylko wtedy, gdy jej dopełnienie jest nuklearne).
• Produkt napinacz dwóch przestrzeni jądrowych jest jądrowej.
• Rzutowa produktu napinacz , a także jego zakończeniu dwóch przestrzeni jądrowych jest jądrowej.

Załóżmy, że i są lokalnie wypukłe z przestrzenią jądrową. ${\displaystyle X,Y}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

• Jeśli jest jądrowa, to przestrzeń wektorowa ciągłych przekształceń liniowych o topologii prostej zbieżności jest przestrzenią jądrową.${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle L_ {\ sigma} (X, N)}$
• Jeśli jest przestrzenią półzwrotną, której silny dual jest jądrowy, a jeśli jest jądrowy, to przestrzeń wektorowa ciągłych przekształceń liniowych (opatrzona topologią jednostajnej zbieżności na ograniczonych podzbiorach ) jest przestrzenią jądrową.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle L_ {b} (X, N)}$${\ Displaystyle X}$

Przykłady

Jeśli jest zbiorem o dowolnej liczności, to i (z topologią iloczynu ) są obie przestrzeniami jądrowymi. ${\displaystyle d}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$

Stosunkowo prostym nieskończonym wymiarowym przykładem przestrzeni jądrowej jest przestrzeń wszystkich szybko malejących sekwencji („szybko malejąca” oznacza, że jest ograniczona dla dowolnego wielomianu ). Dla każdej liczby rzeczywistej można zdefiniować normę przez ${\ Displaystyle c = \ lewo (c_ {1}, c_ {2}, \ ldots \ po prawej).}$${\ Displaystyle C_ {n} p (n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s,}$${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {s}}$

Jeśli uzupełnieniem w tej normie jest to, że istnieje naturalna mapa z dowolnego miejsca i jest nuklearna zawsze, ponieważ serie są wtedy absolutnie zbieżne. W szczególności dla każdej normy można znaleźć inną normę, powiedzmy taką, że mapa jest nuklearna. Więc przestrzeń jest jądrowa. ${\displaystyle C_{s},}$${\ Displaystyle C_ {s} \ do C_ {t}}$${\displaystyle s\geq t}$${\displaystyle s>t+1}$${\ Displaystyle \ suma n ^ {ts}}$${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {t}}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t+1}}$${\ Displaystyle C_ {t + 2} \ do C_ {t}}$

• Przestrzeń funkcji gładkich na dowolnej zwartej rozmaitości jest jądrowa.
• Przestrzeń Schwartza funkcji gładkich, na której pochodne wszystkich rzędów gwałtownie maleją, jest przestrzenią jądrową.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• Przestrzeń całych funkcji holomorficznych na płaszczyźnie zespolonej jest jądrowa.
• Przestrzeni dystrybucji silny podwójny z jest jądrowej.${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prim},}$${\displaystyle {\mathcal {D}},}$

Nieruchomości

Przestrzenie jądrowe są pod wieloma względami podobne do przestrzeni skończenie wymiarowych i mają wiele dobrych właściwości.

• Przestrzeń Frécheta jest nuklearna wtedy i tylko wtedy, gdy jej silny dual jest nuklearny.
• Każdy ograniczony podzbiór przestrzeni jądrowej jest prezwarty (przypomnijmy, że zbiór jest prezwarty, jeśli jego zamknięcie w wypełnieniu przestrzeni jest zwarte). Jest to analogiczne do twierdzenia Heinego-Borela . W przeciwieństwie do tego, żadna nieskończenie wymiarowa przestrzeń unormowana nie ma tej właściwości (chociaż przestrzenie skończenie wymiarowe mają).
• Jeśli jest quasi-zupełną (tzn. wszystkie zamknięte i ograniczone podzbiory są kompletne) to przestrzeń jądrowa ma własność Heine-Borel .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• Nuklearna quasi-kompletna przestrzeń baryłkowa to przestrzeń Montela .
• Każdy zamknięty równociągły podzbiór dualnej przestrzeni jądrowej jest zbiorem zwartym metryzowalnym (dla silnej topologii dualnej).
• Każda przestrzeń jądrowa jest podprzestrzenią iloczynu przestrzeni Hilberta.
• Każda przestrzeń jądrowa dopuszcza podstawę seminorm składających się z norm Hilberta.
• Każda przestrzeń nuklearna jest przestrzenią Schwartza.
• Każda przestrzeń jądrowa posiada własność aproksymacji.
• Każda podprzestrzeń i każda przestrzeń ilorazowa przez zamkniętą podprzestrzeń przestrzeni jądrowej jest jądrowa.
• Jeśli jest jądrowej i jest jakaś przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła, to mapa natura z rzutowej produktu tensor A i do injective produktu tensora jest izomorfizmem. Z grubsza oznacza to, że istnieje tylko jeden sensowny sposób zdefiniowania iloczynu tensorowego. Ta właściwość charakteryzuje przestrzenie jądrowe${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A.}$
• W teorii miar na topologicznych przestrzeniach wektorowych podstawowe twierdzenie mówi, że dowolna ciągła miara zbioru cylindrów na dualnej nuklearnej przestrzeni Frécheta automatycznie rozciąga się na miarę Radona . Jest to przydatne, ponieważ często łatwo jest skonstruować miary zbioru cylindrów na topologicznych przestrzeniach wektorowych, ale nie są one wystarczająco dobre dla większości zastosowań, chyba że są to miary Radona (na przykład nie są one nawet ogólnie przeliczalnie addytywne).

Twierdzenie o jądrze

Znaczna część teorii przestrzeni jądrowych została opracowana przez Alexandra Grothendiecka podczas badania twierdzenia o jądrze Schwartza i opublikowana w ( Grothendieck 1955 ). Mamy następujące uogólnienie twierdzenia.

Twierdzenie o jądrze Schwartza : Załóżmy, że jest jądrowy, jest lokalnie wypukły i jest ciągłą formą dwuliniową na Następnie pochodzi z przestrzeni formy, w której i są odpowiednimi równociągłymi podzbiorami i Równoważnie, ma formę, ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle X \ razy Y.}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle X_ {A ^ {\ Prime}} ^ {\ Prime} {\ Widehat {\ Times}} _ {\ EPSilon} Y_ {B ^ {\ Prime}} ^ {\ Prime}}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime}}$${\displaystyle B^{\prim}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle Y ^ {\ Prime}.}$${\displaystyle v}$

gdzie i każdy z i są równociągłe. Ponadto, te sekwencje mogą być traktowane jako sekwencje zerowe (to znaczy zbieżne do 0) odpowiednio w i . ${\ Displaystyle \ lewo (\ Lambda _ {i} \ po prawej) \ w \ ^ {1}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {x_ {1} ^ {\ prime}, x_ {2} ^ {\ prime} \ ldots \ prawej \}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {y_ {1} ^ {\ prime}, y_ {2} ^ {\ prime} \ ldots \ prawej \}}$${\ Displaystyle X_ {A ^ {\ Prime}} ^ {\ Prime}}$${\ Displaystyle Y_ {B ^ {\ Prime}} ^ {\ Prime},}$

Twierdzenie Bochnera-Minlosa

Funkcjonal ciągły na przestrzeni jądrowej nazywamy funkcjonałem charakterystycznym jeśli i dla dowolnego kompleksu${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C (0) = 1,}$${\ Displaystyle z_ {j} {\ tekst { i}} x_ {j} \ w A}$ ${\displaystyle j,k=1,\ldots,n,}$

Biorąc pod uwagę charakterystyczne funkcjonalny na przestrzeni jądrowej twierdzenie Bochner-Minlos (po Salomon Bochner i Robert Adol'fovich Minlos ) gwarantuje istnienie i wyjątkowość odpowiedniej miary prawdopodobieństwa na podwójnej przestrzeni danego przez ${\displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime},}$

Rozszerza to odwrotną transformację Fouriera do przestrzeni jądrowych.

W szczególności, jeśli jest przestrzenią jądrową ${\ Displaystyle A}$

gdzie są przestrzenie Hilberta, twierdzenie Bochnera-Minlosa gwarantuje istnienie miary prawdopodobieństwa o funkcji charakterystycznej , czyli istnienie miary Gaussa na przestrzeni dualnej . Takie działanie nazywa się biały szum miarą . Gdy jest przestrzenią Schwartza, odpowiadający jej element losowy jest rozkładem losowym . ${\ Displaystyle H_ {k}}$${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {1} {2}} \ | y \ | _ {H_ {0}} ^ {2}}}$${\ Displaystyle A}$

Przestrzenie silnie nuklearne

Przestrzeń silnie jądrowa jest lokalnie wypukła topologiczna wektor przestrzeni takie, że dla każdej seminorm istnieje większy seminorm tak, że naturalna mapa jest silnie

jądrowej . ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ do X_ {p}}$

Zobacz też

• Pomocnicza znormalizowana przestrzeń
• Jądro Fredholma
• Produkt tensora iniekcyjnego
• Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa  –

Przestrzeń wektorowa o topologii określonej przez wypukłe zbiory otwarte

Operator jądrowy

Tensor projekcyjny produktu

Rigged Hilbert space  – Konstrukcja łącząca badanie „związanych” i ciągłych wartości własnych w analizie funkcjonalnej

Klasa śledzenia

Topologiczna przestrzeń  wektorowa –

Przestrzeń wektorowa z pojęciem bliskości

Bibliografia

Bibliografia

• Becnel, Jeremy (2021). Narzędzia do nieskończonej analizy wymiarowej . CRC Prasa. Numer ISBN 978-0-367-54366-2. OCLC  1195816154 .
• Grothendieck, Alexandre (1955). „Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires”. Wspomnienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 16 .
• Diestel, Joe (2008). Teoria metryczna iloczynów tensorowych : ponownie omówione CV Grothendiecka . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773 .
• Dubinsky, wyd. (1979). Struktura jądrowych przestrzeni Frécheta . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 3-540-09504-7. OCLC  5126156 .
• Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriel topologiques et espaces nucléaires (w języku francuskim). Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788 .
• Husain, Taqdir (1978). Barrelowatość w topologicznych i uporządkowanych przestrzeniach wektorowych . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665 .
• Khaleelulla, SM (1982). Kontrprzykłady w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Notatki do wykładu z matematyki . 936 . Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-11565-6.

8588370 OCLC  .

Nlend, H (1977). Bornologie i analiza funkcjonalna: kurs wprowadzający z teorii dualności topologii-bornologii i jej zastosowania w analizie funkcjonalnej . Amsterdam Nowy Jork Nowy Jork: Pub North-Holland. Co. Wyłączni dystrybutorzy na USA i Kanadę, Elsevier-North Holland. Numer ISBN 0-7204-0712-5. 2798822 OCLC  .

Nlend, H (1981). Przestrzenie jądrowe i jądrowe : kursy wprowadzające do przestrzeni jądrowych i jądrowych w świetle dualności . Amsterdam Nowy Jork Nowy Jork, NY: Pub North-Holland. Co. Wyłączni dystrybutorzy na USA i Kanadę, Elsevier North-Holland. Numer ISBN 0-444-86207-2. OCLC  7553061 .

Gel'fand, komunikatory internetowe; Vilenkin, N. Ya. (1964). Funkcje uogólnione – cz. 4: Zastosowania analizy harmonicznej . Nowy Jork: prasa akademicka. OCLC  310816279 .

Takeyuki Hida i Si Si, Wykłady na temat funkcjonałów białego szumu , World Scientific Publishing, 2008. ISBN  978-981-256-052-0

TR Johansen, Twierdzenie Bochnera-Minlosa dla przestrzeni jądrowych i abstrakcyjnej przestrzeni białego szumu , 2003.

GL Litvinov (2001) [1994], "Przestrzeń jądrowa" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press

Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .

Pietsch, Albrecht (1972) [1965]. Przestrzenie jądrowe lokalnie wypukłe . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-05644-9. MR  0350360 .

Pietsch, Albrecht (1972). Przestrzenie jądrowe lokalnie wypukłe . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541 .

Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Cambridge Tracts w matematyce. 53 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . P. 141.

Robertson, AP (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Cambridge Anglia: Wydawnictwo uniwersyteckie. Numer ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250 .

Ryan, Raymond (2002). Wprowadzenie do iloczynów tensorowych przestrzeni Banacha . Londyn Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184 .

Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .

Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Wong (1979). Przestrzenie Schwartza, przestrzenie jądrowe i iloczyny tensorowe . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .