Okubo algebra - Okubo algebra

W algebraiczną Algebra Okubo lub pseudo-oktawy cayleya Algebra jest 8-wymiarowa nie-asocjatywnym Algebra podobny do badanej przez Susumu Okubo . Algebrami Okubo są algebrami kompozycji , elastyczne algebrami ( ( BA ) = ( AB ) A ), Lie dopuszczalne algebrami i asocjacyjne energii , ale nie są asocjacyjny nie alternatywne algebrami i nie mają element neutralny.

Przykład Okubo był algebra 3 o 3 śladu zerowych próbkach, z produktu z X i Y, podane przez aXY  +  bYX  - TR ( XY ) I / 3, gdzie I jest macierzą jednostkową, a i b spełniają do  +  b  = 3 AB  = 1. elementy hermitowskie utworzenia 8-wymiarową rzeczywistą nie-asocjatywnym podziału algebraiczne. Podobna konstrukcja działa dla dowolnego alternatywnego sześcienny rozłącznej algebra nad ciałem zawierającym prymitywny pierwiastek jedności. Okubo Algebra Algebra jest skonstruowany w ten sposób, ze śladowymi 0 elementów stopień 3 środkowej prostego Algebra nad polem.

Budowa Para-Hurwitz algebry

Unital skład algebry są nazywane algebry Hurwitz . Jeśli pole ziemia K jest dziedzina liczb rzeczywistych i N jest dodatnio określony , następnie nazywamy algebrą euklidesowa Hurwitz .

iloczyn skalarny

Jeżeli K ma charakterystyczne jest równe 2, a następnie do formy dwuliniowego ( ,  b ) = 1 / 2 [ N ( + b ) - N ( ) - N ( b )] jest związany z formy kwadratowej N .

Inwolucji w algebr Hurwitz

Zakładając ma zwielokrotniony jedność, definiować inwolucji i prawo i lewo mnożenia operatorów przez

${\ Displaystyle \ displaystyle {{\ bar {A}} = - a + 2 (A, 1), 1, \, \, \, L (A), B = AB, \, \, \ R (a) b = BA.}}$

Widocznie jest zanik i zachowuje kształt kwadratowy. Overline notacja podkreśla fakt, że skomplikowane i quaternion koniugacji są częściowymi przypadki niego. Podmioty te mają następujące właściwości:

• Zanik jest antiautomorphism tj a b = b  A
• = N ( ) 1 = o  A
• L ( ) = L ( ) * , R ( ) = R ( ) * , w którym * oznacza operator sprzężona względem formy (,)
• Ad ( A B ) = Re ( ba ) , gdzie ponownie  x = ( x + x ) / 2 = ( x 1)
• Re (( A B ),  C ) = Re (  ( b c ))
• L ( ² ) = L ( ) ² , R ( ² ) = R ( ) ² , tak żejest alternatywny Algebra

Właściwości te okazały się począwszy od spolaryzowanego wersji tożsamości ( a b ,  a b ) = ( ,  ) ( b ,  b ) :

${\ Displaystyle \ displaystyle {2 (A, B), (C, D) = (AC, bd) + (ad, BC).}}$

Ustawianie b = 1 i d = 1 plony L ( A ) = L ( ) * i R ( C ) = R ( c ) * . Stąd Ad ( A B ) = ( ab , 1) = ( ,  b ) = ( b a , 1) = Re ( ba ) . Podobnie ( A B ,  C ) = ( A B ,  C ) = ( b ,  C ) = (1,  b  ( c )) = (1, ( b ),  C ) = ( b ,  c )     . Stąd Ad ( A B ), C = (( A B ) C , 1) = ( A B ,  C ) = ( ,  C, b ) = ( ( B C ), 1) = Re ( ( b c ))  . Przez spolaryzowaną tożsamości N ( ) ( c ,  d ) = ( a, c ,  a c ) = (  C ,  d ) tak L ( ) L ( ) = N ( ) . Stosowane do 1 daje się  a, = N ( ) . Wymiana przez daje drugą tożsamość. Podstawiając formuły o w l ( a ),  l ( z ) = L ( ) daje l ( a ), ² = L ( ² ) .

Para-Hurwitz algebra

Operacja inna * mogą być zdefiniowane w Algebra Hurwitz jako

x  *  y = x  y

Algebra ( *) jest kompozycją Algebra ogół nie unital, znany jako Algebra para-Hurwitz . O wymiarach 4 i 8 są para-kwaternion i para-oktawy cayleya algebrami.

Para-Hurwitz spełnia Algebra

${\ Displaystyle (x * y) * X = X * (Y X *) = \ langle x | x \ rangle r \.}$

Odwrotnie, Algebra z nie zdegenerowane postaci symetrycznego dwuliniowa spełniający to równanie jest albo Algebra para-Hurwitz lub ośmiowymiarowej pseudo oktawy cayleya Algebra . Podobnie, elastyczny Algebra spełniających

${\ Displaystyle \ langle oksy | xy \ rangle = \ langle x | x \ rangle \ langle y | r \ rangle \}$

jest albo Algebra Hurwitz, A Algebra para-Hurwitz lub ośmiowymiarowej pseudo oktawy cayleya Algebra.

Referencje

• Hazewinkel, Michiel , wyd. (2001) [1994], "Okubo_algebra" , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• Okubo, Susumu (1978), "pseudo-kwaternionowej i pseudo-oktawy cayleya algebrami" hadronów Journal , 1 (4): 1250/78, MR  0.510.100
• Susumu Okubo i J. Marshall Osborn (1981) "Algebry z niezdegenerowane asocjacyjne symetryczne forma dwuliniowa umożliwiający kompozycji" komunikacja w Algebra 9 (12): 1233/61, MR 0618901 i 9 (20): 2015-73 MR 0640611 .