Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym (analiza funkcjonalna) - Open mapping theorem (functional analysis)

Załóżmy, że A  : X → Y jest surjektywnym ciągłym operatorem liniowym. Aby udowodnić, że A jest otwartą mapą, wystarczy pokazać, że A mapuje otwartą jednostkę kuli w X na sąsiedztwo początku Y .

Niech wtedy ${\ Displaystyle U = B_ {1} ^ {X} (0), V = B_ {1} ^ {Y} (0).}$

${\ Displaystyle X = \ bigcup _ {k \ w \ mathbb {N}} kU.}$

Ponieważ A jest suriektywem:

${\ Displaystyle Y = A (X) = A \ lewo (\ Bigcup _ {K \ w \ mathbb {N}} kU \ prawej) = \ Bigcup _ {K \ w \ mathbb {N}} A (kU). }$

Ale Y to Banach, więc według twierdzenia Baire'a o kategorii

${\ Displaystyle \ istnieje k \ w \ mathbb {N} : \ qquad \ lewo ({\ nadkreślenie {A (kU)}} \ po prawej) ^ {\ okrąg} \ neq \ nic}$.

Oznacza to, że mamy c ∈ Y i r > 0 takie, że

${\ Displaystyle B_ {r} (c) \ subseteq \ lewo ({\ overline {A (kU)}} \ prawej) ^ {\ circ} \ subseteq {\ overline {A (kU)}}}$.

Niech v ∈ V , wtedy

${\ Displaystyle c, c + rv \ w B_ {r} (c) \ subseteq {\ overline {A (kU)}}.}$

Przez ciągłość dodawania i liniowości różnica rv spełnia

${\ Displaystyle rv \ w {\ overline {A (kU)}} + {\ overline {A (kU)}} \ subseteq {\ overline {A (kU) + A (kU)}} \ subseteq {\ overline { A(2kU)}},}$

i znowu przez liniowość,

${\ Displaystyle V \ subseteq {\ overline {A \ lewy (LU \ prawy)}}}$

gdzie ustawiliśmy L =2 k / r . Wynika z tego, że dla wszystkich y ∈ Y i wszystkich 𝜀 > 0 , istnieje jakieś x ∈ X takie, że

${\ Displaystyle \ qquad \ | x \ | _ {X} \ leq L \ | y \ | _ {Y} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ | y-Ax \ | _ {Y} <\ epsilon .\qquad (1)}$

Naszym następnym celem jest pokazanie, że V ⊆ A (2 LU ) .

Niech y ∈ V . Z (1), jest trochę x ₁ z || x ₁ || < L i || y − oś ₁ || < 1/2 . Zdefiniuj sekwencję ( x _n ) indukcyjnie w następujący sposób. Założyć:

${\ Displaystyle \ | x_ {n} \ | < {\ Frac {L} {2 ^ {n-1}}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ lewo \ | YA \ lewo (x_ {1 }+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n}}}.\qquad (2)}$

Następnie przez (1) możemy wybrać x _{n +1} tak, że:

${\ Displaystyle \ | x_ {n + 1} \ | < {\ Frac {L} {2 ^ {n}}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ lewo \ | YA \ lewo (x_ {1} }+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)-A\left(x_{n+1}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n+1} }},}$

więc (2) jest spełnione dla x _{n +1} . Pozwolić

${\displaystyle s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}$.

Od pierwszej nierówności w (2) { s _n } jest ciągiem Cauchy'ego , a ponieważ X jest zupełne, s _n zbiega się do pewnego x ∈ X . Z (2), ciąg As _n dąży do y , a więc Ax = y przez ciągłość A . Także,

${\ Displaystyle \ | x \ | = \ lim _ {n \ do \ infty} \ | s_ {n} \ | \ leq \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | x_ {n} \ | <2L.}$

Pokazuje to, że y należy do A (2 LU ) , więc V ⊆ A (2 LU ) jak twierdzimy. Tak więc obraz ( U ) kuli jednostkowej w X zawiera otwartą kulowy V / 2 L z Y . Stąd A ( U ) jest sąsiedztwem początku w Y i na tym kończy się dowód.