Równania ruchu tłoka - Piston motion equations

Ruch tłoka bez przesunięcia połączonego z korbą przez korbowód (jak w silnikach spalinowych ) można wyrazić kilkoma równaniami matematycznymi . W tym artykule pokazano, w jaki sposób wyprowadza się te równania ruchu, oraz przedstawiono przykładowy wykres.

Geometria wału korbowego

Schemat przedstawiający geometryczny układ sworznia tłokowego, sworznia korby i środka korby

Definicje

${\displaystyle l}$ długość pręta (odległość między sworzniem tłoka a sworzniem korby )

${\ Displaystyle r}$ promień korby (odległość między czopem korby a środkiem korby, tj. pół skoku )

${\ Displaystyle A}$kąt korby (od osi otworu cylindra w GMP )

${\displaystyle x}$ położenie sworznia tłokowego (w górę od środka korby wzdłuż osi otworu cylindra)

${\displaystyle v}$ prędkość sworznia tłokowego (w górę od środka korby wzdłuż osi otworu cylindra)

${\displaystyle a}$ przyspieszenie sworznia tłokowego (w górę od środka korby wzdłuż osi otworu cylindra)

${\ Displaystyle \ omega}$prędkość kątowa korby (w tym samym kierunku/sens co kąt korby A)

Prędkość kątowa

Korbowy prędkości kątowej jest związane z silnikiem obrotów na minutę (RPM)

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {2 \ pi \ cdot \ operatorname {RPM}} {60}}}$

Relacja trójkąta

Jak pokazano na schemacie, czop korby, środek korby i sworzeń tłokowy tworzą trójkąt NOP.
Z prawa cosinusa wynika, że:

${\ Displaystyle l ^ {2} = r ^ {2} + x ^ {2} -2 \ cdot r \ cdot x \ cdot \ cos A}$

Równania ze względu na położenie kątowe (domena kąta)

Poniższe równania opisują ruch posuwisto-zwrotny tłoka względem kąta obrotu korby. Przykładowe wykresy tych równań przedstawiono poniżej.

Pozycja

Położenie względem kąta korby (z relacji trójkąta, dopełnienie kwadratu , wykorzystanie tożsamości pitagorejskiej i przestawienie):

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {lcl} l ^ {2} = r ^ {2} + x ^ {2} -2 \ cdot r \ cdot x \ cdot \ cos A \ \ l ^ {2}- r^{2}=(xr\cdot \cos A)^{2}-r^{2}\cdot \cos ^{2}A\\l^{2}-r^{2}+r^{ 2}\cdot \cos ^{2}A=(xr\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot (1-\cos ^{2}A) =(xr\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A=(xr\cdot \cos A)^{2}\\ x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\\\end{tablica}}}$

Prędkość

Prędkość w odniesieniu do kąta obrotu korby (weź pierwszą pochodną , korzystając z reguły łańcucha ):

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {lcl} x '& = & {\ Frac {dx} {dA}} \ \ & = & - r \ cdot \ sin A + {\ Frac {({\ Frac {1} {2}})\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{ 2}A}}}\\&=&-r\cdot \sin A-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r ^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\\end{array}}}$

(jeśli chcesz dalej manipulować tym, dodaj tutaj podsekcję, w tym wyjaśnienie intencji (np. „odizolować terminy grzechu”)).

Przyśpieszenie

Przyspieszenie względem kąta obrotu korby (weź drugą pochodną , korzystając z reguły łańcucha i reguły ilorazu ):

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {lcl} x ''& = & {\ Frac {d ^ {2} x} {dA ^ {2}}} \ \ & = & - r \ cdot \ cos A- {\frac {r^{2}\cdot \cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r ^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&= &-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \left(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\right)}{\sqrt {l^{2 }-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\cdot \sin ^{2}A\cdot \cos ^{2}A}{\ left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\\end{array}}}$

(jeśli chcesz dalej manipulować tym, dodaj tutaj podsekcję, w tym wyjaśnienie intencji (np. „odizolować terminy grzechu”)).

Równania względem czasu (domena czasu)

Pochodne prędkości kątowej

Jeśli prędkość kątowa jest stała, to

${\displaystyle A=\omega t\,}$

i obowiązują następujące relacje:

${\ Displaystyle {\ Frac {da} {dt}} = \ omega}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} A} {dt ^ {2}}} = 0}$

Konwersja z domeny kąta na domenę czasu

Poniższe równania opisują ruch posuwisto-zwrotny tłoka w czasie. Jeśli wymagana jest domena czasu zamiast domeny kąta, najpierw zamień A na ω t w równaniach, a następnie przeskaluj prędkość kątową w następujący sposób:

Pozycja

Pozycja względem czasu to po prostu:

${\displaystyle x\,}$

Prędkość

Prędkość względem czasu (stosując regułę łańcucha ):

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablicę} {lcl} V & = i {\ Frac {dx} {dt}} \ \ & = i {\ Frac {dx} {dA}} \ cdot {\ Frac {dA} {dt }}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}}$

Przyśpieszenie

Przyspieszenie względem czasu (wykorzystując regułę łańcucha i regułę iloczynu oraz pochodne prędkości kątowej ):

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablicę} {lcl} a & = i {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} \ \ & = i {\ Frac {d} {dt}} { \frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\ &=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\ cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\ \&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA }}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \ omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}$

Skalowanie prędkości kątowej

Widać, że x jest nieskalowane, x' jest skalowane przez ω , a x" jest skalowane przez ω ². Aby przekonwertować x' z prędkości w funkcji kąta [cal/rad] na prędkość w funkcji czasu [cal/s] pomnóż x' przez ω [rad/s]. Aby przeliczyć x" z przyspieszenia vs kąt [cal/rad²] na przyspieszenie vs czas [cal/s²] pomnóż x" przez ω ² [rad²/s²]. Zauważ, że analiza wymiarowa pokazuje, że jednostki są spójny.

Zwróć uwagę, że w przypadku zastosowania w samochodach/hotrodach najwygodniejszą jednostką długości jest cal. Geometrię tłoczysko-korba dogodnie mierzy się w calach (typowe wymiary to długość tłoczyska 6 cali i promień korby 2 cale). W tym artykule pozycja, prędkość i przyspieszenie używają cali, jak pokazano na poniższym wykresie.

Maksima/minima prędkości

Przyspieszenie przejścia przez zero

Z definicji maksima i minima prędkości występują w zerach przyspieszenia (przecięcia osi poziomej) ; zależą one od długości pręta (l) i połowy skoku (r) i nie występują przy kącie korby (A) ±90°.

Kąt korby nie jest prostopadły

Maksima i minima prędkości niekoniecznie występują, gdy korba ustawia się pod kątem prostym z prętem. Istnieją kontrprzykłady, aby obalić pogląd, że maksima i minima prędkości występują tylko wtedy, gdy kąt korby jest ustawiony pod kątem prostym.

Przykład

Dla długości pręta 6" i promienia korby 2" (jak pokazano na przykładowym wykresie poniżej), numeryczne rozwiązanie przejść przez zero w przyspieszeniu powoduje, że maksima/minima prędkości znajdują się przy kącie korby wynoszącym ±73,17615°. Następnie, korzystając z trójkątnego prawa sinusów , stwierdza się, że kąt pionowy pręta wynosi 18,60647°, a kąt korby wynosi 88.21738°. Oczywiście w tym przykładzie kąt między korbą a prętem nie jest kątem prostym. Zsumowanie kątów trójkąta 88.21738° + 18.60647° + 73.17615° daje 180.00000°. Wystarczy jeden kontrprzykład, aby obalić stwierdzenie „maksymalne/minima prędkości występują, gdy korba tworzy kąt prosty z prętem” .

Przykładowy wykres ruchu tłoka

Wykres pokazuje x, x', x" w odniesieniu do kąta obrotu korby dla różnych skoków połówkowych, gdzie L = długość pręta (l) i R = skok połówkowy (r) :

Jednostki osi pionowej to cale dla położenia, [cale/rad] dla prędkości, [cale/rad²] dla przyspieszenia.
Jednostkami osi poziomej są stopnie kąta korby .

Animacja ruchu tłoka z tą samą długością pręta i wartością promienia korby na powyższym wykresie:

Animacja ruchu tłoka z różnymi półskokami z powyższego wykresu (przy użyciu tego samego kodu koloru)

Zobacz też

• Silnik spalinowy
• Silnik tłokowy
• Połączenie suwak-korba
• szkockie jarzmo

Bibliografia

1. http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm

Dalsza lektura

• John Benjamin Heywood, Podstawy silników spalinowych , McGraw Hill, 1989.
• Charles Fayette Taylor, Silnik spalinowy w teorii i praktyce, tom. 1 i 2 , wydanie drugie, MIT Press 1985.

Zewnętrzne linki

• epi-pol Ruch tłoka
• codecogs Prędkość i przyspieszenie tłoka
• animowane silniki Silnik czterosuwowy
• desmos interaktywna animacja korby
• networcs D & T Mechanizmy - Interaktywne narzędzia dla nauczycieli
• animacja ruchu tłoka mecamedia

• youtube Obrotowy Chevy 350 krótki blok.
• youtube animacja 3D SILNIKA V8
• youtube Wewnątrz silnika V8 na biegu jałowym
• desmos interaktywny skok vs stosunek tłoka i pochodne położenia tłoka