Zamawianie w przedsprzedaży — Prewellordering

W teorii zbiorów , prewellordering na zbiorze to preorder on ( przechodnia i silnie powiązana relacja na ), który jest dobrze uzasadniony w tym sensie, że relacja jest dobrze uzasadniona. Jeśli jest prewellordering on , to relacja zdefiniowana przez ${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x\leq y\land y\nleq x}$${\displaystyle \leq}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \sim}$

${\ Displaystyle x \ sim r \ if x \ równoważnik r \ ziemia r \ równoważnik x}$

Jest to stosunek równoważności na i indukuje wellordering na iloraz . Celu typu tego wywołanego wellordering jest porządkową , dalej długości części prewellordering. ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \leq}$ ${\displaystyle X/\sim}$

Norma na zestawie znajduje się mapa z do porządkowych. Każda norma wywołuje prewellordering; jeśli jest normą, skojarzone wstępne porządkowanie jest podane przez ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ phi : X \ na zamówienie}$

${\displaystyle x\leq r\iff \phi (x)\leq \phi (y)}$

I odwrotnie, każde prewellordering jest indukowane przez unikalną normę regularną (norma jest regularna, jeśli dla any i any istnieje taka, że ). ${\ Displaystyle \ phi : X \ na zamówienie}$${\displaystyle x\wX}$${\ Displaystyle \ alfa <\ phi (x)}$${\ Displaystyle y \ w X}$${\ Displaystyle \ phi (y) = \ alfa}$

Właściwość zamawiania w przedsprzedaży

Jeśli jest pointclass podzbiorów pewnego zbioru w przestrzeniach polskich , zamknięty pod iloczynu kartezjańskiego , a jeśli jest prewellordering pewnego podzbioru jakiegoś elementu z , wtedy mówi się być - prewellordering od czy relacje i są elementy , gdzie przez , ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle <^ {*}}$${\ Displaystyle \ Leq ^ {*}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\displaystyle x,y\wX}$

1. ${\ Displaystyle x <^ {*} r \ iff x \ w p \ ziemia [y \ notin p \ Lor \ {x \ równoważnik r \ ziemia y \ nie \ równoważnik x \}]}$
2. ${\ Displaystyle x \ leq ^ {*} y \ iff x \ w P \ ziemi [y \ notin P \ lor x \ leq y]}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$mówi się, że ma właściwość prewellordering, jeśli każdy zestaw w dopuszcza -prewellordering. ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$

Własność prewellordering jest powiązana z silniejszą własnością skali ; w praktyce wiele klas punktowych posiadających właściwość prewellordering posiada również właściwość scale, która pozwala na wyciągnięcie mocniejszych wniosków.

Przykłady

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi}}_{1}^{1}}$i oba mają właściwość prewellordering; można to udowodnić w samym ZFC . Zakładając, że liczba kardynałów jest wystarczająca dla każdego , i mają właściwość prewellordering. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}_{2}^{1}}$${\displaystyle n\w \omega}$${\ Displaystyle {\ pogrubienie {\ Pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {\ Sigma}} _ {2n + 2} ^ {1}}$

Konsekwencje

Zmniejszenie

Jeśli jest adekwatną klasą point z właściwością prewellordering, to ma również właściwość reduction : Dla dowolnej przestrzeni i dowolnych zbiorów , a także obu w , suma może zostać podzielona na zbiory , zarówno w , jak i . ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\ Displaystyle X \ w {\ mathcal {F}}}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\ Displaystyle A \ filiżanka B}$${\ Displaystyle A ^ {*}, B ^ {*}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\ Displaystyle A ^ {*} \ podseteq A}$${\ Displaystyle B ^ {*} \ podseteq B}$

Separacja

Jeśli jest adekwatną klasą punktów, której dual pointclass ma właściwość prewellordering, to ma właściwość separacji : Dla dowolnej przestrzeni i dowolnych zbiorów , oraz zbiorów rozłącznych zarówno w , istnieje zbiór taki, że zarówno obydwa, jak i ich uzupełnienie znajdują się w , with i . ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\ Displaystyle X \ w {\ mathcal {F}}}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X \ setminus C}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\ Displaystyle A \ podzbiór C}$${\ Displaystyle B \ czapka C = \ pusty zestaw}$

Na przykład ma właściwość prewellordering, podobnie jak właściwość rozdzielania. Oznacza to, że jeśli i są rozłączne analityczne podzbiory pewnej przestrzeni polskiego , to nie jest Borel podzbiorem od takich, które obejmuje i jest odłączony od . ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi}}_{1}^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}_{1}^{1}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Zobacz też

• Opisowa teoria mnogości
• Skaluj właściwość
• Graded poset – stopniowany poset jest analogiczny do prewellordering z normą, zastępując mapę do liczb porządkowych mapą do liczb całkowitych

Bibliografia

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Opisowa teoria mnogości . Północna Holandia. Numer ISBN 0-444-70199-0.