Polska przestrzeń - Polish space

W matematycznej dyscypliny topologii ogólnej , o polskiej przestrzeni jest oddzielić całkowicie metryzowalny przestrzeń topologiczną ; czyli przestrzeń homeomorficzna do pełnej przestrzeni metrycznej, która ma policzalny podzbiór gęsty . Polskie przestrzenie są tak nazwane, ponieważ były najpierw intensywnie badane przez polskich topologów i logików – Sierpińskiego , Kuratowskiego , Tarskiego i innych. Jednak polskie przestrzenie są dziś głównie badane, ponieważ stanowią podstawowe miejsce dla opisowej teorii mnogości , w tym badania nad Borelowskimi relacjami równoważności . Polskie przestrzenie są także dogodnym środowiskiem dla bardziej zaawansowanej teorii miary , w szczególności rachunku prawdopodobieństwa .

Typowe przykłady polskich przestrzenie są prawdziwym linia , każda oddzielić przestrzeń Banacha The przestrzeń Cantor , a przestrzeń baire'a . Ponadto niektóre przestrzenie, które nie są pełnymi przestrzeniami metrycznymi w zwykłej metryce, mogą być polskie; np. przedział otwarty (0, 1) to polski.

Pomiędzy dowolnymi dwoma niepoliczalnymi polskimi przestrzeniami istnieje izomorfizm borelowski ; czyli bijekcji, która zachowuje strukturę borelowską. W szczególności każda niepoliczalna polska przestrzeń ma kardynalność kontinuum .

Przestrzenie Lusina , Suslina i Radona to uogólnienia polskich przestrzeni.

Nieruchomości

  1. Każda przestrzeń polska jest policzalna jako druga (z racji bycia metryzowalną rozdzielną).
  2. ( Twierdzenie Aleksandrowa ) Jeśli X jest polskie, to taki jest dowolny podzbiór G δ X .
  3. Podprzestrzeń Q polskiej przestrzeni P jest polska wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest przecięciem ciągu otwartych podzbiorów P . (Jest to odwrotność twierdzenia Aleksandrowa.)
  4. ( Cantor-Bendixsona twierdzenie ) Jeżeli X jest polska następnie każdy zamknięty podzbiór X mogą być zapisywane jako unii rozłącznych z doskonałego zbioru i zbiór przeliczalny. Ponadto, jeśli polska przestrzeń X jest niepoliczalna, można ją zapisać jako rozłączną sumę zbioru doskonałego i policzalnego zbioru otwartego.
  5. Każda polska przestrzeń jest homeomorficzna z G δ -podzbiorem sześcianu Hilberta (to jest z I N , gdzie I jest przedziałem jednostkowym, a N jest zbiorem liczb naturalnych).

Następujące przestrzenie są polskie:

  • zamknięte podzbiory polskiej przestrzeni,
  • otwarte podzbiory polskiej przestrzeni,
  • produkty i rozłączne związki policzalnych rodzin polskich przestrzeni,
  • lokalnie zwarte przestrzenie metryzowalne i policzalne w nieskończoności ,
  • policzalne przecięcia polskich podprzestrzeni przestrzeni topologicznej Hausdorffa,
  • zbiór liczb niewymiernych o topologii indukowanej przez standardową topologię linii rzeczywistej.

Charakteryzacja

Istnieje wiele charakterystyk, które mówią, kiedy przestrzeń topologiczna policzalna w sekundach jest metryzowalna, na przykład twierdzenie o metryzacji Urysohna . Trudniejszy jest problem określenia, czy przestrzeń metryzowalna jest całkowicie metryzowalna. Przestrzenie topologiczne, takie jak przedział otwartej jednostki (0,1), mogą mieć zarówno pełne metryki, jak i niepełne metryki generujące ich topologię.

Istnieje charakterystyka kompletnych, rozdzielnych przestrzeni metrycznych w kategoriach gry znanej jako mocna gra Choquet . Oddzielna przestrzeń metryczna jest całkowicie metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy drugi gracz ma zwycięską strategię w tej grze.

Druga charakterystyka wynika z twierdzenia Aleksandrowa. Stwierdza, że ​​oddzielna przestrzeń metryki jest całkowicie metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem jej uzupełnienia w oryginalnej metryce.

Polskie przestrzenie metryczne

Chociaż polskie przestrzenie są metryzowalne, nie są same w sobie przestrzeniami metrycznymi ; każda polska przestrzeń dopuszcza wiele kompletnych metryk dających początek tej samej topologii, ale żadna z nich nie jest wyróżniona ani wyróżniona. Polska przestrzeń z wyróżnioną pełną metryką nazywana jest polską przestrzenią metryczną . Alternatywnym podejściem, równoważnym do podanego tutaj, jest najpierw zdefiniowanie „polskiej przestrzeni metrycznej” jako „całkowicie separowalnej przestrzeni metrycznej”, a następnie zdefiniowanie „polskiej przestrzeni” jako przestrzeni topologicznej uzyskanej z polskiej przestrzeni metrycznej przez zapomnienie metryka.

Uogólnienia polskich przestrzeni

Luzyńskie przestrzenie

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Lusina, jeśli jest homeomorficzna z podzbiorem borelowskim zwartej przestrzeni metrycznej. Mocniejsza topologia sprawia, że ​​Lusin staje się polską przestrzenią.

Istnieje wiele sposobów kształtowania przestrzeni Lusin. W szczególności:

  • Każda polska przestrzeń to Lusin
  • Podprzestrzeń przestrzeni Lusin jest Lusin wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem borelowskim.
  • Każda policzalna suma lub przecięcie podprzestrzeni Lusin w przestrzeni Hausdorffa to Lusin.
  • Iloczynem policzalnej liczby przestrzeni Lusin jest Lusin.
  • Rozłącznym połączeniem policzalnej liczby przestrzeni Lusin jest Lusin.

Przestrzenie Suslina

Przestrzeń Suslin jest obrazem polskiej przestrzeni pod ciągłym mapowania. Więc każda przestrzeń Lusin to Suslin. W przestrzeni polskiej podzbiór jest przestrzenią Suslin wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem Suslin (obraz operacji Suslin ).

Oto przestrzenie Suslina:

  • zamknięte lub otwarte podzbiory przestrzeni Suslina,
  • policzalne iloczyny i rozłączne związki przestrzeni Suslin,
  • policzalne przecięcia lub policzalne sumy podprzestrzeni Suslin w przestrzeni topologicznej Hausdorffa,
  • ciągłe obrazy przestrzeni Suslin,
  • Podzbiory borelowskie przestrzeni Suslina.

Posiadają następujące właściwości:

  • Każda przestrzeń Suslin jest rozdzielna.

Przestrzenie radonowe

Radon przestrzeń , nazwany Johann Radon , jest przestrzenią topologiczną takie, że każdy Borel prawdopodobieństwo środek na M jest wewnętrzna regularny . Ponieważ miara prawdopodobieństwa jest globalnie skończona, a zatem jest miarą skończoną lokalnie , każda miara prawdopodobieństwa w przestrzeni Radona jest również miarą Radona . W szczególności oddzielna całkowita przestrzeń metryczna ( M , d ) jest przestrzenią Radona.

Każda przestrzeń Suslin to Radon.

polskie grupy

Grupa polska to grupa topologiczna G będąca jednocześnie przestrzenią polską, czyli homeomorficzną do rozdzielnej pełnej przestrzeni metrycznej. Istnieje kilka klasycznych wyników Banacha , Freudenthala i Kuratowskiego dotyczących homomorfizmów między polskimi grupami. Po pierwsze, argument Banacha (1932 , s. 23) odnosi się mutatis mutandi do nieabelowych grup polskich: jeśli G i H są przestrzeniami metrycznymi rozdzielnymi z G- polskim, to każdy borelowski homomorfizm od G do H jest ciągły. Po drugie, istnieje wersja twierdzenia o mapowaniu otwartym lub twierdzeniu o grafach zamkniętych autorstwa Kuratowskiego (1933 , s. 400) : ciągły homomorfizm iniekcyjny polskiej podgrupy G na inną polską grupę H jest mapowaniem otwartym. W rezultacie niezwykłym faktem w polskich grupach jest to, że odwzorowania mierzalne Baire'a (tj. dla których przedobraz dowolnego zbioru otwartego ma własność Baire'a ), które są homomorfizmami między nimi, są automatycznie ciągłe. Grupa homeomorfizmów sześcianu Hilberta [0,1] N jest uniwersalną polską grupą w tym sensie, że każda polska grupa jest izomorficzna z jej zamkniętą podgrupą.

Przykłady:

  • Wszystkie skończenie wymiarowe grupy Liego z policzalną liczbą składników są grupami polskimi.
  • Unitarna grupa separowalnej przestrzeni Hilberta (z silną topologią operatorową ) jest grupą polską.
  • Grupa homeomorfizmów zwartej przestrzeni metrycznej jest grupą polską.
  • Iloczynem policzalnej liczby polskich grup jest polska grupa.
  • Grupa izometrii wydzielonej pełnej przestrzeni metrycznej jest grupą polską

Zobacz też

Bibliografia

  • Banach, Stefan (1932). Theorie des opérations linéaires . Monografie Matematyczne (w języku francuskim). Warszawa.
  • Bourbaki, Mikołaj (1989). „IX. Zastosowanie liczb rzeczywistych w ogólnej topologii”. Elementy matematyki: Topologia ogólna, część 2 . Springer-Verlag . 3540193723.
  • Freudenthal, Hans (1936). "Einige Sätze ueber topologische Gruppen" . Anny. Matematyki. 37 (1): 46–56. doi : 10.2307/1968686 . JSTOR  1968686 .
  • Kuratowski K. (1966). Topologia tom. ja . Prasa akademicka. Numer ISBN 012429202X.
  • Moore, Calvin C. (1976). „Rozszerzenia grupowe i kohomologia dla grup zwartych lokalnie. III” . Przeł. Amer. Matematyka. Soc. 221 : 1-33. doi : 10.1090/S0002-9947-1976-0414775-X .
  • Pettis, BJ (1950). „O ciągłości i otwartości homomorfizmów w grupach topologicznych” . Anny. Matematyki. 51 (2): 293–308. doi : 10.2307/1969471 . JSTOR  1969471 .
  • Rogers, LCG; Williams, David (1994). Dyfuzje, procesy Markowa i martyngały, tom 1: Fundamenty, wyd . John Wiley & Sons Ltd.
  • Schwartz, Laurent (1973). Miary radonowe na arbitralnych przestrzeniach topologicznych i miary cylindryczne . Oxford University Press. Numer ISBN 978-0195605167.
  • Śrivastava, Sashi Mohan (1998). Kurs na zestawach borelowych . Teksty magisterskie z matematyki . Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-98412-4. Źródło 2008-12-04 .

Dalsza lektura