Właściwa mapa - Proper map
W matematyce , o funkcji pomiędzy przestrzeni topologicznych nazywamy właściwą jeśli obrazy odwrotnych od zwartych podzbiorów są zwarte. W geometrii algebraicznej analogiczne pojęcie nazywa się właściwym morfizmem .
Definicja
Istnieje kilka konkurencyjnych definicji „właściwej funkcji ”. Niektórzy autorzy wywołać funkcję między dwoma topologicznych przestrzeni właściwych jeśli preimage każdego kompaktowego zestawu w to kompaktowy Inni autorzy nazywają mapę prawidłowe jeśli jest ciągła i zamknięte z włóknami kompaktowych ; to znaczy, jeśli jest to ciągła zamknięta mapa, a obraz wstępny każdego punktu jest zwarty . Obie definicje są równoważne jeśli jest lokalnie zwarty i Hausdorff .
Częściowy dowód równoważności
|
---|
Niech będzie zamkniętą mapą, taką, która jest zwarta (w X) dla wszystkich Niech będzie zwartym podzbiorem Pozostaje pokazać, że jest zwarta. Niech będzie otwarta okładka Wtedy, bo to wszystko jest również otwartą okładką Ponieważ ta ostatnia jest z założenia zwarta, ma skończoną okładkę. Innymi słowy, dla każdego istnieje skończony podzbiór taki, że Zbiór jest zamknięty, a jego obraz pod jest zamknięty, ponieważ jest zamkniętą mapą. Stąd zestaw jest otwarty w Wynika z tego, że zawiera punkt Teraz i ponieważ przyjmuje się, że jest zwarty, istnieje skończenie wiele punktów takich, że Ponadto zbiór jest skończoną sumą zbiorów skończonych, co tworzy zbiór skończony. Teraz wynika z tego i znaleźliśmy skończoną przykrywkę, która uzupełnia dowód. |
Jeśli jest Hausdorff i jest lokalnie zwarty Hausdorff to właściwy jest równoważny z domkniętym uniwersalnie . Mapa jest uniwersalnie zamknięta, jeśli dla dowolnej przestrzeni topologicznej mapa jest zamknięta. W przypadku Hausdorffa jest to równoznaczne z wymaganiem, aby dla dowolnej mapy pullback był zamknięty, co wynika z faktu, że jest to zamknięta podprzestrzeń
Równoważny, ewentualnie bardziej intuicyjne określenie kiedy i są przestrzenie metryczne jest następujący: mówimy nieskończony ciąg punktów w przestrzeni topologicznej ucieka do nieskończoności , gdy na każdym zbiorze zwartym tylko skończenie wiele punktów są Następnie ciągła mapa jest właściwa, czy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów, który ucieka w nieskończoność w ciągu, ucieka w nieskończoność in
Nieruchomości
- Każda ciągła mapa od zwartej przestrzeni do przestrzeni Hausdorffa jest zarówno właściwa, jak i zamknięta .
- Każda odpowiednia mapa surjektywna jest zwartą mapą obejmującą.
- Mapa nazywana jest zwartym nakryciem, jeśli dla każdego zwartego podzbioru istnieje pewien zwarty podzbiór taki, że
- Przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy mapa z tej przestrzeni do pojedynczego punktu jest właściwa.
- Jeśli jest odpowiednią ciągłą mapą i jest zwartą generowaną przestrzenią Hausdorffa (obejmuje to przestrzenie Hausdorffa, które są albo przeliczalne do pierwszego lub lokalnie zwarte ), to jest zamknięte.
Uogólnienie
Możliwe jest uogólnienie pojęcia właściwych map przestrzeni topologicznych na lokalizacje i toposy , patrz ( Johnstone 2002 ).
Zobacz też
Cytaty
Bibliografia
- Bourbaki, Mikołaj (1998). Ogólna topologia. Rozdziały 5–10 . Elementy matematyki. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-64563-4. MR 1726872 .
- Johnstone, Piotr (2002). Szkice słonia: kompendium teorii toposu . Oksford: Oxford University Press . Numer ISBN 0-19-851598-7., zwł. rozdział C3.2 „Właściwe mapy”
- Brown, Ronald (2006). Topologia i grupoidy . Karolina Północna: Księgarnia . Numer ISBN 1-4196-2722-8., zwł. P. 90 „Mapy właściwe” i ćwiczenia do rozdziału 3.6.
- Brown, Ronald (1973). „Sekwencyjnie poprawne mapy i sekwencyjna kompaktacja”. Dziennik Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego . 2. 7 : 515–522.
- Lee, John M. (2012). Wprowadzenie do Smooth Manifolds . Teksty magisterskie z matematyki . 218 (wyd. drugie). Nowy Jork Londyn: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC 808682771 .