Spacja pierwsza policzalna - First-countable space

W topologii , gałęzi matematyki , pierwsza przestrzeń policzalna jest przestrzenią topologiczną spełniającą "pierwszy aksjomat policzalnosci ". W szczególności mówi się , że przestrzeń jest policzalna od początku, jeśli każdy punkt ma policzalną podstawę sąsiedztwa (bazę lokalną). Oznacza to, że dla każdego punktu w istnieje sekwencji z okolic w taki sposób, że dla każdej okolicy na istnieje liczba całkowita z zawartych w Ponieważ każdym otoczeniu każdego punktu zawiera otwartą sąsiedztwie tym momencie podstawa sąsiedztwo może być wybrany , bez utraty ogólności składać się z otwartych dzielnic. ${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle N_ {i}}$ ${\ Displaystyle N.}$

Przykłady i kontrprzykłady

Większość „codziennych” przestrzeni w matematyce jest policzalna jako pierwsza. W szczególności każda przestrzeń metryczna jest policzalna jako pierwsza. Aby to zobaczyć, zauważ, że zestaw otwartych kul o środku i promieniu dla liczb całkowitych tworzy policzalną lokalną podstawę w${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle x.}$

Przykładem przestrzeni, która nie jest policzalna w pierwszej kolejności, jest topologia współskończona na zbiorze niepoliczalnym (takim jak linia rzeczywista ).

Innym kontrprzykładem jest przestrzeń porządkowa, gdzie jest pierwszą niepoliczalną liczbą porządkową . Element jest punktem granicznym podzbioru, nawet jeśli żadna sekwencja elementów w nie ma elementu jako swojego ograniczenia. W szczególności punkt w przestrzeni nie ma policzalnej bazy lokalnej. Ponieważ jednak jest to jedyny taki punkt, podprzestrzeń jest policzalna od początku. ${\ Displaystyle \ omega _ {1} +1 = \ lewo [0, \ omega _ {1} \ prawo]}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ lewo [0, \ omega _ {1} \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo [0, \ omega _ {1} \ prawo)}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} +1 = \ lewo [0, \ omega _ {1} \ prawo]}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} = \ lewo [0, \ omega _ {1} \ prawo)}$

Przestrzeń ilorazu, w której liczby naturalne na prostej rzeczywistej są identyfikowane jako pojedynczy punkt, nie jest najpierw policzalna. Przestrzeń ta ma jednak tę właściwość, że dla każdego podzbioru i każdego elementu w zamknięciu istnieje ciąg w przestrzeni A zbieżny do przestrzeni o tej właściwości ciągu jest czasami nazywany przestrzenią Frécheta-Urysohna . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x.}$

Policzalność do pierwszej jest ściśle słabsza niż policzalność do drugiej . Każda policzalna przestrzeń jest policzalna jako pierwsza, ale każda niepoliczalna dyskretna przestrzeń jest policzalna jako pierwsza, ale nie jest policzalna jako druga.

Nieruchomości

Jedną z najważniejszych właściwości pierwszego policzalnych przestrzeni jest podana podzbiór PUNKTU polega na zamknięciu z wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w sekwencji w której zbiega do (innymi słowy, każdy pierwszy policzalny przestrzeń jest Fréchet-Urysohn przestrzeni, a zatem także przestrzeni sekwencyjnej .) Ma to konsekwencje dla ograniczeń i ciągłości . W szczególności, jeśli jest funkcją na przestrzeni pierwszej przeliczalnej, to ma granicę w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu, w którym mamy wszystko, co mamy Również, jeśli jest funkcją na przestrzeni pierwszej przeliczalnej, to jest ciągłe, jeśli i tylko wtedy, gdy wtedy${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {n} \ prawo) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{n}\do x}$${\displaystyle x_{n}\neq x}$${\displaystyle n}$${\ Displaystyle f \ lewo (x_ {n} \ prawo) \ do L.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{n}\do x}$${\ Displaystyle f \ lewo (x_ {n} \ prawo) \ do f (x).}$

W pierwszych policzalnych przestrzeniach zwartość sekwencyjna i zwartość policzalna są równoważnymi właściwościami. Istnieją jednak przykłady przestrzeni sekwencyjnie zwartych, przestrzeni policzalnych od początku, które nie są zwarte (są to koniecznie przestrzenie niemetryczne). Jedną z takich przestrzeni jest przestrzeń porządkowa. Każda pierwsza policzalna przestrzeń jest generowana w sposób zwarty . ${\ Displaystyle \ lewo [0, \ omega _ {1} \ prawo).}$

Każda podprzestrzeń przestrzeni pierwszej policzalnej jest najpierw policzalna. Każdy policzalny iloczyn przestrzeni policzalnej jako pierwszy jest policzalny jako pierwszy, chociaż iloczyny niepoliczalne nie muszą być.

Zobacz też

• Przestrzeń Frécheta-Urysohna
• Przestrzeń przeliczalna sekund – Przestrzeń  topologiczna, której topologia ma podstawę przeliczalną
• Przestrzeń rozdzielna  – Przestrzeń topologiczna z gęstym podzbiorem przeliczalnym
• Przestrzeń sekwencyjna  – Przestrzeń topologiczna, którą można scharakteryzować za pomocą sekwencji

Bibliografia

Bibliografia

• "pierwszy aksjomat policzalnosci" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Engelking Ryszard (1989). Ogólna topologia . Seria Sigma w czystej matematyce, tom. 6 (Poprawione i uzupełnione wyd.). Heldermann Verlag, Berlin. Numer ISBN 3885380064.