Pole Schrödingera - Schrödinger field

W mechanice kwantowej i teorii pola kwantowego , A pole Schrödingera , nazwany Erwin Schrödinger , to pole kwantowe , które przestrzega równanie Schrödingera . Podczas każdej sytuacji opisany przez pole Schrödingera może być również opisana za pomocą wielu ciał równania Schrödingera identycznych cząsteczek teoria pole jest bardziej odpowiedni w sytuacji, gdy ilość cząstek stałych nie zmienia.

Pole Schrödingera jest również klasyczną granicą kwantowego pola Schrödingera, klasycznej fali, która spełnia równanie Schrödingera. W przeciwieństwie do kwantowo-mechanicznej funkcji falowej, jeśli zachodzą interakcje między cząstkami, równanie będzie nieliniowe . Te nieliniowe równania opisują klasyczną granicę fali układu oddziałujących ze sobą identycznych cząstek.

Całka po trajektorii pola Schrödingera jest również znana jako spójna całka ścieżki stanu, ponieważ samo pole jest operatorem anihilacji, którego stany własne można traktować jako spójne stany oscylacji harmonicznych modów pola.

Pola Schrödingera są przydatne do opisu kondensacji Bosego-Einsteina , równania Bogolyubova - de Gennesa nadprzewodnictwa , nadciekłości i ogólnie teorii wielu ciał . Są również użytecznym alternatywnym formalizmem dla nierelatywistycznej mechaniki kwantowej.

Pole Schrödingera jest nierelatywistyczną granicą pola Kleina – Gordona .

Podsumowanie

Pole Schrödingera to pole kwantowe, którego kwanty są zgodne z równaniem Schrödingera . W klasycznej granicy można to rozumieć jako kwantowane równanie falowe kondensatu Bosego Einsteina lub nadcieku .

Wolne pole

Pole Schrödingera ma wolne pole Lagrangianu

${\ Displaystyle L = \ psi ^ {\ sztylet} \ lewo (i {\ częściowe \ na \ częściowe t} + {\ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ po prawej) \ psi.}$

Kiedy jest złożonym polem o wartościach zespolonych w całce po ścieżce lub równoważnie operatorem z kanonicznymi relacjami komutacji, opisuje zbiór identycznych nierelatywistycznych bozonów. Kiedy jest polem o wartościach grassmanna lub równoważnie operatorem z kanonicznymi relacjami antykomutacji, pole opisuje identyczne fermiony. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$

Potencjał zewnętrzny

Jeśli cząstki oddziałują z potencjałem zewnętrznym , interakcja ta ma lokalny wkład w działanie: ${\ Displaystyle V (x)}$

${\ Displaystyle S = \ int _ {xt} \ psi ^ {\ sztylet} \ lewo (i {\ części \ na \ częściowe t} + {\ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ po prawej) \ psi - \ psi ^ {\ dagger} (x) \ psi (x) V (x).}$

Jeśli zwykłe równanie Schrödingera dla V ma znane stany własne energii z energiami , to pole w działaniu można obrócić do podstawy po przekątnej przez rozszerzenie modu: ${\ Displaystyle \ phi _ {i} (x)}$${\ displaystyle E_ {i}}$

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ suma _ {i} \ psi _ {i} \ phi _ {i} (x). \,}$

Akcja staje się:

${\ Displaystyle S = \ int _ {t} \ suma _ {i} \ psi _ {i} ^ {\ sztylet} \ lewo (i {\ częściowe \ na \ częściowe t} -E_ {i} \ po prawej) \ psi _ {i} \,}$

która jest całką ścieżki pędu dla zbioru niezależnych oscylatorów harmonicznych.

Aby zobaczyć równoważność, zauważ, że rozłożona na części rzeczywiste i urojone akcja jest następująca:

${\ Displaystyle S = \ int _ {t} \ suma _ {i} 2 \ psi _ {r} {d \ psi _ {i} \ ponad dt} -E_ {i} (\ psi _ {r} ^ { 2} + \ psi _ {i} ^ {2})}$

po całkowaniu przez części. Całkowanie daje akcję ${\ displaystyle \ psi _ {r}}$

${\ Displaystyle S = \ int _ {t} \ suma _ {i} {1 \ ponad E_ {i}} \ lewo ({d \ psi _ {i} \ ponad dt} \ prawej) ^ {2} -E_ {i} \ psi _ {i} ^ {2}}$

co, przeskalowanie , jest harmonicznym działaniem oscylatora z częstotliwością . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ psi _ {i}}$${\ displaystyle E_ {i}}$

Potencjał pary

Kiedy cząstki oddziałują z potencjałem pary , interakcja jest nielokalnym wkładem do działania: ${\ Displaystyle V (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ Displaystyle S = \ int _ {xt} \ psi ^ {\ sztylet} \ lewo (i {\ części \ nad \ częściowe t} + {\ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ po prawej) \ psi - \ int _ {xy} \ psi ^ {\ dagger} (y) \ psi ^ {\ dagger} (x) V (x, y) \ psi (x) \ psi (y).}$

Potencjał pary jest nierelatywistyczną granicą relatywistycznego pola sprzężonego z elektrodynamiką. Pomijając propagujące się stopnie swobody, interakcją między nierelatywistycznymi elektronami jest odpychanie kulombowskie. W wymiarach 2 + 1 jest to:

${\ Displaystyle V (x, y) = {j ^ {2} \ ponad | yx |}.}$

W połączeniu z zewnętrznym potencjałem do modelowania klasycznych pozycji jąder, pole Schrödingera z tym potencjałem pary opisuje prawie całą fizykę materii skondensowanej. Wyjątkami są takie efekty, jak nadciekłość, w której istotna jest kwantowo-mechaniczna interferencja jąder, oraz elektrony powłoki wewnętrznej, w przypadku których ruch elektronów może być relatywistyczny.

Nieliniowe równanie Schrödingera

Szczególny przypadek interakcji funkcji delta jest szeroko badany i jest znany jako nieliniowe równanie Schrödingera . Ponieważ interakcje zachodzą zawsze, gdy dwie cząstki zajmują ten sam punkt, działanie nieliniowego równania Schrödingera jest lokalne: ${\ Displaystyle V (x_ {1}, x_ {2}) = \ lambda \ delta (x_ {1} -x_ {2})}$

${\ Displaystyle S = \ int _ {x} \ psi ^ {\ sztylet} \ lewo (i {\ części \ nad \ częściowe t} + {\ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ po prawej) \ psi + \ lambda \ int _ {x} \ psi ^ {\ dagger} \ psi ^ {\ dagger} \ psi \ psi}$

Siła oddziaływania wymaga renormalizacji w wymiarach wyższych niż 2, aw dwóch wymiarach ma rozbieżność logarytmiczną. We wszystkich wymiarach, a nawet przy rozbieżnościach prawa władzy, teoria jest dobrze zdefiniowana. Jeśli cząstki są fermionami, interakcja zanika. ${\ displaystyle \ lambda}$

Potencjały wielu ciał

Potencjały mogą obejmować wkład wielu ciał. Oddziałującym Lagrangianem jest zatem:

${\ Displaystyle L_ {i} = \ int _ {x} \ psi ^ {\ sztylet} (x_ {1}) \ psi ^ {\ sztylet} (x_ {2}) \ cdots \ psi ^ {\ sztylet} ( x_ {n}) V (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ psi (x_ {1}) \ psi (x_ {2}) \ cdots \ psi (x_ {n} ). \,}$

Te typy potencjałów są ważne w niektórych skutecznych opisach atomów upakowanych blisko siebie. Interakcje wyższego rzędu są coraz mniej ważne.

Formalizm kanoniczny

Kanoniczne powiązanie pędu z polem to ${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ Pi (x) = ja \ psi ^ {\ sztylet}. \,}$

Kanoniczne relacje komutacji są jak niezależny oscylator harmoniczny w każdym punkcie:

${\ Displaystyle [\ psi (x), \ psi ^ {\ sztylet} (r)] = \ delta (xy).}$

Polem jest Hamiltonian

${\ Displaystyle H = S- \ int \ Pi (x) {d \ ponad dt} \ psi = \ int {| \ nabla \ psi | ^ {2} \ ponad 2m} + \ int _ {xy} \ psi ^ {\ dagger} (x) \ psi ^ {\ dagger} (y) V (x, y) \ psi (x) \ psi (y) \,}$

a równanie pola dla dowolnej interakcji jest nieliniową i nielokalną wersją równania Schrödingera. W przypadku interakcji parami:

${\ Displaystyle i {\ częściowe \ na \ częściowe t} \ psi = - {\ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ psi + \ lewo (\ int _ {y} V (x, y) \ psi ^ { \ dagger} (y) \ psi (y) \ right) \ psi (x). \,}$

Teoria zaburzeń

Ekspansja w diagramach Feynmana nazywa wiele ciała rachunek zaburzeń. Propagator jest

${\ Displaystyle G (k) = {1 \ ponad ja \ omega - {k ^ {2} \ ponad 2m}}. \,}$

Wierzchołek interakcji to transformata Fouriera potencjału pary. We wszystkich interakcjach liczba linii przychodzących i wychodzących jest równa.

Ekspozycja

Identyczne cząstki

Równanie wielociałowe Schrödingera dla identycznych cząstek opisuje ewolucję w czasie funkcji falowej wielociałowej ψ ( x ₁ , x ₂ ... x _N ), która jest amplitudą prawdopodobieństwa, że cząstki N mają wymienione pozycje. Równanie Schrödingera dla ψ to:

${\ Displaystyle ja {d \ ponad dt} \ psi = \ lewo ({\ Frac {\ nabla _ {1} ^ {2}} {2m}} + {\ Frac {\ nabla _ {2} ^ {2}) } {2m}} + \ cdots + {\ frac {\ nabla _ {N} ^ {2}} {2m}} + V (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {N}) \ po prawej) \ psi \,}$

z Hamiltonianem

${\ Displaystyle H = {\ Frac {p_ {1} ^ {2}} {2m}} + {\ Frac {p_ {2} ^ {2}} {2m}} + \ cdots + {\ Frac {p_ { N} ^ {2}} {2m}} + V (x_ {1}, \ dots, x_ {N}). \,}$

Ponieważ cząstki są nierozróżnialne, funkcja falowa ma pewną symetrię przy przełączaniu pozycji. Zarówno

1. ${\ Displaystyle \ psi (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki) = \ psi (x_ {2}, x_ {1}, \ kropki) \ qquad \ quad {\ tekst {dla bozonów}}}$ ,
2. ${\ Displaystyle \ psi (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki) = - \ psi (x_ {2}, x_ {1}, \ kropki) \ qquad {\ tekst {dla fermionów}}}$ .

Ponieważ cząstki są nierozróżnialne, potencjał V musi pozostać niezmieniony pod permutacjami. Gdyby

${\ Displaystyle V (x_ {1}, \ kropki, x_ {N}) = V_ {1} (x_ {1}) + V_ {2} (x_ {2}) + \ cdots + V_ {N} (x_ {N}) \,}$

to musi tak być . Gdyby ${\ Displaystyle V_ {1} = V_ {2} = \ cdots = V_ {N}}$

${\ Displaystyle V (x_ {1} ..., x_ {N}) = V_ {1,2} (x_ {1}, x_ {2}) + V_ {1, 3} (x_ {2}, x_ {3}) + V_ {2,3} (x_ {1}, x_ {2}) \,}$

potem i tak dalej. ${\ Displaystyle V_ {1,2} = V_ {1,3} = V_ {2,3}}$

W formalizmie równania Schrödingera ograniczenia potencjału są ad hoc, a klasyczna granica fali jest trudna do osiągnięcia. Ma również ograniczoną użyteczność, jeśli system jest otwarty na środowisko, ponieważ cząstki mogą spójnie wchodzić i wychodzić.

Nierelatywistyczna przestrzeń Focka

Pole Schrödingera jest definiowane przez rozszerzenie przestrzeni stanów Hilberta, aby objąć konfiguracje z dowolną liczbą cząstek. Prawie kompletną podstawę dla tego zestawu stanów stanowi kolekcja:

${\ displaystyle | N; x_ {1}, \ ldots, x_ {N} \ rangle \,}$

oznaczone całkowitą liczbą cząstek i ich położeniem. Dowolny stan z cząstkami w oddzielnych pozycjach jest opisywany przez superpozycję stanów tej postaci.

${\ Displaystyle \ psi _ {0} | 0 \ rangle + \ int _ {x} \ psi _ {1} (x) | 1; x \ rangle + \ int _ {x_ {1} x_ {2}} \ psi _ {2} (x_ {1}, x_ {2}) | 2; x_ {1} x_ {2} \ rangle + \ ldots \,}$

W tym formalizmie należy pamiętać, że dowolne dwa stany, których pozycje można przeniknąć do siebie, są w rzeczywistości takie same, więc domeny integracji muszą unikać podwójnego liczenia. Należy również pamiętać, że stany z więcej niż jedną cząstką w tym samym punkcie nie zostały jeszcze zdefiniowane. Wielkość to amplituda, przy której nie ma żadnych cząstek, a jej kwadrat absolutny to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w próżni. ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$

Aby odtworzyć opis Schrödingera, produkt wewnętrzny na podstawie stanów powinien być

${\ Displaystyle \ langle 1; x_ {1} | 1; y_ {1} \ rangle = \ delta (x_ {1} -y_ {1}) \,}$

${\ Displaystyle \ langle 2; x_ {1} x_ {2} | 2; y_ {1} y_ {2} \ rangle = \ delta (x_ {1} -y_ {1}) \ delta (x_ {2} - y_ {2}) \ pm \ delta (x_ {1} -y_ {2}) \ delta (x_ {2} -y_ {1}) \,}$

i tak dalej. Ponieważ dyskusja jest prawie formalnie identyczna dla bozonów i fermionów, chociaż właściwości fizyczne są różne, odtąd cząstkami będą bozony.

W tej przestrzeni Hilberta istnieją naturalne operatory. Jeden operator, zwany , jest operatorem, który wprowadza dodatkową cząstkę w punkcie x. Określa się go na podstawie każdego stanu bazowego: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ psi ^ {\ sztylet} (x)}$

${\ Displaystyle \ psi ^ {\ sztylet} (x) | N; x_ {1} ... x_ {n} \ rangle = | N + 1; x_ {1}, ..., x_ {n}, x \ rangle \,}$

z niewielką niejednoznacznością, gdy cząstka jest już na x.

Inny operator usuwa cząstkę w punkcie x i zostaje wywołany . Ten operator jest koniugatem operatora . Ponieważ nie ma elementów macierzy, które łączą się ze stanami bez cząstki w x, muszą dać zero, działając na taki stan. ${\ displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi ^ {\ sztylet}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ psi ^ {\ sztylet}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ psi (x) | N; x_ {1} ..., x_ {N} \ rangle = \ delta (x-x_ {1}) | N-1; x_ {2} ..., x_ {N} \ rangle + \ delta (x-x_ {2}) | N-1; x_ {1}, x_ {3} ..., x_ {N} \ rangle + \ ldots \,}$

Podstawa położenia jest niewygodnym sposobem zrozumienia zbieżnych cząstek, ponieważ stany z cząstką zlokalizowaną w jednym punkcie mają nieskończoną energię, więc intuicja jest trudna. Aby zobaczyć, co się dzieje, gdy dwie cząstki znajdują się dokładnie w tym samym punkcie, matematycznie najłatwiej jest uczynić przestrzeń dyskretną siecią lub przekształcić pole Fouriera w skończoną objętość.

Operator

${\ Displaystyle \ psi ^ {\ sztylet} (k) = \ int _ {x} e ^ {- ikx} \ psi ^ {\ sztylet} (x) \,}$

tworzy superpozycję stanów jednej cząstki w stanie fali płaskiej o pędzie k, innymi słowy, tworzy nową cząstkę o pędzie k. Operator

${\ Displaystyle \ psi (k) = \ int _ {x} e ^ {ikx} \ psi (x) \,}$

anihiluje cząstkę z pędem k.

Jeśli energia potencjalna do interakcji nieskończenie odległych cząstek zanika, operatory transformowane Fouriera w nieskończonej objętości tworzą stany, które nie oddziałują. Stany są nieskończenie rozłożone, a prawdopodobieństwo, że cząstki są w pobliżu, wynosi zero.

Elementy macierzy dla operatorów między niespójnymi punktami rekonstruują elementy macierzy transformaty Fouriera między wszystkimi modami:

1. ${\ Displaystyle \ psi ^ {\ sztylet} (k) \ psi ^ {\ sztylet} (k ') - \ psi ^ {\ sztylet} (k') \ psi ^ {\ sztylet} (k) = 0 \, }$
2. ${\ Displaystyle \ psi (k) \ psi (k ') - \ psi (k') \ psi (k) = 0 \,}$
3. ${\ Displaystyle \ psi (k) \ psi ^ {\ sztylet} (k ') - \ psi (k') \ psi ^ {\ sztylet} (k) = \ delta (k-k ') \,}$

gdzie funkcja delta jest albo funkcją delta Diraca, albo deltą Kroneckera , w zależności od tego, czy objętość jest nieskończona, czy skończona.

Relacje komutacji określają teraz operatory całkowicie, a gdy objętość przestrzenna jest skończona, nie ma konceptualnej przeszkody, aby zrozumieć zbieżne pędy, ponieważ pędy są dyskretne. W dyskretnej podstawie pędu stany bazowe to:

${\ Displaystyle | n_ {1}, n_ {2}, ... n_ {k} \ rangle \,}$

gdzie n to liczba cząstek w każdym pędzie. W przypadku fermionów i anyonów liczba cząstek w dowolnym momencie wynosi zawsze zero lub jeden. Operatory mają oscylator harmoniczny, taki jak elementy macierzy między stanami, niezależnie od interakcji: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ psi _ {k}}$

${\ Displaystyle \ psi ^ {\ sztylet} (k) | .., n_ {k}, \ ldots \ rangle = {\ sqrt {n_ {k} +1}} \, | ..., n_ {k} +1, \ ldots \ rangle}$

${\ Displaystyle \ psi (k) | ..., n_ {k}, \ ldots \ rangle = {\ sqrt {n_ {k}}} \, | ..., n_ {k} -1, \ ldots \ rangle}$

Więc operator

${\ Displaystyle \ suma _ {k} \ psi ^ {\ sztylet} (k) \ psi (k) = \ int _ {x} \ psi ^ {\ sztylet} (x) \ psi (x)}$

zlicza całkowitą liczbę cząstek.

Teraz łatwo zauważyć, że elementy macierzy i mają również relacje komutacji oscylatora harmonicznego. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ psi ^ {\ sztylet} (x)}$

1. ${\ Displaystyle [\ psi (x), \ psi (r)] = [\ psi ^ {\ sztylet} (x), \ psi ^ {\ sztylet} (y)] = 0}$
2. ${\ Displaystyle [\ psi (x), \ psi ^ {\ sztylet} (r)] = \ delta (xy)}$

Aby naprawdę nie było trudności z przypadkowymi cząstkami w przestrzeni pozycji.

Operator, który usuwa i zastępuje cząstkę, działa jako czujnik wykrywający, czy cząstka jest obecna w x. Operator działa tak, aby pomnożyć stan przez gradient funkcji falowej wielu ciał. Operator ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ psi ^ {\ sztylet} (x) \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ psi ^ {\ sztylet} \ nabla \ psi}$

${\ Displaystyle H = - \ int _ {x} \ psi ^ {\ sztylet} (x) {\ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ psi (x) \,}$

działa, aby odtworzyć prawą stronę równania Schrödingera, działając na dowolnym stanie podstawy, tak że

${\ Displaystyle \ psi ^ {\ sztylet} ja {d \ ponad dt} \ psi = \ psi ^ {\ sztylet} {- \ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ psi \,}$

zachodzi jako równanie operatora. Ponieważ jest to prawdziwe dla dowolnego stanu, jest również prawdziwe bez . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ psi ^ {\ sztylet}}$

${\ Displaystyle i {\ części \ nad \ częściowe t} \ psi = {- \ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ psi \,}$

Aby dodać interakcje, dodaj wyrazy nieliniowe do równań pola. Formularz pola automatycznie zapewnia, że ​​potencjały są zgodne z ograniczeniami symetrii.

Hamiltonian pola

Hamiltonianem pola, które odtwarza równania ruchu, jest

${\ displaystyle H = {\ nabla \ psi ^ {\ sztylet} \ nabla \ psi \ ponad 2m}}$

Równania ruchu Heisenberga dla tego operatora odtwarza równanie ruchu pola.

Aby znaleźć klasyczne pole Lagrangianu, zastosuj transformację Legendre'a do klasycznej granicy hamiltonianu.

${\ Displaystyle L = \ psi ^ {\ sztylet} \ lewo (i {\ częściowe \ na \ częściowe t} + {\ nabla ^ {2} \ ponad 2m} \ w prawo) \ psi \,}$

Chociaż klasycznie jest to poprawne, transformacja mechaniki kwantowej nie jest całkowicie koncepcyjnie prosta, ponieważ całka po ścieżce przekracza wartości własne operatorów ψ, które nie są pustelnikami i których wartości własne nie są ortogonalne. Dlatego całka ścieżki po stanach pola wydaje się być naiwnie nadmierna. Tak nie jest, ponieważ termin pochodnej w czasie w L obejmuje nakładanie się różnych stanów pola.

Związek z polem Kleina-Gordona

Nierelatywistyczną granicą, jak w przypadku każdego pola Kleina-Gordona, są dwa pola Schrödingera, reprezentujące cząstkę i antycząstkę. Dla jasności wszystkie jednostki i stałe są zachowywane w tym wyprowadzeniu. Z operatorów anihilacji w przestrzeni pędu pola relatywistycznego można zdefiniować ${\ displaystyle c \ to \ infty}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}, {\ hat {b}} _ {\ mathbf {p}}}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} (x) = \ int d \ Omega _ {\ mathbf {p}} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} e ^ {- ip \ cdot x }, \ quad {\ hat {b}} (x) = \ int d \ Omega _ {\ mathbf {p}} {\ hat {b}} _ {\ mathbf {p}} e ^ {- ip \ cdot x}}$ ,

takie że . Definiowanie dwóch „non-relatywistyczne” pola i , ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ phi}} (x) = {\ kapelusz {a}} (x) + {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet} (x)}$${\ displaystyle {\ hat {A}} (x)}$${\ displaystyle {\ hat {B}} (x)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} (x) = {\ Frac {e ^ {- imc ^ {2} t / \ hbar}} {\ sqrt {2mc ^ {2}}}} {\ kapelusz {A }} (x), \ quad {\ hat {b}} (x) = {\ frac {e ^ {- imc ^ {2} t / \ hbar}} {\ sqrt {2mc ^ {2}}}} {\ hat {B}} (x)}$ ,

które uwzględniają szybko oscylującą fazę z powodu masy spoczynkowej plus pozostałość miary relatywistycznej, gęstość Lagrange'a staje się ${\ Displaystyle L = (\ hbar c) ^ {2} \ częściowe _ {\ mu} \ phi \ częściowe ^ {\ mu} \ phi ^ {\ sztylet} - (mc ^ {2}) ^ {2} \ phi \ phi ^ {\ dagger}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L & = (\ hbar c) ^ {2} (\ częściowe _ {\ mu} {\ kapelusz {a}} \ częściowe ^ {\ mu} {\ kapelusz {a}} ^ {\ dagger} + \ Partial _ {\ mu} {\ hat {b}} \ Partial ^ {\ mu} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} + \ ldots) - (mc ^ {2}) ^ {2} ({\ hat {a}} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} + {\ hat {b}} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} + \ ldots) \\ & = {\ frac {1} {2mc ^ {2}}} \ left [(\ hbar c) ^ {2} ({\ frac {-imc} {\ hbar}} {\ hat {A}} + \ częściowy _ {0} {\ hat {A}}) ({\ frac {imc} {\ hbar}} {\ hat {A}} ^ {\ dagger} + \ części ^ {0} {\ hat {A} } ^ {\ dagger}) - (\ hbar c) ^ {2} \ partial _ {x} {\ hat {A}} \ part ^ {x} {\ hat {A}} ^ {\ dagger} + ( A \ Rightarrow B) + \ ldots - (mc ^ {2}) ^ {2} ({\ hat {A}} {\ hat {A}} ^ {\ dagger} + {\ hat {B}} {\ kapelusz {B}} ^ {\ dagger} + \ ldots) \ right] \\ & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left [{\ frac {imc} {\ hbar}} (\ Partial _ {0} {\ hat {A}} {\ hat {A}} ^ {\ dagger} - {\ hat {A}} \ part ^ {0} {\ hat {A}} ^ {\ sztylet}) + \ częściowy _ {\ mu} {\ hat {A}} \ częściowy ^ {\ mu} {\ hat {A}} ^ {\ dagger} + (A \ Rightarrow B) + \ ldots \ right] \ end {aligned}}}$

gdzie wyrazy proporcjonalne do są reprezentowane przez elipsy i znikają w nierelatywistycznej granicy. Kiedy czterogradient jest rozszerzany, całkowita dywergencja jest ignorowana, a warunki proporcjonalne również znikają w nierelatywistycznej granicy. Po integracji przez części ${\ Displaystyle e ^ {\ pm 2imc ^ {2} t / \ hbar}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {c}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {A} & = ja \ hbar {\ kapelusz {A}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {A}} '+ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left [{\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ hat {A}} '{{\ hat {A}}'} ^ {\ dagger} - \ części _ {x } {\ hat {A}} \ części ^ {x} {\ hat {A}} ^ {\ dagger} \ right] \\ & = i \ hbar {\ hat {A}} ^ {\ dagger} {\ kapelusz {A}} '+ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left [- (\ częściowy _ {x} ({\ kapelusz {A}} \, \ częściowy ^ {x} { \ hat {A}} ^ {\ dagger}) - {\ hat {A}} \, \ cząstkowy _ {x} \ częściowy ^ {x} {\ hat {A}} ^ {\ dagger}) \ right] \\ & = i \ hbar {\ hat {A}} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} '+ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ hat {A}} \, \ części _ {x} \ części ^ {x} {\ hat {A}} ^ {\ dagger}. \ end {aligned}}}$

Ostateczny Lagrangian przyjmuje formę

${\ Displaystyle L = {\ Frac {1} {2}} \ lewo [{\ kapelusz {A}} ^ {\ sztylet} (i \ hbar {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} + {\ frac {\ hbar ^ {2} \ nabla ^ {2}} {2m}}) {\ hat {A}} + {\ hat {B}} ^ {\ dagger} (i \ hbar {\ frac {\ części } {\ częściowe t}} + {\ frac {\ hbar ^ {2} \ nabla ^ {2}} {2m}}) {\ hat {B}} + {\ text {hc}} \ right]}$ .

Bibliografia

Linki zewnętrzne