Nieliniowe równanie Schrödingera - Nonlinear Schrödinger equation

Bezwzględna wartość od złożonej obwiedni dokładnych analityczne odpowietrzających roztworów nieliniowego Schrödingera (NLS) równanie bezwymiarowej formy. (A) Oddech Achmediewa; (B) odpowietrznik Peregrine ; (C) odpowietrznik Kuzniecow-Ma.

W fizyce teoretycznej (jednowymiarowe) nieliniowe równanie Schrödingera ( NLSE ) jest nieliniową odmianą równania Schrödingera . Jest to klasyczne równanie pola, którego główne zastosowania to propagacja światła w nieliniowych światłowodach i falowodach planarnych oraz kondensaty Bosego-Einsteina zamknięte w wysoce anizotropowych pułapkach w kształcie cygara, w reżimie średniego pola. Dodatkowo równanie to pojawia się w badaniach fal grawitacyjnych o małej amplitudzie na powierzchni wody głęboko nielepkiej (o zerowej lepkości); gdy fale Langmuira w gorącej plazmy; propagacja wiązek fal o dyfrakcji płaskiej w obszarach ogniskowania jonosfery; propagacja solitonów alfa-helisy Davydova , które są odpowiedzialne za transport energii wzdłuż łańcuchów molekularnych; i wiele innych. Bardziej ogólnie, NLSE pojawia się jako jedno z uniwersalnych równań opisujących ewolucję wolno zmieniających się pakietów fal quasi-monochromatycznych w słabo nieliniowych ośrodkach, które mają dyspersję . W przeciwieństwie do liniowego równania Schrödingera , NLSE nigdy nie opisuje ewolucji stanu kwantowego w czasie. 1D NLSE jest przykładem modelu integrowalnego .

W mechanice kwantowej 1D NLSE jest szczególnym przypadkiem klasycznego nieliniowego pola Schrödingera , które z kolei jest klasyczną granicą kwantowego pola Schrödingera. I odwrotnie, kiedy klasyczne pole Schrödingera jest kanonicznie skwantowane , staje się kwantową teorią pola (która jest liniowa, mimo że nazywa się ją „kwantowym nieliniowym równaniem Schrödingera”), która opisuje bozonowe cząstki punktowe z oddziaływaniami delta-funkcjami — cząstki albo odpychać lub przyciągać, gdy są w tym samym punkcie. W rzeczywistości, gdy liczba cząstek jest skończona, ta kwantowa teoria pola jest równoważna modelowi Lieba-Linigera . Zarówno kwantowe, jak i klasyczne jednowymiarowe nieliniowe równania Schrödingera są całkowalne. Szczególnie interesująca jest granica odpychania o nieskończonej sile, w którym to przypadku model Lieba-Linigera staje się gazem Tonks-Girardeau (zwanym również twardym gazem Bosego lub nieprzenikalnym gazem Bosego). W tej granicy bozony mogą, poprzez zmianę zmiennych, które jest uogólnieniem kontinuum transformacji Jordana-Wignera , zostać przekształcone w system jednowymiarowych nieoddziałujących bezspinowych fermionów.

Nieliniowe równanie Schrödingera jest uproszczoną, 1+1-wymiarową formą równania Ginzburga-Landaua, wprowadzonego w 1950 r. w pracy nad nadprzewodnictwem i wyraźnie zapisanego przez RY Chiao, E. Garmire'a i CH Townesa ( 1964 , równanie 5 )) w swoich badaniach wiązek optycznych.

Wersja wielowymiarowa zastępuje drugą pochodną przestrzenną Laplace'a. W więcej niż jednym wymiarze równanie nie jest całkowalne, pozwala na załamanie i turbulencję falową.

Równanie

Nieliniowe równanie Schrödingera jest nieliniowym równaniem różniczkowym cząstkowym , mającym zastosowanie w mechanice klasycznej i kwantowej .

Równanie klasyczne

Klasyczne równanie pola (w postaci bezwymiarowej ) to:

dla pola zespolonego ψ ( x , t ).

To równanie wynika z hamiltonianu

${\ Displaystyle H = \ int \ operatorname {d} x \ lewo [{1 \ ponad 2} | \ częściowy _ {x} \ psi | ^ {2} + {\ kappa \ ponad 2} | \ psi | ^ { 4}\prawo]}$

z nawiasami Poissona

${\ Displaystyle \ {\ psi (x), \ psi (y) \} = \ {\ psi ^ {*} (x), \ psi ^ {*} (y) \} = 0 \}$

${\ Displaystyle \ {\ psi ^ {*} (x), \ psi (y) \} = ja \ delta (xy). \,}$

W przeciwieństwie do swojego liniowego odpowiednika, nigdy nie opisuje ewolucji w czasie stanu kwantowego.

Obudowa z ujemnym κ nazywana jest ogniskowaniem i pozwala na jasne rozwiązania solitonowe (zlokalizowane w przestrzeni i mające przestrzenne tłumienie w kierunku nieskończoności), a także rozwiązania oddechowe . Można to dokładnie rozwiązać za pomocą odwrotnej transformacji rozpraszania , jak pokazali Zakharov i Shabat (1972) (patrz niżej ). Drugi przypadek, z κ dodatnim, to rozogniskowanie NLS, które ma ciemne rozwiązania solitonowe (mające stałą amplitudę w nieskończoności i lokalny spadek amplitudy przestrzennej).

Mechanika kwantowa

Aby uzyskać wersję skwantowaną , po prostu zamień nawiasy Poissona na komutatory

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {} [\ psi (x), \ psi (y)] i = [\ psi ^ {*} (x), \ psi ^ {*} (y)] = 0 \ \{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (xy)\end{wyrównany}}}$

i normalny rząd hamiltonian

${\ Displaystyle H = \ int dx \ lewo [{1 \ ponad 2} \ częściowy _ {x} \ psi ^ {\ sztylet} \ częściowy _ {x} \ psi + {\ kappa \ ponad 2} \ psi ^ { \dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

Wersja kwantowa została rozwiązana przez Bethe ansatz przez Lieba i Linigera . Termodynamikę opisał Chen-Ning Yang . Funkcje korelacji kwantowej zostały również ocenione przez Korepina w 1993 roku. Model ma wyższe prawa zachowania - Davies i Korepin w 1989 roku wyrażają je w postaci pól lokalnych.

Rozwiązywanie równania

Nieliniowe równanie Schrödingera jest całkowalne w 1d: Zakharov i Shabat ( 1972 ) rozwiązali je za pomocą odwrotnej transformacji rozpraszania . Odpowiedni liniowy układ równań znany jest jako układ Zacharowa-Szabata :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ phi _ {x} i = J \ phi \ Lambda + U \ phi \ \ \ phi _ {t} i = 2J \ phi \ Lambda ^ {2} + 2 U \ phi \ Lambda +\lewo(JU^{2}-JU_{x}\prawo)\phi ,\end{wyrównany}}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Lambda = {\ zacząć {pmatrix} \ lambda _ {1} i 0 \ \ 0 i \ lambda _ {2} \ koniec {pmatrix}} \ quad J = i \ sigma _ {z} = {\ zacząć {pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.}$

Nieliniowe równanie Schrödingera powstaje jako warunek zgodności układu Zacharowa-Szabata:

${\ Displaystyle \ phi _ {xt} = \ phi _ {tx} \ quad \ Rightarrow \ quad U_ {t} = - JU_ {xx} + 2 JU ^ {2} U \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ zacząć {przypadki }iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{przypadki}}}$

Ustalając q = r * lub q = − r * otrzymujemy nieliniowe równanie Schrödingera z oddziaływaniem przyciągającym lub odpychającym.

Alternatywne podejście wykorzystuje bezpośrednio system Zacharowa-Szabata i wykorzystuje następującą transformację Darboux :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ phi \ do \ phi [1] & = \ phi \ Lambda - \ sigma \ phi \ \ U \ do U [1] i = U + [J, \ sigma] \ \ \ sigma &=\varphi \Omega \varphi ^{-1}\end{aligned}}}$

co pozostawia system bez zmian.

Tutaj φ jest kolejnym rozwiązaniem macierzy odwracalnej (innym niż ϕ ) układu Zacharowa-Szabata z parametrem widmowym Ω:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ varphi _ {x} i = J \ varphi \ Omega + U \ varphi \ \ \ varphi _ {t} i = 2J \ varphi \ Omega ^ {2} + 2U \ varphi \ Omega +\lewo(JU^{2}-JU_{x}\prawo)\varphi .\end{wyrównany}}}$

Rozpoczynając od rozwiązania trywialnego U = 0 i iterując, otrzymujemy rozwiązania o n solitonach .

Równanie NLS jest równaniem różniczkowym cząstkowym, takim jak równanie Grossa-Pitaevskiego . Zwykle nie ma rozwiązania analitycznego i do jego rozwiązania stosuje się te same metody numeryczne, które są używane do rozwiązania równania Grossa-Pitaevskiego, takie jak rozdzielone metody spektralne Cranka -Nicolsona i Fouriera . Istnieją różne programy Fortran i C do jego rozwiązania .

Niezmienniczość Galileusza

Nieliniowe równanie Schrödingera jest niezmiennikiem Galileusza w następującym sensie:

Mając rozwiązanie ψ ( x, t ) nowe rozwiązanie można otrzymać zastępując x przez x + vt wszędzie w ψ( x, t ) i dołączając współczynnik fazowy : ${\ Displaystyle e ^ {-iv (x + vt/2)} \,}$

${\ Displaystyle \ psi (x, t) \ mapsto \ psi _ {[v]} (x, t) = \ psi (x + vt, t) \; e ^ {-iv (x + vt/2)} .}$

Nieliniowe równanie Schrödingera w światłowodach

W optyce nieliniowe równanie Schrödingera występuje w układzie Manakowa , modelu propagacji fali w światłowodzie. Funkcja ψ reprezentuje falę, a nieliniowe równanie Schrödingera opisuje propagację fali w ośrodku nieliniowym. Pochodna drugiego rzędu reprezentuje dyspersję, a człon κ reprezentuje nieliniowość. Modele równanie wiele efektów nieliniowości włókien, w tym, lecz nie ograniczając się do modulacji fazy , mieszanie czterofalowe , generowanie drugiej harmonicznej , stymulowane rozpraszania Ramana , Solitony optycznych , krótkich impulsów , itd.

Nieliniowe równanie Schrödingera w falach wodnych

Hiperboliczny sieczny (sech) kopert soliton fal powierzchniowych na głębokości wody.
Niebieska linia: fale wodne.
Czerwona linia: kopertowy soliton.

Do fal wodnych , nieliniowe równanie Schrödingera opisuje ewolucję koperty z modulowanym grup fal. W pracy z 1968 roku Vladimir E. Zacharov opisuje hamiltonowską strukturę fal wodnych. W tej samej pracy Zacharow pokazuje, że dla wolno modulowanych grup falowych amplituda fali spełnia w przybliżeniu nieliniowe równanie Schrödingera. Wartość parametru nieliniowości к zależy od względnej głębokości wody. W przypadku wód głębokich, gdzie głębokość wody jest duża w porównaniu z długością fal na wodzie, к jest ujemne i mogą wystąpić solitony obwiedni . Ponadto te solitony otoczki mogą być przyspieszane pod wpływem zewnętrznego przepływu wody zależnego od czasu.

W przypadku płytkiej wody, o długości fali większej niż 4,6-krotność głębokości wody, parametr nieliniowości к jest dodatni, a grupy fal z solitonami obwiedni nie istnieją. W płytkiej wodzie na powierzchni elewacji Solitony lub fale tłumaczy istnieją, ale nie są one regulowane przez nieliniowego równania Schrödingera.

Uważa się, że nieliniowe równanie Schrödingera jest ważne dla wyjaśnienia powstawania fal nierównych .

Złożone pola ψ , jak wykazuje nieliniowego równania Schrödingera jest podobne do amplitudy i fazy fal wodnych. Rozważmy wolno modulowaną falę nośną z wysokością powierzchni wody η postaci:

${\ Displaystyle \ eta = a (x_ {0}, t_ {0}) \; \ cos \ lewo [k_ {0} \, x_ {0}-\ omega _ {0} \ t_ {0}-\ theta (x_{0},t_{0})\prawo],}$

gdzie a ( x ₀ , t ₀ ) i θ ( x ₀ , t ₀ ) są wolno modulowaną amplitudą i fazą . Dalej ω ₀ i k ₀ są (stałą) częstotliwością kątową i liczbą falową fal nośnych, które muszą spełniać zależność dyspersji ω ₀ = Ω( k ₀ ). Następnie

${\ Displaystyle \ psi = a \; \ exp \ lewo (i \ theta \ prawo).}$

Więc jego moduł | * F | jest amplitudą fali a , a jej argumentem arg( ψ ) jest faza θ .

Związek pomiędzy fizycznymi współrzędnymi ( x ₀ , t ₀ ) i ( x, t ) współrzędnymi, użytymi w nieliniowym równaniu Schrödingera podanym powyżej , wyraża się wzorem :

${\ Displaystyle x = k_ {0} \ lewo [x_ {0} - \ Omega „(k_ {0}) \; t_ {0} \ prawo] \ quad t = k_ {0} ^ {2} \ lewo [-\Omega ''(k_{0})\prawo]\;t_{0}}$

Zatem ( x, t ) jest przekształconym układem współrzędnych poruszającym się z prędkością grupową Ω'( k ₀ ) fal nośnych. Krzywizna dyspersyjno-relacyjna Ω"( k ₀ ) – reprezentująca dyspersję prędkości grupowej – jest zawsze ujemna dla fal wodnych pod działaniem grawitacji, dla dowolnej głębokości wody.

Dla fal na powierzchni wody głębokiej współczynniki istotne dla nieliniowego równania Schrödingera to:

${\ Displaystyle \ kappa = -2 k_ {0} ^ {2}, \ quad \ Omega (k_ {0}) = {\ sqrt {gk_ {0}}} = \ omega _ {0} \ \!}$   więc   ${\ Displaystyle \ Omega „(k_ {0}) = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {\ omega _ {0}} {k_ {0}}} \ quad \ Omega „” (k_ {0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

gdzie g jest przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni Ziemi.

W oryginalnych współrzędnych ( x ₀ , t ₀ ) nieliniowe równanie Schrödingera dla fal wodnych brzmi:

${\ Displaystyle i \, \ częściowy _ {t_ {0}} A + i \, \ Omega '(k_ {0}) \, \ częściowy _ {x_ {0}} A + {\ tfrac {1}{2} }\Omega ''(k_{0})\,\częściowy _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

z (czyli sprzężoną liczbę zespoloną o ) i So do głębokich fal wodnych. ${\ Displaystyle A = \ psi ^ {*}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ nu = \ kappa \ k_ {0} ^ {2} \ Omega '' (k_ {0}).}$${\ Displaystyle \ nu = {\ tfrac {1} {2}} \ omega _ {0} k_ {0} ^ {2}}$

Odpowiednik miernika

NLSE (1) jest cechą równoważną następującemu izotropowemu równaniu Landaua-Lifshitza (LLE) lub równaniu ferromagnetycznemu Heisenberga

${\ Displaystyle {\ vec {S}} _ {T} = {\ vec {S}} \ klin {\ vec {S}} _ {xx}. \ qquad}$

Zauważ, że to równanie dopuszcza kilka całkowalnych i niecałkowalnych uogólnień w wymiarach 2+1, takich jak równanie Ishimori i tak dalej.

Stosunek do wirów

Hasimoto (1972) wykazał, że praca da Riosa  ( 1906 ) nad włóknami wirowymi jest ściśle związana z nieliniowym równaniem Schrödingera. Następnie Salman (2013) wykorzystał tę korespondencję, aby pokazać, że roztwory odpowietrzające mogą również powstać dla włókna wirowego.

Zobacz też

• System AKNS
• równanie Eckhausa
• Oddziaływanie kwarcowe dla powiązanego modelu w kwantowej teorii pola
• Soliton (optyka)
• Logarytmiczne równanie Schrödingera

Uwagi

Bibliografia

Uwagi

Inne

Zewnętrzne linki

• „Nieliniowe systemy Schrodingera” . Scholarpedia .
• Wykład instruktażowy z nieliniowego równania Schrodingera (wideo) .
• Nieliniowe równanie Schrodingera z nieliniowością sześcienną w EqWorld: Świat równań matematycznych.
• Nieliniowe równanie Schrodingera z nieliniowością prawa potęgowego w EqWorld: świat równań matematycznych.
• Nieliniowe równanie Schrodingera postaci ogólnej w EqWorld: Świat równań matematycznych.
• Matematyczne aspekty nieliniowego równania Schrödingera w Dispersive Wiki