Separacja zmiennych - Separation of variables

W matematyce , rozdzielenie zmiennych (znane również jako metody Fouriera ) jest jedną z kilku metod rozwiązywania zwykłych i równań różniczkowych cząstkowych , w którym Algebra pozwala na przepisanie równań, dzięki czemu każdy z dwóch zmiennych pojawia się na innej stronie równania .

Równania różniczkowe
Równania różniczkowe Naviera-Stokesa stosowane do symulacji przepływu powietrza wokół przeszkody
Zakres Nauki przyrodnicze Inżynieria Astronomia Fizyka Chemia Biologia Geologia Matematyka stosowana Mechanika kontinuum Teoria chaosu Układy dynamiczne Nauki społeczne Ekonomia Dynamika populacji
Klasyfikacja
Rodzaje Zwykły Częściowy Różniczkowo-algebraiczny Całko-różnicowy Frakcyjny Liniowy Nieliniowy Według typu zmiennej Zmienne zależne i niezależne Autonomiczny Złożony Połączone / Oddzielone Dokładny Jednorodne  / Niejednorodne Cechy Zamówienie Operator Notacja
Związek z procesami Różnica (dyskretny analog) Stochastyczny Stochastyczne częściowe Opóźnienie
Rozwiązanie
Istnienie i wyjątkowość Twierdzenie Picarda-Lindelöfa Twierdzenie o istnieniu Peano Twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego Twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego
Tematy ogólne wroński Portret fazowy Przestrzeń fazowa Lapunow  / Asymptotyczna  / Stabilność wykładnicza Wskaźnik konwergencji Seria  / Rozwiązania integralne Całkowanie numeryczne Funkcja delta Diraca
Metody rozwiązania Kontrola Metoda charakterystyki Euler Wykładnicza formuła odpowiedzi Różnica skończona  ( Crank-Nicolson ) Końcowy element Nieskończony element Skończona objętość Galerkin Pietrow-Galerkin Czynnik integrujący Przekształcenia całkowe Teoria zaburzeń Runge-Kutta Separacja zmiennych Nieokreślone współczynniki Zmienność parametrów
Ludzie Izaak Newton Gottfrieda Leibniza Leonhard Euler Emil Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v T mi

Zwykłe równania różniczkowe (ODE)

Załóżmy, że równanie różniczkowe można zapisać w postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} f (x) = g (x) h (f (x))}$

które możemy napisać prościej, pozwalając : ${\ Displaystyle y = f (x)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = g (x) h (y).}$

Dopóki h ( y ) ≠ 0 , możemy przestawić wyrazy, aby otrzymać:

${\ Displaystyle {dy \ nad h (y)} = g (x) \ dx,}$

tak, że dwie zmienne x i y zostały rozdzielone. dx (i dy ) można traktować na prostym poziomie jako wygodną notację, która zapewnia przydatną pomoc mnemoniczną przy manipulacjach. Formalna definicja dx jako różniczki (nieskończonej) jest nieco zaawansowana.

Notacja alternatywna

Ci, którzy nie lubią notacji Leibniza, mogą woleć napisać to jako

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {h (y)}} {\ Frac {dy} {dx}} = g (x)}$

ale to nie czyni tak oczywistym, dlaczego nazywa się to „separacją zmiennych”. Całkując obie strony równania względem , mamy ${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {1} {h (y)}} {\ Frac {dy} {dx}} \ dx = \ int g (x) \ dx}$

( A1 )

lub równoważnie,

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {1} {h (y)}} \ dy = \ int g (x) \ dx}$

ze względu na zasadę podstawienia całek .

Jeśli można obliczyć obie całki, można znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego. Zauważmy, że proces ten skutecznie pozwala traktować pochodną jako frakcję, którą można wydzielić. To pozwala nam wygodniej rozwiązywać równania różniczkowe odzielne, jak pokazano w poniższym przykładzie. ${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}}}$

(Zauważ, że nie musimy używać dwóch stałych całkowania , w równaniu ( A1 ) jako in

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {1} {h (y)}} \ dy + C_ {1} = \ int g (x) \ dx + C_ {2},}$

ponieważ pojedyncza stała jest równoważna). ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$

Przykład

Wzrost populacji jest często modelowany równaniem różniczkowym

${\ Displaystyle {\ Frac {dP} {dt}} = kp \ lewo (1-{\ Frac {P} {K}} \ po prawej)}$

gdzie jest populacja w odniesieniu do czasu , to tempo wzrostu i jest nośnością środowiska. ${\displaystyle P}$${\displaystyle t}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle K}$

Do rozwiązania tego równania różniczkowego można wykorzystać rozdział zmiennych.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i {\ Frac {dP} {dt}} = kp \ lewo (1-{\ Frac {P} {K}} \ prawej) \ \ [5 pkt] i \ int {\ frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

Aby obliczyć całkę po lewej stronie, upraszczamy ułamek

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {P \ po lewej (1-{\ Frac {P} {K}} \ po prawej)}} = {\ Frac {K} {P \ po lewej (KP \ po prawej)}}}$

a następnie rozkładamy ułamek na ułamki częściowe

${\ Displaystyle {\ Frac {K} {P (KP)}} = {\ Frac {1} {P}} + {\ Frac {1} {KP}}}$

Tak więc mamy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ int \ lewo ({\ Frac {1} {P}} + {\ Frac {1} {KP}} \ prawej) dP = \ int k \ dt \ \ [ 6pt]&\ln |P|-\ln |KP|=kt+C\\[6pt]&\ln |KP|-\ln |P|=-kt-C\\[6pt]&\ln \lewo |{\cfrac {KP}{P}}\right|=-kt-C\\[6pt]&\left|{\dfrac {KP}{P}}\right|=e^{-kt-C} \\[6pt]&\left|{\dfrac {KP}{P}}\right|=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {KP}{P} }=\pm e^{-C}e^{-kt}\end{wyrównany}}}$

Niech . ${\ Displaystyle A = \ pm e ^ {-C}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i {\ Frac {KP} {P}} = Ae ^ {-kt} \ \ [6pt] i {\ Frac {K} {P}} -1 = Ae ^ {- kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1} {1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}\end{wyrównany}}}$

Dlatego rozwiązaniem równania logistycznego jest

${\ Displaystyle P (t) = {\ Frac {K} {1 + Ae ^ {-kt}}}}$

Aby znaleźć , niech i . Potem będzie ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle t=0}$${\ Displaystyle P \ lewo (0 \ prawo) = P_ {0}}$

${\ Displaystyle P_ {0} = {\ Frac {K} {1 + Ae ^ {0}}}}$

Zauważając to i rozwiązując A otrzymujemy ${\ Displaystyle e ^ {0} = 1}$

${\ Displaystyle A = {\ Frac {K-P_ {0}} {P_ {0}}}.}$

Uogólnienie separowalnych ODE do n-tego rzędu

Podobnie jak można mówić o rozdzielnym ODE pierwszego rzędu, można mówić o rozdzielnym ODE drugiego, trzeciego lub n -tego rzędu. Rozważmy rozłączne ODE pierwszego rzędu:

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = f (y) g (x)}$

Pochodną można alternatywnie zapisać w następujący sposób, aby podkreślić, że jest ona operatorem pracującym na nieznanej funkcji, y :

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {d} {dx}} (y)}$

Tak więc, kiedy rozdziela się zmienne dla równań pierwszego rzędu, w rzeczywistości przesuwa się mianownik dx operatora na stronę ze zmienną x , a d ( y ) pozostaje po stronie ze zmienną y . Operator drugiej pochodnej, przez analogię, rozkłada się następująco:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {dx ^ {2}}} = {\ Frac {d} {dx}} \ lewo ({\ Frac {dy} {dx}} \ prawej) = {\frac {d}{dx}}\po lewej({\frac {d}{dx}}(y)\po prawej)}$

Operatory trzeciej, czwartej i n -tej pochodnej rozkładają się w ten sam sposób. Tak więc, podobnie jak rozdzielne ODE pierwszego rzędu, można zredukować do postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = f (y) g (x)}$

rozdzielne ODE drugiego rzędu można sprowadzić do postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {dx ^ {2}}} = f \ lewo (y' \ prawo) g (x)}$

a separowalne ODE n-tego rzędu można zredukować do

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {n} r} {dx ^ {n}}} = f \! \ lewo (y ^ {(n-1)} \ prawej) g (x)}$

Przykład

Rozważ proste nieliniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu:

To równanie jest równaniem tylko y'' i y' , co oznacza, że ​​można je sprowadzić do ogólnej postaci opisanej powyżej, a zatem można je rozdzielić. Ponieważ jest to równanie separowalne drugiego rzędu, zbierz wszystkie zmienne x po jednej stronie i wszystkie zmienne y' po drugiej, aby uzyskać:Teraz scałkuj prawą stronę względem x i lewą względem y' :To dajeco upraszcza:Jest to teraz prosty problem całkowy, który daje ostateczną odpowiedź:

Równania różniczkowe cząstkowe

Sposób separacji zmiennych również rozwiązać szereg liniowych równań różniczkowych warunków brzegowych i początkowych, takie jak równanie ciepła , równania fali , równania Laplace'a , równania Helmholtza i biharmonicznego równania .

Analityczna metoda separacji zmiennych do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych została również uogólniona na obliczeniową metodę dekompozycji w strukturach niezmienniczych, którą można wykorzystać do rozwiązywania układów równań różniczkowych cząstkowych.

Przykład: jednorodny przypadek

Rozważ jednowymiarowe równanie ciepła . Równanie to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u}{\ częściowy t}} - \ alfa {\ Frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy x ^ {2}}} = 0}$

( 1 )

Zmienna u oznacza temperaturę. Warunek brzegowy jest jednorodny, czyli

${\ Displaystyle u {\ duży |} _ {x = 0} = u {\ duży |} _ {x = L} = 0}$

( 2 )

Spróbujmy znaleźć rozwiązanie, które nie jest identycznie zerowe, spełniające warunki brzegowe, ale o następującej własności: u jest iloczynem, w którym rozdzielona jest zależność u od x , t , czyli:

${\ Displaystyle u (x, t) = X (x) T (t).}$

( 3 )

Podstawiając u z powrotem do równania ( 1 ) i stosując regułę iloczynu ,

${\ Displaystyle {\ Frac {T'(t)}{\ alfa T (t)}} = {\ Frac {X''(x)}{X (x)}}.}$

( 4 )

Ponieważ prawa strona zależy tylko od x, a lewa tylko od t , obie strony są równe pewnej stałej wartości − λ . Zatem:

${\ Displaystyle T '(t) = - \ lambda \ alfa T (t)}$

( 5 )

oraz

${\ Displaystyle X ''(x) = - \ lambda X (x).}$

( 6 )

− λ jest tutaj wartością własną dla obu operatorów różniczkowych, a T ( t ) i X ( x ) są odpowiednimi funkcjami własnymi .

Pokażemy teraz, że rozwiązania dla X ( x ) dla wartości λ ≤ 0 nie mogą wystąpić:

Załóżmy, że λ < 0. Wtedy istnieją liczby rzeczywiste B , C takie, że

${\ Displaystyle X (x) = być ^ {{\ sqrt {-\ lambda}} \ x} + Ce ^ {- {\ sqrt {- \ lambda}} \ x}.}$

Od ( 2 ) otrzymujemy

${\ Displaystyle X (0) = 0 = X (L)}$

( 7 )

a zatem B = 0 = C, co oznacza, że u jest identycznie równe 0.

Załóżmy, że λ = 0. Wtedy istnieją liczby rzeczywiste B , C takie, że

${\ Displaystyle X (x) = Bx + C.}$

Z ( 7 ) wnioskujemy w taki sam sposób jak w 1, że u jest identycznie równe 0.

Dlatego musi być tak, że λ > 0. Wtedy istnieją liczby rzeczywiste A , B , C takie, że

${\ Displaystyle T (t) = Ae ^ {- \ lambda \ alfa t}}$

oraz

${\ Displaystyle X (x) = B \ grzech ({\ sqrt {\ lambda}} \ x) + C \ cos ({\ sqrt {\ lambda}} \ x).}$

Z ( 7 ) otrzymujemy C = 0 i to dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n ,

${\displaystyle {\sqrt {\lambda}}=n{\frac {\pi}{L}}.}$

To rozwiązuje równanie ciepła w szczególnym przypadku, gdy zależność u ma specjalną postać ( 3 ).

Ogólnie rzecz biorąc, suma rozwiązań ( 1 ), które spełniają warunki brzegowe ( 2 ), również spełnia ( 1 ) i ( 3 ). Stąd kompletne rozwiązanie można podać jako

${\ Displaystyle u (x, t) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} D_ {n} \ grzech {\ Frac {n \ pi x} {L}} \ exp \ lewo (- {\ szczelina {n^{2}\pi ^{2}\alfa t}{L^{2}}}\prawo),}$

gdzie D _n to współczynniki określone przez warunek początkowy.

Biorąc pod uwagę stan początkowy

${\ Displaystyle u {\ duży |} _ {t = 0} = f (x)}$

Możemy dostać

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} D_ {n} \ grzech {\ Frac {n \ pi x} {L}}.}$

Jest to rozwinięcie f ( x ) w szereg sinus . Mnożenie obu stron przez i całkowanie przez [0, L ] daje w wyniku ${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

${\ Displaystyle D_ {n} = {\ Frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ grzech {\ Frac {n \ pi x} {L}} \ dx .}$

Ta metoda wymaga, że funkcje własne X , tutaj są prostopadłe i kompletne . Generalnie gwarantuje to teoria Sturma-Liouville'a . ${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

Przykład: przypadek niejednorodny

Załóżmy, że równanie jest niejednorodne,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u}{\ częściowy t}} - \ alfa {\ Frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy x ^ {2}}} = h (x, t)}$

( 8 )

z warunkiem brzegowym takim samym jak ( 2 ).

Rozwiń h ( x, t ), u ( x , t ) i f ( x ) do

${\ Displaystyle h (x, t) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} h_ {n} (t) \ grzech {\ Frac {n \ pi x} {L}}}$

( 9 )

${\ Displaystyle u (x, t) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} u_ {n} (t) \ grzech {\ Frac {n \ pi x} {L}}}$

( 10 )

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ grzech {\ Frac {n \ pi x} {L}}}$

( 11 )

gdzie h _n ( t ) i b _n może być obliczony przez całkowanie, a u _n ( t ) należy określić.

Podstaw ( 9 ) i ( 10 ) z powrotem do ( 8 ) i biorąc pod uwagę ortogonalność funkcji sinus otrzymujemy

${\ Displaystyle u'_ {n} (t) + \ alfa {\ Frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} L ^ {2}}} u_ {n} (t) = h_ {n }(T),}$

które są sekwencją liniowych równań różniczkowych, które można łatwo rozwiązać za pomocą, na przykład, transformacji Laplace'a lub współczynnika całkującego . Wreszcie możemy dostać

${\ Displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {- \ alfa {\ Frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} t} \ lewo (b_ {n} +\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\ ,ds\prawo).}$

Jeżeli warunek brzegowy jest niejednorodny, to rozwinięcie ( 9 ) i ( 10 ) nie jest już ważne. Trzeba znaleźć funkcję v, która spełnia tylko warunek brzegowy i odjąć ją od u . Funkcja uv spełnia wtedy jednorodny warunek brzegowy i może być rozwiązana powyższą metodą.

Przykład: mieszane pochodne

W przypadku niektórych równań dotyczących pochodnych mieszanych równanie nie rozdziela się tak łatwo, jak równanie cieplne w pierwszym przykładzie powyżej, ale mimo to można nadal zastosować rozdział zmiennych. Rozważ dwuwymiarowe równanie biharmoniczne

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {4} u}{\ częściowy x ^ {4}}} +2 {\ Frac {\ częściowy ^ {4} u}{\ częściowy x ^ {2} \ częściowy y ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{4}u}{\częściowy y^{4}}}=0.}$

Postępując w zwykły sposób, szukamy rozwiązań formy

${\ Displaystyle u (x, y) = X (x) Y (y)}$

i otrzymujemy równanie

${\ Displaystyle {\ Frac {X ^ {(4)} (x)} {X (x)}} +2 {\ Frac {X ''(x)} {X (x)}} {\ Frac {Y ''(r)}{T(r)}}+{\frac {T^{(4)}(r)}{T(r)}}=0.}$

Zapisując to równanie w postaci

${\ Displaystyle E (x) + F (x) G (y) + H (y) = 0,}$

widzimy, że pochodna względem x i y eliminuje pierwszy i ostatni wyraz, tak że

${\ Displaystyle F '(x) G' (y) = 0,}$

tj. albo F ( x ) albo G ( y ) musi być stałą, powiedzmy -λ. To dalej sugeruje, że albo albo są stałe. Wracając do równania dla X i Y , mamy dwa przypadki ${\ Displaystyle -E (x) = F (x) G (y) + H (y)}$${\ Displaystyle -H (y) = E (x) + F (x) G (y)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} X ''(x) = - \ lambda _ {1} X (x) \ \ X ^ {(4)} (x) & = \ mu _ {1} X ( x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{wyrównany}}}$

oraz

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} Y ''(y) = - \ lambda _ {2} Y (y) \ \ Y ^ {(4)} (y) & = \ mu _ {2} Y ( y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

które można rozwiązać, rozważając oddzielne przypadki i zauważając, że . ${\ Displaystyle \ lambda _ {i} <0 \ lambda _ {i} = 0 \ lambda _ {i}> 0}$${\ Displaystyle \ mu _ {i} = \ lambda _ {i} ^ {2}}$

Współrzędne krzywoliniowe

We współrzędnych ortogonalnych krzywoliniowych nadal można stosować separację zmiennych, ale w niektórych szczegółach różnią się one od tego we współrzędnych kartezjańskich. Na przykład regularność lub stan okresowy mogą określać wartości własne zamiast warunków brzegowych. Zobacz na przykład harmoniki sferyczne .

Zastosowanie

Równania różniczkowe cząstkowe

Dla wielu PDE, takich jak równanie falowe, równanie Helmholtza i równanie Schrodingera, możliwość zastosowania separacji zmiennych jest wynikiem twierdzenia spektralnego . W niektórych przypadkach rozdzielenie zmiennych może nie być możliwe. Rozdzielenie zmiennych może być możliwe w niektórych układach współrzędnych, ale nie w innych, a to, które układy współrzędnych umożliwiają rozdzielenie, zależy od właściwości symetrii równania. Poniżej przedstawiono zarys argumentu wskazującego na stosowalność metody do niektórych równań liniowych, chociaż dokładna metoda może się różnić w poszczególnych przypadkach (np. w powyższym równaniu biharmonicznym).

Rozważmy problem z początkowymi wartościami brzegowymi funkcji na dwóch zmiennych: ${\displaystyle u(x,t)}$${\ Displaystyle D = \ {(x, t): x \ w [0, l], t \ geq 0 \}}$

${\ Displaystyle (Tu) (x, t) = (Su) (x, t)}$

gdzie jest operatorem różniczkowym względem i jest operatorem różniczkowym względem danych brzegowych: ${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle (wt) (0, t) = (wt) (a) = 0}$ dla ${\displaystyle t\geq 0}$

${\ Displaystyle (Su) (x,0) = h (x)}$ dla ${\displaystyle 0\leq x\leq a}$

gdzie jest znana funkcja. ${\ Displaystyle h}$

Poszukujemy rozwiązań formy . Dzielenie PDE przez daje ${\ Displaystyle u (x, t) = f (x) g (t)}$${\displaystyle f(x)g(t)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {Tf} {f}} = {\ Frac {Sg} {g}}}$

Prawa strona zależy tylko od , a lewa tylko od , więc obie muszą być równe stałej , co daje dwa równania różniczkowe zwyczajne ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle Tf = Kf, Sg = Kg}$

które możemy rozpoznać jako problemy z wartością własną dla operatorów dla i . Jeżeli jest zwartym, samosprzężonym operatorem na przestrzeni wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi, to z twierdzenia Spectrala istnieje podstawa do składania funkcji własnych dla . Niech widmo będzie i niech będzie funkcją własną z wartością własną . Następnie dla dowolnej funkcji, która w każdym momencie jest całkowalna do kwadratu względem , możemy zapisać tę funkcję jako kombinację liniową . W szczególności wiemy, że rozwiązanie można zapisać jako ${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle L ^ {2} [0, l]}$${\ Displaystyle L ^ {2} [0, l]}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle f_{\lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda \ w E}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{\lambda}}$${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle u (x, t) = \ suma _ {\ lambda \ w e} c_ {\ lambda} (t) f_ {\ lambda} (x)}$

Dla niektórych funkcji . W separacji zmiennych funkcje te są podane przez rozwiązania do${\displaystyle c_{\lambda}(t)}$${\ Displaystyle Sg = kg}$

Stąd twierdzenie spektralne zapewnia, że ​​rozdzielenie zmiennych (jeśli to możliwe) znajdzie wszystkie rozwiązania.

Dla wielu operatorów różniczkowych, takich jak , możemy pokazać, że są one sprzężone przez całkowanie przez części. Chociaż operatory te mogą nie być zwarte, ich odwrotności (jeśli istnieją) mogą być, tak jak w przypadku równania falowego, a te odwrotności mają te same funkcje własne i wartości własne, co oryginalny operator (możliwym wyjątkiem zera). ${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}}$

Matryce

Macierzową formą rozdzielenia zmiennych jest suma Kroneckera .

Jako przykład rozważymy dyskretny 2D Laplace'a na regularnej siatce :

${\ Displaystyle L = \ mathbf {D_ {xx}} \ oplus \ mathbf {D_ {yy}} = \ mathbf {D_ {xx}} \ otimes \ mathbf {I} + \ mathbf {I} \ otimes \ mathbf { D_{rr}} ,\,}$

gdzie i są jednowymiarowymi dyskretnymi Laplace'ami odpowiednio w kierunkach x i y , i są tożsamościami o odpowiednich rozmiarach. Zobacz główny artykuł Kroneckera suma dyskretnych Laplace'ów po szczegóły. ${\ Displaystyle \ mathbf {D_ {xx}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {D_ {yy}}}$${\displaystyle \mathbf {ja}}$

Oprogramowanie

Niektóre programy matematyczne potrafią dokonać separacji zmiennych, między innymi Xcas .

Zobacz też

• Nierozłączne równanie różniczkowe

Uwagi

Bibliografia

• Polianina, Andrei D. (2001-11-28). Podręcznik liniowych równań różniczkowych cząstkowych dla inżynierów i naukowców . Boca Raton, Floryda: Chapman & Hall/CRC . Numer ISBN 1-58488-299-9.
• Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Liniowe równania różniczkowe cząstkowe dla naukowców i inżynierów . Boston, MA: Birkhäuser Boston . doi : 10.1007/978-0-8176-4560-1 . Numer ISBN 978-0-8176-4393-5.
• Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Studia magisterskie z matematyki . 140 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0-8218-8328-0.

Zewnętrzne linki

• „Metoda Fouriera” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• John Renze, Eric W. Weisstein , Separacja zmiennych ( równanie różniczkowe ) w MathWorld .
• Metody uogólnionej i funkcjonalnej separacji zmiennych w EqWorld: świat równań matematycznych
• Przykłady rozdzielania zmiennych w celu rozwiązania PDE
• „Krótkie uzasadnienie separacji zmiennych”